Bài giảng xử lý số liệu trắc địa ( combo full slides 4 chương )

Bài giảng xử lý số liệu trắc địa ( combo full slides 4 chương ) Bài giảng xử lý số liệu trắc địa ( combo full slides 4 chương ) Bài giảng xử lý số liệu trắc địa ( combo full slides 4 chương ) Bài giảng xử lý số liệu trắc địa ( combo full slides 4 chương ) Bài giảng xử lý số liệu trắc địa ( combo full slides 4 chương ) Bài giảng xử lý số liệu trắc địa ( combo full slides 4 chương )

KHOA QUẢN LÝ ĐẤT ĐAI & BẤT ĐỘNG SẢN

BỘ MÔN CÔNG NGHỆ ĐỊA CHÍNH

-*** -BÀI GIẢNG

XỬ LÝ SỐ LIỆU TRẮC ĐỊA

NỘI DUNG

 CHƯƠNG 1: TIÊU CHUẨN ĐỘ CHÍNH XÁC VÀ LAN TRUYỀN SAI SỐ

 CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH TOÁN BÌNH SAI VÀ NGUYÊN LÝ BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU

 CHƯƠNG 3 : BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN

 CHƯƠNG 4: BÌNH SAI GIÁN TIẾP

1

+ Nội dung môn học:

- Lý thuyết sai số ngẫu nhiên: Gồm các đặc tính của

- Lý thuyết sai số ngẫu nhiên: Gồm các đặc tính của

sai số ngẫu nhiên và luật truyền sai số ngẫu nhiên; địnhnghĩa trọng số, sai số trung phương và phương pháp xác

định trọng số

- Khái niệm và xây dựng mô hình hàm số và môhình ngẫu nhiên của bình sai trắc địa, nguyên lý và

phương pháp bình phương nhỏ nhất

- Các phương pháp cơ bản của bình sai trắc địa:

Phương pháp bình sai điều kiện; phương pháp bình saigián tiếp; phương pháp bình sai điều kiện có tham số ẩn

số và phương pháp bình sai gián tiếp kèm điều kiện

- Giới thiệu vắn tắt một số lý thuyết và phương phápbình sai trắc địa cận đại để tiện kết nối với môn học có liên

quan đến bình sai trắc địa sau này, đặt cơ sở cho việc tiếpquan đến bình sai trắc địa sau này, đặt cơ sở cho việc tiếp

tục học tập và nghiên cứu lý thuyết về bình sai trắc địa

2 Sơ lược lịch sử phát triển của bình sai trắc địa

Gauss (30/4/1777 – 23/2/1855)

3 Các đơn vị đo thường dùng trong trắc địa

- Sai số ngẫu nhiên

- Sai số hệ thống

- Do máy, dụng cụ đo

Loại máy Sai số đo góc (″) Sai số đo cạnh (mm)

- Do người đo

- Điều kiện ngoại cảnh

-Khái niệm sai số ngẫu nhiên:

Trong điều kiện đo như nhau tiến hành đo một loạt,

nếu sai số biểu hiện có tính chất ngẫu nhiên về độ lớn và

dấu, tức từ sai số đơn lẻ mà xét, độ lớn và dấu của sai số

đó không có tính quy luật, nhưng từ tổng thể của số lượng

lớn sai số mà xét thì có quy luật thống kê nhất định, loạisai số này gọi là sai số ngẫu nhiên.

- Khái niệm sai số hệ thống:

- Khái niệm sai số hệ thống:

Trong điều kiện đo như nhau tiến hành đo một loạt,

nếu sai số biểu hiện có tính chất hệ thống về độ lớn và

dấu, hoặc biến đổi theo một quy luật nhất định, hoặc là một

hằng số thì loại sai số đó gọi là sai số hệ thống.

CHƯƠNG 1: TIÊU CHUẨN ĐỘ CHÍNH XÁC

VÀ LAN TRUYỀN SAI SỐ

1.1 Tính quy luật của sai số ngẫu nhiên

Xét ví dụ:

Tại một khu đo, trong điều kiện như nhau, đã đo độc

lập toàn bộ các góc trong của 358 tam giác, vì các trị đo cósai số nên tổng 3 góc trong của tam giác không bằng trị

thực 1800 Dựa vào (1-1), sai số thực của tổng 3 góc trong

của các tam giác được tính theo công thức:

o

Khoảng

sai số "

∆ có giá trị âm ∆ có giá trị dương

Ghi chú S/l

- Số lượng các sai số âm, dương có giá trị tuyệt đối

- Số lượng các sai số âm, dương có giá trị tuyệt đối

bằng nhau xấp xỉ như nhau

Hình 1-1

Hình 1-2

Đường cong phân bố xác suất sai số, hoặc đường cong phân bố sai số.

Hình 1-3

Quy luật của sai số ngẫu nhiên:

1 Trong đ/kiện đo nhất định, giá trị tuyệt đối của sai

số có một giới hạn nhất định, nói cách khác, sai số vượtquá một giới hạn nhất định, xác suất xuất hiện của nó

Mật độ xác suất của ∆ là:

(1-6)Trong đó:

σ là sai số trung phương (trong toán thống kê

thường gọi σ là độ lệch chuẩn, trong trắc địa gọi là sai số

trung phương và thường ký hiệu là m) Trong công thức

2 2 2

1( )

trung phương và thường ký hiệu là m) Trong công thức

trên, sau khi đã xác định σ, thì có thể vẽ đường cong phân

bố sai số tương ứng Vì E(∆)=0, nên đường cong nhận

trục tung có hoành độ bằng 0 làm trục đối xứng Khi σkhác nhau, vị trí của đường cong không thay đổi, nhưnghình dạng của đường cong phân bố có thay đổi Từ nhữngnghiên cứu trên đây cho thấy, sai số ngẫu nhiên ∆ là biến

ngẫu nhiên tuân theo phân bố N(0, σ2)

Xét hai ví dụ trên:

1.2 Tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác

Hình 1-1

Hình 1-2

1.2.1 Phương sai và sai số trung phương

Hàm mật độ xác suất của sai số ∆ là

Từ định nghĩa của phương sai, ta biết

2 2 2

1( )

Dựa vào định nghĩa của tích phân có thể viết

(1-10)

Thực tế, số lượng trị đo n luôn là hữu hạn, từ số lượng

[ ] [ ]

(1-11)

[ ] [ ]

1.2.2 Các loại sai số khác

a, Sai số trung bình

Trong điều kiện đo nhất định, kỳ vọng toán của trị tuyệt

đối của một dãy sai số ngẫu nhiên độc lập gọi là sai số

trung bình Giả thiết θ biểu thị sai số trung bình, ta có

Vì số lượng n các trị đo luôn là hữu hạn, do đó trên

thực tế cũng chỉ có thể dùng trị ước lượng của θ để đánhgiá độ chính xác, ký hiệu , nhưng vẫn gọi đơn giản là sai

số trung bình, thì

(1-15)

Công thức quan hệ lý thuyết giữa sai số trung bình và

ˆθ

n

ˆ   ∆

θ = ±

Công thức quan hệ lý thuyết giữa sai số trung bình và

sai số trung phương

P(a < ∆ ≤ b) = ∫ f( )d∆ ∆

1

+ρ

∫Công thức trên là quan hệ giữa sai số xác suất và sai

số trung phương

(1-18)

12

c, Sai số giới hạn

Sai số trung phương không đại biểu cho độ lớn bé củasai số cá biệt, mà đại biểu cho độ phân tán của phân bốsai số

Dựa vào bảng phân bố chuẩn tra được, trong một dãy

lớn các sai số của các trị đo cùng độ chính xác, xác suất

sai số xuất hiện trong khoảng (-σ, +σ), (-2σ, +2σ) và

sai số xuất hiện trong khoảng (-σ, +σ), (-2σ, +2σ) và

Do đó, thường lấy 3 lần sai số trung phương làm sai

số giới hạn ∆gh của sai số ngẫu nhiên và gọi là sai số giới

hạn, tức

Trong thực tiễn cũng lấy 2σ làm sai số giới hạn, lấy trị

ước lượng của sai số trung phương σˆ thay cho σ, tức lấy

ước lượng của sai số trung phương thay cho σ, tức lấy

111hoặc làm sai số giới hạn Đồng thời, (1-19) cũng

phản ánh quan hệ xác suất giữa sai số trung phương vàsai số thực

Trong trắc địa, nếu một sai số nào đó vượt quá sai số

giới hạn thì xem là sai lầm, trị đo tương ứng cần loại bỏkhông dùng

ˆσ

2σˆ 3σˆ

d, Sai số tương đối

Đối với một số kết quả đo, có khi nếu chỉ dựa vào sai

số trung phương thì vẫn chưa thể hoàn toàn kết luận được

kết quả đo tốt hay không

Sai số trung phương tương đối là một tỷ số không đơn

vị, trong trắc địa thường biến đổi để tử số bằng 1, tức 1/N

Đối với sai số thực và sai số giới hạn, có khi cũng

Đối với sai số thực và sai số giới hạn, có khi cũng

dùng sai số tương đối để biểu thị Ví dụ, khi đo đườngchuyền kinh vĩ, quy phạm quy định sai số khép tương đốikhông được vượt quá 1/2.000, đó là sai số giới hạn tương

đối; còn trong thực tế đo sinh ra sai số khép tương đối, đó

là sai số thực tương đối

Sai số thực, sai số trung phương, sai số giới hạn đều

gọi là sai số tuyệt đối.

1.3.1 Phương sai

Giả thiết có trị đo X và Y, định nghĩa hiệp phươngsai của chúng là

(1-21)(1-22)

Nếu biểu thị sai số giữa hai trị đo (hoặc hai dãy

trị đo) không ảnh hưởng lẫn nhau, hoặc nói cách khác, sai

số của chúng là không tương quan và gọi các trị đo này làcác trị đo không tương quan;

Nếu , biểu thị sai số của chúng là tương quan,

gọi các trị đo này là các trị đo tương quan

là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân bố chuẩn, mà đối

với biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn, “không tương quan”

và “độc lập” là tương đương, do đó các trị đo không tương quan cũng gọi là các trị đo độc lập, tương tự, các trị đo

tương quan cũng gọi là các trị đo không độc lập.

Giả thiết có n trị đo tương quan không cùng độ chínhxác Xi (i=1,2, ,n), kỳ vọng toán và phương sai của chúng

x 1

x 2

X

XX

µ

Xét hai dãy trị đo và , kỳ vọng toán của chúng phân

r,1

µ

XZ

DXY là ma trận hiệp phương sai tương hỗ của vector trị

đo X liên quan đến Y Khi số chiều của X và Y là n = r = 1(tức X, Y đều là một trị đo), ma trận hiệp phương sai tương

hỗ chính là hiệp phương sai của X liên quan đến Y

1.3.2 Phương sai của hàm tuyến tính các trị đo

D

µ

Giả thiết hàm số tuyến tính của X là

(1-29)trong đó

Tìm phương sai DZZ của Z

Trước tiên, tìm kỳ vọng của (1-29), ta được

0 1,1Z = 1,n n,1K X k+

D = σ = E E Z −Z E Z −Z 

ZZ Z XX 1,1

D = σ = KD K

Khai triển biểu thức trên thành dạng thông thường, tađược

Khi các phần tử Xi (i=1, 2, , n) trong vector độc lập

với nhau, hiệp phương sai , biểu thức trên có dạng:

Ví dụ [1-3]

Giả thiết X là hàm của các trị đo độc lập L1, L2, L3

Biết sai số trung phương của L1, L2, L3 là σ1=±3mm,

σ2=±2mm, σ3=±1mm Tính sai số trung phương của X

1.3.3 Ma trận hiệp phương sai của nhiều hàm tuyến tính

Ký hiệu

1 2 t,1

t

ZZ

t,1

t0

kkK

Z = K X K+

D = K D K

YY XX

r,n n,r r,r n,n

D = F D F

Ma trận hiệp phương sai tương hỗ của Y và Z:

Thay giá trị vào ta được:

(1-42)

Đó chính là công thức tính ma trận hiệp phương sai

( )

( ) ( ( ) )T YZ

1.3.4 Trường hợp hàm số phi tuyến tính

Giả thiết có hàm số phi tuyến tính của trị đo

- Khai triển theo chuỗi Taylor

- Vi phân toàn phần

Giả thiết trị đo X có trị gần đúng là

thì có thể khai triển Taylor hàm (1-49) tại điểm :

0 n,1X

dYdY

1.4 Ứng dụng luật truyền hiệp phương sai trong trắc địa

Phương sai của trị trung bình cộng x là

Hoặc sai số trung phương của trị trung bình cộng x là

σ =

1.4.2. Ảnh hưởng tổng hợp của một số sai số độc lập

Trong trắc địa thường gặp trường hợp: một kết quả đo

đồng thời chịu ảnh hưởng tổng hợp của nhiều sai số độc

lập Ví dụ ảnh hưởng sai số ngắm chuẩn, sai số đọc số,sai số lệch mục tiêu và sai số lệch máy đối với đo góc.Trong trường hợp này, sai số thực của kết quả là tổng đại

1.5.1 Khái niệm trọng số

Giả thiết có các trị đo Li (i = 1, 2, , n), phương sai củachúng là , nếu chọn một hằng số bất kỳ σ0,thì định nghĩa:

i 2

i

=σ

i

Tính chất của trọng số:

- Đối với một dãy các trị đo, tỷ số trọng số của chúng

bằng tỷ số của nghịch đảo phương sai tương ứng

- Phương sai có thể là phương sai của trị đo của cùng

một đại lượng, cũng có thể là phương sai của trị đo khôngcùng một đại lượng

- σ0 là hằng số tuỳ ý chọn

Ví dụ:

Lưới thuỷ chuẩn như hình 1-8,

đã biết chiều dài của các tuyến là

Trong lưới thuỷ chuẩn này, nếu chúng ta không biết cụ

thể trị số của sai số trung phương của chênh cao đo đượctrên tuyến 1 km, mà chỉ biết độ chính xác của chênh cao

đo được trên tuyến 1 km là như nhau Lúc đó, giả định sai

số trung phương của chênh cao trên mỗi km là σkm

Sai số trung phương của chênh cao đo được trên cáctuyến là:

Nhận xét:

Chọn một giá trị σ0, tức có một nhóm trọng số tương

ứng

Một nhóm trọng số của các trị đo, độ lớn bé của chúngkhác nhau tuỳ thuộc sự khác nhau của σ0, nhưng σ0 được

chọn với bất kỳ giá trị nào, quan hệ tỷ lệ giữa các trọng số

vẫn không thay đổi

vẫn không thay đổi

Để trọng số có tác dụng so sánh độ chính xác cao thấp,trong một bài toán chỉ có thể chọn một giá trị σ0, không thể

chọn nhiều giá trị σ0, nếu không sẽ phá vỡ quan hệ tỷ lệ

giữa các trọng số

Chỉ cần cho trước những điều kiện nhất định

1.5.2 Sai số trung phương trọng số đơn vị

Sai số trung phương trọng số đơn vị là sai số trung

phương có trọng số bằng 1 Do đó, thường gọi σ0 là sai sốtrung phương trọng số đơn vị, còn gọi là phương sai

trọng số đơn vị, trị đo có trọng số bằng 1 gọi là trị đo trọng

số đơn vị

Khi xác định một nhóm trọng số của các trị đo của

2 0σ

Khi xác định một nhóm trọng số của các trị đo của

cùng một loại đại lượng, đơn vị của sai số trung phương

trọng số đơn vị σ0 được chọn thường giống như đơn vị

của sai số trung phương của các trị đo Vì trọng số là tỷ số

của bình phương sai số trung phương trọng số đơn vị vàbình phương sai số trung phương của trị đo, do đó trọng

số thường là một số không đơn vị

3

6

5

điểm trên mỗi tuyến, chênh cao

đo được trên các tuyến là

h1, h2, , hn, số trạm máy trên các tuyến phân biệt là N1,

N2, , Nn

Giả thiết độ chính xác đo chênh cao trên mỗi trạm máy

là như nhau, sai số trung phương đều là σtr, sai số trung

phương của chênh cao đo trên các tuyến là:

Hình 1-9

P34

(i = 1, 2, , n) (1-71)

Nếu pi là trọng số của hi và giả thiết sai số trung

phương trọng số đơn vị là

(1-72)Thay (1-71) và (1-72) vào (1-69), được

Từ (1-73) có thể thấy, nếu số trạm máy trên tuyến

Ni = 1 thì trọng số của nó

pi = CKhi p = 1, có Ni = C

Có thể thấy, hằng số C có 2 ý nghĩa:

(1) C là hằng số của chênh cao đo của một trạm máy;(2) C là số trạm máy của chênh cao đo trọng số đơn vị

Ví dụ [1-8]

Giả thiết trong lưới thuỷ chuẩn như Hình 1-9, đã biết

số trạm máy trên các tuyến phân biệt là 40, 25, 50, 20, 40,

50, 25 Hãy xác định trọng số của chênh cao đo được trêncác tuyến

Giải: Giả thiết lấy C = 100, theo (1-73), được

Trong đo thủy chuẩn, nếu đã biết sai số trung phương

của chênh cao đo được trên 1 km đều như nhau, bằng σkm

và đã biết chiều dài của các tuyến là S1, S2, , Sn, sai sốtrung phương của chênh cao đo được trên các tuyến là

Tức khi chênh cao đo được trên mỗi km có độ chínhxác như nhau, thì trọng số của chênh cao đo được trêncác tuyến tỷ lệ nghịch với số km của các tuyến.

- C là trọng số của chênh cao đo được trên tuyến 1 km;

- C là số km trên tuyến của chênh cao đo trọng số đơn vị

b, Trọng số của trị trung bình cộng của các trị đo cùng

độ chính xác

Giả thiết L1, L2, , Ln là trị trung bình của N1, N2, , Nn

lần đo cùng độ chính xác, nếu sai số trung phương của

mỗi lần đo đều là σ; sai số trung phương của Li là:

C

σ

σ =

Tức trọng số của trị trung bình cộng tính được từcác lần đo cùng độ chính xác tỷ lệ thuận với số lần đo

C

=

σ

2 i

i 0

2 j

1Q

p

1Q

σ

pQ

σ 

σ 

σ

Mở rộng:

Giả định có vector các trị đo (hoặc vector hàm các

trị đo) và , ma trận phương sai của chúng phân biệt là

và , ma trận hiệp phương sai tương quan X với Y là

, ký hiệu

n,1X

r,1Y

XX

n,n

r,rDXY

YY 2 YY r,r 0

XY 2 XY n,r 0

thì gọi QXX và QYY phân biệt là ma trận trọng số đảo

của X và của Y, còn gọi QXY là ma trận trọng số đảo tươngquan của X với Y Các phần tử trên đường chéo chính của

ma trận trọng số đảo QXX chính là trọng số đảo của các Xi,các phần tử ngoài đường chéo chính là trọng số đảo

YX XY

Q = Q = 0

1.6.2 Luật truyền trọng số đảo

Giả thiết có trị đo , đã biết ma trận trọng số đảo là, và giả thiết có hàm và của X

(1-91)

Tính Q , Q và Q , từ Q ?

n,1XXX

Mặt khác:

(1-94)Thay các biểu thức trên đây vào (1-92) và (1-93), được

σT

1.7.1 Sai số hệ thống của trị đo và phương sai của sai số

tổng hợp

a, Sai số hệ thống

Giả thiết có trị đo , trị thực của đại lượng đo là ,thì sai số tổng hợp Ω của L có thể định nghĩa là

1.7 Lan truyền của sai số hệ thống

nên ε cũng chính là giá trị sai lệnh kỳ vọng toán của trị đo L

so với trị thực của đại lượng đo Sai số hệ thống trong trị

đo L càng nhỏ, tức ε càng nhỏ, trị sai lệnh của kỳ vọngtoán của L so với trị thực càng nhỏ, hoặc nói cách khác, Lcàng chuẩn xác Do đó, có khi cũng gọi ε = E(Ω) là độ

b, Phương sai của sai số tổng hợp

Khi trong trị đo L vừa tồn tại sai số ngẫu nhiên ∆, vừa

tồn tại sai số hệ thống ε, thường dùng phương sai E(Ω2) củasai số tổng hợp của trị đo để biểu trưng độ tin cậy của trị đo

Phương sai của sai số tổng hợp là

LL

D = E Ω = E ∆ + ε2 E ∆ + ε

(1-116)Khi sai số hệ thống ε bằng 1/5, 1/3 sai số trung phương σ,thì σL tương ứng

Do đó, trên thực tế ứng dụng, khi phần sai số hệ thống

1.7.2 Lan truyền của sai số hệ thống

Vì các trị đo có ảnh hưởng của sai số hệ thống nênhàm của các trị đo cũng có sai số hệ thống, gọi đó là lantruyền của sai số hệ thống

Theo quy luật tính kỳ vọng toán, biết

i

Zk

1.7.3 Lan truyền liên hợp của sai số hệ thống và sai số

ngẫu nhiên

Khi trong các trị đo đồng thời có sai số ngẫu nhiên

và sai số hệ thống, còn cần phải nghiên cứu ảnh hưởngliên hợp của chúng đối với hàm các trị đo Ở đây chỉ thảo

trong đó ∆1, ∆2 và ε1, ε2 phân biệt là sai số ngẫu nhiên

và sai số hệ thống bao hàm trong L1 và L2, và giả thiết

phương sai do sai số ngẫu nhiên của L1, L2 là ,

σ 2

2σ

Mở rộng kết quả trên đây đối với hàm số tuyến tính

∂

∂

[ ]2

2 ZZ

D = σ + ε  

Ví dụ [1-15]

Khi dùng thước thép để đo chiều dài, gồm n đoạn

thước, giả thiết đã biết sai số trung phương đọc số và

ngắm chuẩn của mỗi đoạn thước là σ, còn sai số kiểmnghiệm thước là ε Hãy tính sai số trung phương tổng hợp

của toàn bộ chiều dài

Giải: Tổng chiều dài đo là

Giải: Tổng chiều dài đo là

S = L1 + L2 + + Lntrong đó

L1 = L2 = = Ln = L

σ1 = σ2 = = σn = σ

ε1 = ε2 = = εn = ε