Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải hệ phương trình đối xứng

Nhìn chung việc giải các hệ phương trình đại số là một công việc rất khó khăn và đòi hỏi người học cần phải sáng tạo khéo léo phải biết sử dụng tất cả các kiến thức đã biết để vận dụng vào việc giải toán. Để phát huy tính tích cực của học sinh, việc tiếp thu kiến thức mới và công việc giải toán thì người thầy giáo phải là người tiên phong trong việc phát huy tính tích cực của mình để tìm ra những phương pháp giải toán mới, tìm ra những công cụ mới để ngày càng hoàn thiện hơn bản thân và cống hiến cho những người làm toán những công cụ hữu hiệu để có thể đi sâu vào thế giới của toán học. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải hệ phương trình đối xứng”.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHO

HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG

TRÌNH ĐỐI XỨNG

A ĐẶT VẤN ĐỀ :

Trong quá trình giảng dạy, việc tổ chức cho học sinh biết ôn tập các kiến

thức đã học và vận dụng nó vào việc giải toán là một việc làm rất cần thiết

Việc làm đó thể hiện được sự đổi mới phương pháp giảng dạy và đơn giản hóa

các vấn đề phức tạp với mục đích giúp cho học sinh hiểu được bài và vận dụng

nó vào giải bài tập

Trong chương trình toán ở trường phổ thông hiện nay, trong sách giáo

khoa lớp 10 có trình bày việc giải các hệ phương trình đại số rất đơn giản và

thời lượng cũng còn quá ít Trong khi đó khi học sinh tham dự thi học sinh giỏi

các cấp hay thi vào đại học thì lại gặp một vấn đề có thể nói là phức tạp, học

sinh rất lúng túng khi giải các bài toán này Tuy nhiên nếu nắm vững tốt về các

phương pháp giải thì đó là cơ hội rèn cho người làm toán một kỹ năng, kỹ xão

nhằm hình thành tính sáng tạo trong học và giải toán, ngoài ra còn có cả sự

khéo léo trong khi biến đổi để đưa bài toán phức tạp về lớp các bài toán đã biết

cách giải

Mặc dù vậy song vẫn là chưa đủ bởi sáng tạo của mỗi người làm toán là

vô hạn Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Rèn luyện kỹ năng

cho học sinh giải hệ phương trình đối xứng " qua thực hiện dạy chương trình tự

chọn của môn toán lớp 10 nhằm trang bị thêm cho học sinh một số công cụ

hữu hiệu để các hệ phương trình và phương trình đại số

B QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN :

Nhằm cung cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để phân loại

và nhận dạng khi thực hiện giải các hệ phương trình đối xứng, trong mỗi loại

hệ phương trình đối xứng loại 1 hay loại 2, tôi phân chia thành ba dạng toán

như sau:

Dạng 1 : Giải hệ phương trình:

Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm

Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình

Qua thực tế giảng dạy ở các lớp khối 10 trường THPT và các lớp bồi

dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy việc phân chia dạng như trên là hợp lý,

lôgíc cụ thể, có thể nhanh chóng tìm ra phương pháp chứng minh được bất

đẳng thức bằng cách áp dụng phương pháp này vào việc giải toán, từ đó làm

nền tảng cho hai kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào các trường Đại học và Cao

đẳng sau này

Để cho tiết ôn tập đạt được hiệu quả cao, thì mỗi học sinh phải chuẩn bị

bài tốt trước khi đến lớp đồng thời phải biết tích cực, tự giác học tập, phải biết

suy nghĩ tìm tòi và sáng tạo Người giáo viên phải biết dẫn dắt học sinh biết

phân tích đề bài, từ đó đi tìm tòi lời giải đúng và sáng tạo, ngắn gọn Muốn làm

tốt khâu này giáo viên thiết kế một giáo án theo hướng tích cực hoá hoạt động

học tập, cụ thể tiến hành theo các bước:

I BƯỚC CHUẨN BỊ :

1) Nghiên cứu nội dung cần ôn tập , cần truyền đạt:

Vạch ra mục tiêu của bài dạy, chọn lọc kiến thức cần ôn tập và chuẩn bị

trước, lập phương án kiểm tra nội dung kiến thức dùng cho tiết ôn tập

2)Chọn bài tập mẫu :

Chọn bài tập theo dụng ý nội dung cần ôn tập phù hợp với các đối tượng

học sinh nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, rèn luyện tư duy

thuật toán hay kiểm tra sự lĩnh hội của học sinh

3/Phân phối thời gian cho mỗi hoạt động của thầy và trò:

Cần phải phân bố thời gian phù hợp với mỗi bài tập Dự kiến thời gian

cho mỗi học sinh giải bài tập trên bảng

4) Bước chuẩn bị của trò và thầy :

4.1) Chuẩn bị của trò : Các kiến thức cần nắm

a

· Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 thỏa mãn x1+x2 =S và x x1 2 =P thì x1, x2

là nghiệm của phương trình bậc hai; X2 - SX + P = 0

4.1.2 Hệ phương trình đối xứng đối với hai ẩn x và y:

1 Phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng nếu thay x bởi y; y

bởi x thì phương trình không thay đổi

2 Hệ phương trình đối xứng theo hai ẩn số x, y là hệ phương trình khi ta

thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ phương trình không thay đổi

3 Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y được gọi là đối xứng loại

một nếu trao đổi vai trò của x, y thì mỗi phương trình hệ này trở thành chính

nó(không thay đổi)

Dấu hiệu nhận biết: ( , ) 0

( , ) 0

f x y

g x y

=ì

( , ) ( , )( , ) ( , )

=ì

î

4 Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y được gọi là đối xứng loại hai

nếu trao đổi vai trò của x, y thì phương trình này chuyển thành phương trình

( , ) ( , )( , ) ( , )

=ì

4.2)Chuẩn bị của thầy:

* Phiếu học tập và phiếu trả lời cho học sinh

* Giấy A2cho 4 nhóm học sinh hoạt động

* Giáo án và các dụng cụ có liên quan

* Phiếu học tập về các bài tập đề nghị để học sinh tự làm thêm bài tập ở nhà

* Bảng tóm tắt phương pháp giải toán cụ thể:

Hệ phương trình đối xứng loại 1

Dạng 1: Giải phương trình:

Phương pháp giải chung:

· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

· Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2

4

³

· Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P

rồi dùng Viét đảo tìm x, y

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn

phụ

Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm

Phương pháp giải chung:

· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

· Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2

4

(*)

· Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P

theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m

Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm

chính xác điều kiện của u, v

Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình

Phương pháp giải chung:

Chọn ẩn số phụ u và v thích hợp để đưa về hệ phương trình đối xứng

ìí

Ø Củng cố về định nghĩa hệ phương trình đối xứng

Ø Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng

Ø Rèn luyện kỹ năng dùng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trình

về hệ phương trình đối xứng loại 1

Ø Rèn luyện kỹ năng dùng các hằng đẳng thức quen thuộc để biến đổi biểu thức đối xứng theo S = x+y và P = x.y

Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm

Phương pháp giải chung:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2

Ø Củng cố về định nghĩa hệ phương trình đối xứng

Ø Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tìm điều kiện của tham số

để hệ phương trình đối xứng có nghiệm, có hai nghiệm, có nghiệm duy nhất

Ø Rèn luyện kỹ năng dùng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trình

về hệ phương trình đối xứng loại 1

Ø Rèn luyện kỹ năng dùng các hằng đẳng thức quen thuộc để biến đổi biểu thức đối xứng theo S = x+y và P = x.y

Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình

để giải một số phương trình đại số phức tạp

Hệ phương trình đối xứng loại 2:

Phương pháp giải chung:

· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

· Bước 2: Lấy (1) - (2) hoặc (2) - (1) ta được: (x-y)g(x,y)=0 Khi

đó ta được x-y=0 hoặc g(x,y)=0

+ Trường hợp 1: x-y=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được

nghiệm

+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm

(trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông

thường vô nghiệm

CÁC BÀI TẬP MẪU:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( )

( )

3 3

1 1

1 1

ïí

ìí

A> Mục tiêu bài dạy:

1 Kiến thức : Hiểu và nhận biết được hệ phương trình đối xứng Hệ

thống hóa được các hằng đẳng thức cơ bản thường dùng

2 Kỹ năng : Biết cách giải các dạng bài tập của hệ phương trình đại số,

biết vận dụng các hằng đẳng thức liên quan để biến đổi đưa về biểu thức đối

xứng của S = x + y và P = x.y

3 Tư duy : Rèn luyện tư duy so sánh, tư duy thuật toán, tương tự hoá và

tư duy logic

B>Đồ dùng dạy học:

1.GV : Bảng tóm tắt các phương pháp giải toán theo từng dạng và phiếu

học tập phát cho học sinh kiểm tra ở phần củng cố cuối mỗi dạng toán

2 HS : Bảng tóm tắt các hằng đẳng thức thường dùng của biểu thức đối

xứng

C>Hoạt động dạy và học :

1.Kiểm tra bài cũ

Tiết 1( Tiết 34) 2 phút: Kiểm tra việc lập bảng tóm tắt các công thức

lượng giác ở nhà của học sinh

dạng 1 cho học sinh Sau đó chia lớp thành

4 nhóm mỗi nhóm thực hiện theo sự phân

chia như sau:

Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4

VD1

VD3

VD2 VD4

VD1 VD3

VD2 VD4

Sau đó GV hướng dẫn học sinh biến đổi hệ

phương trình theo các biểu thức của S và P

vào 4 ví dụ của bài tập dạng 1

GV cho đại diện mỗi nhóm phân tích đề bài

và nêu cách giải của từng ví dụ

Phương pháp:

· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

· Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều

kiện của S, P và S2 ³ 4P

· Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ

phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng hệ thức Viét đảo tìm x, y

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

* Đối với VD 1:

GV: Em hãy cho biết VD1 yêu cầu gì ?

Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào?

( Cho đại diện nhóm 1 )

HS nhóm 1:

+VD1 yêu cầu giải phương trình

+Muốn giải phương trình thì ta phải

biến đổi từng phương trình của hệ qua biểu

S90

S

=ìïïí

ïî

ìï =ïïï

Û í

ïïî

Û í

=ïïî

GV: Em hãy cho biết ví dụ 2 yêu cầu gì ?

Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào?

( Cho đại diện nhóm 2 trả lời)

-ï = +í

ï =î

* Đối với VD 3:

GV: Em hãy cho biết ví dụ 3 yêu cầu gì ?

Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào?

VD3: Giải hệ phương trình

( Cho đại diện nhóm 3 trả lời)

֍

GV: Ví dụ này yêu cầu mức độ khó hơn 3

ví dụ đầu Ở phương trình (2) của hệ có

chứa x và ytuy nhiên khi bình phương

Giải:

hai vế lại xuất hiện xy, do đó nếu đặt

t = xy Em hãy biến đổi x+y và x2 + y2

theo t? Muốn giải bài toán này ta làm như

+ x2 +y2= t2 - 32t + 128

+ Đến bước bài toán đã đơn giản và đã biết

GV cho các nhóm thảo luận.Sau đó nhóm 1

và nhóm 3 kiểm tra chéo lẫn nhau; nhóm 2

và nhóm 4 kiểm tra chéo lẫn nhau Mỗi

nhóm cử một người lên bảng trình bày sau

đó cho cả lớp nhận xét Cuối cùng giáo

viên nhận xét đánh giá

Điều kiện ,x y ³ 0Đặt t = xy ³ , ta có: 0

ïï

Û í ³ïï

ïïî

ìïï

Û í

=ïïî

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (4 ; 4)

Hoạt động 2 ( 20 phút) : GV phát phiếu bài

tập dạng 2 cho HS

GV : Hãy nêu điều kiện để hệ phương trình

đối xứng loại 1 có nghiệm ?

HS : Hệ phương trình đối xứng loại 1 có

nghiệm khi và chỉ khi S2 ³4P

GV chia lớp thành 4 nhóm:

* Nhóm I và II giải 2 Ví dụ 1, 3, 5

* Nhóm III và IV giải 2 Ví dụ 2, 4, 6

Sau đó hoán vị cho mỗi nhóm cùng làm

bài tập giống nhau nhận xét rồi cho cả lớp

Phương pháp giải chung:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P (*)

+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m

Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x)

và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v

ìïï

Û í

-ïîĐặt S = x + y ³ 0, P = xy ³ 0, 2

13

3

ìï D ³ïïïï

Û í ³ïï

ï ³ïïî-

ïïï

13

3

ìï D ³ïïïï

Û í ³ïï

ï ³ïïî-

ïïï

ïïí

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

1 m

D = Phương trình (1) có biệt số '

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

phương trình (*) có nghiệm hay :D ³ 0

Hoạt động 3 ( 10 phút) : GV giới thiệu bài

tập về một số bài toán đưa về hệ phương

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

GV : Phương trình đã cho có chứa căn bậc

ba Các biểu thức trong hai căn bậc ba ấy

có tổng là một hằng số Nếu đặt 3

u= x và 3

v= 1 x- em hãy cho biết điều kiện của u

và v Đồng thời theo cách đặt đó ta suy ra

ïí

- =

được hệ phương trình như thế nào ?

HS : Dựa vào bài toán ta thấy :

· Ta có tổng của hai biểu thức trong

í

ï + =î

í

ï + =î

ì + =ï

í

ï + éë + - ùû=î

Û

3u+v =

219u.v =36

ìïïíïïîSuy ra u, v là hai nghiệm của phương trình:

9 - 5

u =12

éêêêêë

· Giáo viên phát phiếu học tập về bài tập

dạng 1 cho học sinh Sau đó chia lớp thành

4 nhóm mỗi nhóm thực hiện theo sự phân

chia như sau:

Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4

Sau đó GV hướng dẫn học sinh biến đổi hệ

phương trình đã cho tương đương với hai

hệ phương trình theo hai trường hợp

+ Trường hợp 1: x-y=0 kết hợp với

phương trình (1) hoặc (2) suy ra được

Hệ phương trình đối xứng loại 2

1 Phương pháp:

· Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

· Bước 2: Lấy (1) - (2) hoặc (2) - (1) ta được: (x-y)g(x,y)=0 Khi đó ta được x-y=0 hoặc g(x,y)=0

+ Trường hợp 1: x-y=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm

+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với

phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về

hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm

nghiệm

+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với

phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong

trường hợp này hệ phương trình mới trở về

hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô

nghiệm

· GV cho đại diện mỗi nhóm phân tích đề

bài và nêu cách giải của từng ví dụ

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

GV : Gọi 1 học sinh đại diện nhóm 1 đứng

tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung

VD1 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán

này ta làm như thế nào ?

Học sinh đại diện nhóm 1:

· Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,

vì khi ta thay đổi vai trò của x bởi y và y

bởi x thì phương trình (1) của hệ biến thành

phương trình (2), đồng thời phương trình

+ Biến đổi thu gọn được kết quả

GV cho nhóm 1 thảo luận và giải VD1,

sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên

bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét GV

đánh giá lời giải và sửa chữa những sai

lầm ( nếu có)

VD1:Giải hệ phương trình

( ) ( )

3 3

3

x = 3x + 8y(I)

S= (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)

GV : Gọi 1 học sinh đại diện nhóm 2 đứng Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung

VD2 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán

này ta làm như thế nào ?

Học sinh đại diện nhóm 2:

· Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,

vì khi ta thay đổi vai trò của x bởi y và y

bởi x thì phương trình (1) của hệ biến thành

phương trình (2), đồng thời phương trình

+ Biến đổi thu gọn được kết quả

GV cho nhóm 2 thảo luận và giải VD2,

sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên

bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét GV

đánh giá lời giải và sửa chữa những sai

lầm ( nếu có)

4 4

1 1

1 1

ïí

x - 1

y - 1

u v

ì =ïí

GV : Gọi 1 học sinh đại diện nhóm 3 đứng

tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung

VD3 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán

này ta làm như thế nào ?

Học sinh đại diện nhóm 3:

· Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,

vì khi ta thay đổi vai trò của x bởi y và y

bởi x thì phương trình (1) của hệ biến thành

phương trình (2), đồng thời phương trình

(2) biến thành phương trình (1)

· Bài toán yêu cầu là tìm m để hệ phương

trình có nghiệm, có nghiệm duy nhất

· Để giải bài toán này ta làm như sau:

+ Lấy (1) – (2) về theo vế để đưa hệ đã

cho tương đương với hai hệ phương trình

mới

VD 3: Cho hệ phương trình

2 2

Giải: