Giáo trình lý thuyết tàu thủy (nghề công nghệ chế tạo vỏ tàu thủy hệ trung cấp nghề)

- 3 trục tọa độ cĩ chiều dương theo mũi tên: ox: hướng từ lái đến mũi oy: hướng từ trái sang phải ox: hướng từ dưới lên trên - Giao tuyến của các mặt phẳng với tàu :cắt dọc, đường sườn,

TR ƯỜNG CAO ĐẲNG HÀNG HẢI II

KHOA C Ơ KHÍ

GIÁO TRÌNH

MH15

CH ƯƠNG TRÌNH MÔN HỌC LÝ THUYẾT TÀU THỦY

( Ban hành theo Thông t ư số / /TT-BLĐTBXH Ngày tháng n ăm của Bộ Trưởng Bộ Lao động – Thương binh và Xã hội

+ Là môn học chuyên môn thuộc môn học, mô đun bắt buộc

II M ỤC TIÊU MÔN HỌC:

- Trình bày được những các thông số cơ bản thể hiện hình dáng con tàu

- Tính toán được tính nổi, tính ổn định, tính chống chìm, chủ yếu đối với tàu truyền thống

- Tính toán được sức cản của tàu, chân vịt đẩy tàu tính quay vòng và diện tích bánh lái tàu

- Phân tích được quá trình hạ thủy dọc dưới tác dụng của trọng lượng bản thân con tàu, bốn giai đoạn hạ thủy

- Rèn luyện thái độ làm việc nghiêm túc trong hoạt động khoa học

III N ỘI DUNG MÔN HỌC:

1 N ội dung tổng quát và phân phối thời gian

3 Thể tích chiếm nước của tàu 1 1

1.Thể tích chiếm nước và lực đẩy 1 1

2 Cân bằng tàu Khối lượng và trọng tâm

3 Ảnh hưởng của nhận hàng và trả hàng

4 Dự trữ tính nổi và dấu hiệu mạn khô 2 1 1

1 Khái niệm chung về ổn định tĩnh và ổn

2 Các định nghĩa cơ bản về tính ổn định

3 Nghiêng tương đương và định lý Ơle về

4.Tâm nghiêng và bán kính tâm nghiêng

5 Các biện pháp giảm lắc cho tàu 1 1

VIII Tính quay vòng, ăn lái của tàu 3 3

1 Khái niệm chung 1 1

3 Ổn định hướng đi của tàu 1 1

1 Các phương pháp hạ thủy tàu 1 1

2 Hạ thủy ngang và dọc tàu dưới tác dụng

3 Các giai đoạn trong quá trình hạ thủy

Bài 1

HÌNH DẠNG VÀ KÍCH THUỚC TÀU

1 Hệ trục tọa độ khảo sát tàu

Gồm một hệ thống gồm 3 mặt phẳng vuơng gĩc lẫn nhau:

• Mặt phẳng đối xứng: là mặt phẳng thẳng đứng chia đơi chiều rộng của tàu

• Mặt phẳng sườn giữa: là mặt phẳng thẳng đứng vuơng gĩc với mp đối xứng và chia đơi chiều dài tính tốn của tàu

• Mặt phẳng cơ bản: là mp nằm ngang vuơng gĩc với hai mp trên và đi qua điểm thấp nhất của đáy tàu Đối với tàu cĩ đáy bằng thì mp cơ bản trùng với mp đáy tàu

- 3 trục tọa độ cĩ chiều dương theo mũi tên:

ox: hướng từ lái đến mũi

oy: hướng từ trái sang phải

ox: hướng từ dưới lên trên

- Giao tuyến của các mặt phẳng với tàu :cắt dọc, đường sườn, đường nước

- Bản vẽ tuyến hình tàu là bản vẽ biểu diễn hình dáng vỏ bao tàu trên cơ sở ba dạng hình chiếu: hình chiếu bằng, hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh

2 Các kích thước chính của tàu

a Chiều dài tàu L

- Chiều dài thiết kế:LTK (LDWL): khỏang cách từ mép trước của sống mũi tới mép sau của sống lái trên đường nước chở hàng mùa hè

- Chiều dài giữa 2 đường vuơng gĩc:L┴ ┴ là khỏang cách từ mép trước của sống mũi tới mép sau của trụ đỡ bánh lái (tâm bánh lái) trên đường nước chở hàng mùa hè (L┴ =97% LTK), tàu 2cv thì L ┴ =LTK

- Chiều dài lớn nhất Lmax(Ltb):khỏang cách lớn nhất giữa 2 đầu mũi lái của thân tàu (mép trước sống mũi tới mép sau sống lái,chưa kể phần nhơ )

b Chiều rộng tàu B:

Z

Y

X O

A

B

-Btk:là k/c từ mép ngòai của sườn ở mạn này tới mép ngòai của sườn ở mạn kia trên mặt cắt ngang tại giữa tàu trên ĐNTK

-Bmax: Là khoảng cách bề rộng đo giữa 2 MP song song với MP dọc tâm tàu và tiếp xúc với 2 mạn tàu ở điểm xa nhất

-Mớn lái Tl:Là k/c thẳng góc tính từ giao điểm giữa đường vuông góc đuôi và đường kéo dài

từ mép trên của ki đáy tới ĐNTK( đường nước chở hà ng mùa hè)

-Mớn nước trung bình Ttb=

2

Tl

Tm+ ,tàu đáy bằng thăng bằng Tm=Tl

-Tm>Tl-tàu chúi mũi ,độ chúi mũi Tm=Tm−Tl

-Tl>tm –tàu chúi đuôi ,độ chúi lái Tl=Tl−Tm

Trong khai thác thường xuyên kiểm tra độ độ chúi ,độ nghiêng không vượt quá cho phép,đảm bảo an tòan tàu

d Chiều cao tàu H - Là k/c thẳng góc tính từ mép trên của ki tới mép boong trên tại giữa tàu

e Chiều cao mạn khô F: Là k/c thẳng góc tính từ ĐNTK tới mép boong trên tại giữa tàu

b H ệ số béo đường nước

Hệ số béo diện tích đường nướclà tỉ số giữa diện tích đường nước của tàu và diện tích hình

+ Hệ số béo thể tích cho biết khả năng chuyên chở, bố trí hàng hóa, tốc độ tàu, sức cản….và

tính các thông số khác của tàu

+ Hệ số béo diện tích đường nước đảm bảo tính ổn định, diện tích mặt boong

b H ệ số béo diện tích đường sườn  =   

4 Lượng chiếm nước

- Lượng chiếm nước D () là trọng lượng tòan bộ lượng nước mà tàu đẩy ra để chiếm chỗ,

cũng chính là trọng lượng toàn bộ của con tàu khi chở đầy

- Phn lọai: D= Do+Pn

Trọng lượng thân vỏ tàu,

thiết bị, hệ thống,máy chính máy phụ,…

Tàu không(DO) thiết bị điện ,thông tin hàng hải,dụng cụ, …

trơn,nước nồi hơi

- Trọng tải toàn phần gồm hàng hóa,(hành khách, hành lý, lương thực,nuớc ngọt cho

khách) , vật liệu hao mòn , nhiên liệu,dầu bôi trơn,nước nồi hơi, thuyền viên, hành lý, lương thực,nuớc ngọt cho thuyền viên

- Tấn đăng ký là tổng dung tích khoang để tính thuế kênh đào, hoa tiêu đèn biển,

1 Điều kiện nổi, phương trình cân bằng tàu ở các tư thế

a Khái niệm tính nổi

- Tính nổi của tàu là khả năng cân bằng của tàu ở một vị trí nhất định khi nổi trên mặt nước hoặc chìm trong nước (tàu ngầm )

- Tính nổi là một tính năng quan trọng, nó quyết định sự tồn tại của con tàu và nó phụ thuộc

vào hình dáng và kích thước tàu

b Các lực tác dụng lên tàu khi nổi

Coi tàu là một vật rắn thả trong nước , nếu bỏ qua các ngoại lực như sóng gió, dòng

chảy,…thì có hai thành phần lực tác dụng lên tàu là trọng lượng bản thân tàu và lực nổi của

nước theo định luật Acsimet

- Trọng lượng bản thân tàu D

- Độ lớn (T): Là tổng các thành phần trọng lượng có mặt trên tàu:Trọng lượng khung vỏ, máy móc, hệ thống thiết bị, hàng hóa (hành khách ),nhiên liệu…

D = Pvỏ + Pmáy +P th.bị +Phàng (khách) +Pn.liệu + … +D

- Phương, chiều: thẳng đứng và hướng từ trên xuống dưới

- Điểm đặt tại trọng tâm tàu, ký hiệu là G và có toạ độ XG, YG ,ZG

Thông thuờng XG =(1 2)% L, YG= 0, ZG = a.H, trong đó H là chiều cao mạn, a là hệ số phụ thuộc từng loại tàu,

a = 0,55  0,62

- Lực nổi l ực đẩy Acsimet) Q

: Là hợp lực của các áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên phần vỏ

bao tàu ngâm trong nước

- Mỗi phân tố vỏ bao ngâm nước chịu tác dụng của áp lực thuỷ tĩnh là :

p =  z + po , trong đó T là chiều chìm tàu, z là cao độ điểm đặt áp lựcso với mặt

thoáng WL , p o là áp suất khí quyển

Hợp tất cả các thành phần áp lực tĩnh trên toàn bộ phần ngâm nước của tàu ta được lực nổi

- Phương, chiều: thẳng đứng và hướng từ dưới lên trên

- Điểm đặt tại tâm phần thể tích ngâm nước của tàu, gọi là tâm nổi C và có toạ độ Xc, Yc ,

Zc

Thông thường Zc = (1/2 2/3 )T

- Lực nổi l ực đẩy Acsimet) Q

: Là hợp lực của các áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên phần vỏ

bao tàu ngâm trong nước

- Mỗi phân tố vỏ bao ngâm nước chịu tác dụng của áp lực thuỷ tĩnh là :

p =  z + po , trong đó T là chiều chìm tàu, z là cao độ điểm đặt áp lựcso với mặt

thoáng WL , p o là áp suất khí quyển

Hợp tất cả các thành phần áp lực tĩnh trên toàn bộ phần ngâm nước của tàu ta được lực nổi

- Phương, chiều: thẳng đứng và hướng từ dưới lên trên

- Điểm đặt tại tâm phần thể tích ngâm nước của tàu, gọi là tâm nổi C và có toạ độ Xc, Yc ,

Zc

Thông thường Zc = (1/2 2/3 )T

c Điều kiện để tàu nổi

Vì tàu được xem là vật rắn tuyệt đối, theo cơ học lý thuyết tàu chỉ có thể cân bằng khi tổng

tất cả các lực và mô men lên tàu bằng không

ª Điều kiện1:Để tàu nổi thì 2 véc tơ lực trọng lượng bản thân D

và lực nổi Q

phải có độ lớn bằng nhau (cân bằng về lực)

D = Q hay D =  V (1)

Đây gọi là phương trình sức nổi của tàu

ª Điều kiện 2: Trọng tâm G và tâm nổi C cùng nằm trên đường thẳng thẳng đứng với mặt

thoáng (cân bằng mô men)

YG = Yc = 0 (Tàu không nghiêng ngang )

XG = Xc (Tàu không chúi )

ª Để tàu nổi cân bằng (cân bằng ổn định) lực nổi bằng trọng lượng tàu, còn trọng tâm G và

tâm nổi C phải cùng nằm trên đường thẳng thẳng đứng trong mặt phẳng dọc tâm tàu

Hình Tàu cân b ằng ổn định

c Phương trình cân bằng tàu ở các tư thế

a Định nghĩa tư thế tàu: Là vị trí tương đối của tàu so với mặt lặng được đặc trưng bởi góc

nghiêng ngang  và góc nghiêng dọc (góc chúi)  và các mớn nướcTm,Tl a-Tư thế cân bằng

th ẳng đứng (cân bằng ổn định )  =  = 

(Hình 2)

Phương trình cân bằng tàu lúc này là :

D =  V (1) (Điều kiện để tàu nổi )

YG = Yc = 0 (2)(Điều kiện để tàu không nghiêng ngang )

XG = Xc (3) (Điều kiện để tàu không chúi )

b-T ư thế nghiêng ngang thuần tuý  0,  = 

Ban đầu khi tàu cân bằng thẳng đứng có đường nước WL

Khi tàu nghiêng ngang một góc q (đường nước WL ) G không thay đổi nhưng tâm nổi C dịch chuyển đến vị trí mới C theo quỹ đạo đường cong.WL) q (đường nước WL) G khơng thay đổi nhưng tm nổi C dịch chuyển đến vị trí mới C theo quỹ đạo đường

WL

Q Y

WL G

C

G

Y = Yc = O

X O

O

D D

O G X X

q (đường nước WL) G khơng thay đổi nhưng tm nổi C dịch chuyển đến vị trí mới C

theo quỹ đạo đường cong

Xét tam giác vuơng GHC có G =  HC = GHtg hay

Yc - YG= tg (ZG-Zc)

Hình Tàu nghiêng

thuần tuý

************************

Phương trình cân bằng tàu lúc này là :

D =  V (1) (Điều kiện để tàu nổi )

Yc - YG= tg ( ZG-Zc) (2) ( Tàu nghiêng ngang)

XG = Xc (3) (Tàu không chúi )

c -Tư thế chúi thuần tuý  = 0,  Khi tàu chúi một góc  (đường nước WL ) G không thay đổi nhưng tâm nổi C dịch chuyển đến vị trí mới Ctheo quỹ đạo đường cong Xét tam giác vuông GHC có G =   HC = GHtg hay Xc - XG= tg (ZG-Zc)

Hình Tàu chúi

thuần tuý

Phương trình cân bằng tàu lúc này là:

D =  V (1) (Điều kiện để tàu nổi )

WL Z

Y O

D G

C Q

YG = Yc = 0 (2) Tàu không nghiêng ngang )

Xc - XG= tg (ZG-Zc) (3) ( Tàu nghiêng dọc)

ª Mớn nướn mũi và lái khi tàu chúi

d- Tư thế nghiêng tự do   0, 

Là tư thế tổng hợp của tư thế b và c, tàu vừa nghiêng vừa chúi

Phương trình cân bằng tàu lúc này là :

D =  V (1) (Điều kiện để tàu nổi )

Yc - YG= tg (ZG-Zc) (2) ( Tàu nghiêng ngang)

Xc- XG= tg (ZG-Zc) (3) ( Tàu nghiêng dọc)

Kết luận

- Có 2 thành phần lực tác dụng lên tàu khi nổi là trọng lượng bản thân D

và lực nâng của nước Q

- Điều kiện để tàu nổi là D =  V

- Điều kiện để tàu nổi cân bằng thẳng đứng là 2 véc tơ D

và Q

phải cùng phương, ngược

chiều và bằng nhau về độ lớn

2 Trọng lượng, trọng tâm tàu

- Trọïng lượng tàu là tổng các thành phần trọng lượng có mặt trên tàu

(khung vỏ, máy,trang thiết bị, hàng hoá,….)

D = P = 

=

n

i i

P

1 ZGi

Trong đĩ Myz, , Mxz , Myz là các tổng mơ men tĩnh các thành phần trọng lượng đối với các mặt phẳng yoz, xoz, xoy

TF F

S W WNA

Boong chính

KWL

300 450

540

Z

Y O

S1

S

WL1 WL

3 Phù hiệu chở hàng

- Mục đích: Quan sát bằng mắt thường trạng thái tải trọng của tàu, đảm bảo an

toàn khi chạy tàu ở các mùa và vùng họat động khác nhau -Cấu tạo : - Cách sử dụng:Khi nhận hàng mớn nứơc tàu không được ngập quá mớn nước quy định

TF: Mớn nước chở hàng vùng nước ngọt nhiệ đới

F: Mớn nước chở hàng vùng nước ngọt cửa sông

T: Mớn nước chở hàng vùng nước biển nhiệ đới

S: Mớn nước chở hàng vùng nước biển, mùa hè

W: Mớn nước chở hàng vùng nướcbiển, mùa đông

WNA: Mớn nước chở hàng vùng đại tây dương

- Hai bên vịng trịn phía trên đường nằm ngang ghi cơ quan đăng kí tàu ,VR:Việt nam , LR:Anh, PC:Nga Aùp dụng ở vùng biển Việt nam :Từ Mĩng cái đến Phan thiết ừ ngày 21/1-30/4 được chờ tối đa đến vạch T, từ 1/5-20/1được chờ tối đa đến vạch S.Từ Phan thiết trở vào cà năm được chờ tối đa đến vạch T 4 Sự thay đổi tư thế tàu khi nhận hàng 4.1.Khi nhận hàng a Nhận hàng nhỏ (P<=10%D) Chiều chìm và tư thế tàu thay đổi + Thay đổi chiều chìm Sau khi nhận hàng D →D1, V→ V1 V1=V+dV, T1=T+dT, D1=V1=(V+dV)=V+ dV Vì P nhỏ S  S1,dV là hình hộp chữ nhật dv=S.dT →V+ dV =V+ S dT →P=  S dT → dT= S P  + Thay đổi tư thế : G và C thay đổi ) ( P C G X X P D P X − + =  C (X f X C) P D P X − + =  ) ( P C G Y Y P D P Y − + =  Y C =0 ) ( P C G Z Z P D P Z − + =  )

2

P D

P

Z + −

+



Điều kiện nhận hàng mà tàu khơng nghiêng là trọng tâm khối hàng nằm trên đường thẳng đứng với tâm diện tích đường nườc x p =x f

Khi đó tâm nổi thay đổi , tư thế tàu thay đổi , xác định dT,dXc,dZc… từ đồ thị

4.2 Khi tỷ trọng nước thay đổi

Thay đổi mớn nước khỏang ( 2,5 % )

WL WL

1 Khái niệm chung về ổn định tàu

1.1 Định nghĩa và phân loại ổn định

Khi tàu hoạt động, dưới tác động của ngoại lực (sĩng, giĩ, dịng chảy, dich chuyển hàng hĩa vv…) vị trí cân bằng của tàu bị phá vỡ, tàu bị nghiêng về phía mạn hay nghiêng dọc một gĩc nào đĩ

Tính ổn định là khả năng của tàu chống lại các tác động của ngoại lực đưa tàu quay trở về vị trí cân bằng ban đầu khi ngoại lực ngừng hoạt động

Tùy theo tính chất của ngoại lực gây nghiêng tàu (mơ men nghiêng, ký hiệu là Mng) mà

người ta chia thành ổn định tĩnh và ổn định động Nếu mơ men nghiêng thay đổi từ từ trong thời gian tác động được coi là mơ men nghiêng tĩnh Mơ men nghiêng tàu cĩ tốc độ thay đổi

đột ngột được xét là động Số đo của ổn định tĩnh là giá trị mơ men hơi phục, ký hiệu Mhp( hoăc Mr), chống lại mơ men gây nghiêng tàu và khi mơ men nghiêng khơng cịn tác động thì

mơ men hồi phục đưa tàu vế vị trí cân bằng ban đầu Số đo ổn định động là cơng sinh ra để thắng cơng ngoại lực và đưa tàu bị nghiêng đến gĩc khá lớn quay trở về vị trí cân bằng ban đầu lúc ngoại lực khơng cịn tác động

Phụ thuộc hướng nghiêng tàu khi bị ngoại lực tác động cĩ thể phân biệt ổn định ngang

khi xét ổn định trong trạng thái nghiêng ngang và ộn định dọc trong trường hợp tàu nghiêng

dọc

+ Định lý Ơle về đường nước tương đương :Khi nghiêng tàu, trị số phần thể tích ngâm

nước khơng thay đổi (chỉ thay đổi hình dáng) gọi là nghiêng tương đương Khi đĩ v = v2

-v1= 0 Mặt khác người ta chứng minh được rằng giao tuyến của hai đường nước tương đương

phải đi qua trọng tâm diện tích đường nước

ban đầu WL Điều nay làm cơ sở tính tốn các gĩc nghiêng sau này

Hình .Đường nước nghiêng tương đương

Định lý Ơle: Giao tuyến của hai đường nước tương đương nếu gĩc nghiêng nhỏ cần phải

đi qua trọng tâm của cả hai đường nước

1.2 Câc dạng cđn bằng của vật rắn

Cđn bằng ổn định Cđn bằng phiếm định Cđn bằng bất định

2 Mođ men hoăi phúc khi taøu nghieđng moôt goùc  nhoû (<10)

2.1 Khaùi nieôm mođ men hoăi phúc

 Ñònh nghóa : Mođ men choâng lái mođ men nghieđng cụa ngoái löïc giuùp taøu quay veă vò trí

cađn baỉng ban ñaău gói laø mo men hoăi phúc M hp

Ta xeùt cô cheâ hoăi phúc cuạ taøu nhö sau:

Taøu ñang ôû tö theâ cađn baỉng thaúng ñöùng coù ñöôøng nöôùc WL, tróng tađm taøu G , tađm noơi C

Giạ söû coù moôt ngoái löïc taùc dúng (mođ men nghieđng, M ng ) leđn taøu theo phöông ngang töø mán traùi qua mán phại laøm cho taøu nghieđng veă beđn phại moôt goùc  Khi taøu nghieđng caùc

thođng soâđ cụa taøu thay ñoơi nhö sau: Ñöôøng nöôùc WL  WL ,tróng tađm taøu vaên giöõ

nguyeđn laø G, tađm noơi dòch chuyeơn ñeẫn vò trí môùi C theo quyõ ñáo gaăn nhö cung troøn coù

tađm laø moôt ñieơm coâ ñònh naỉm tređn trúc OZ kí hieôu laø M, gói laø tađm nghieđng, khoạng caùch

MC khođng ñoơi kí hieôu laø r, gói laø baùn kính tađm nghieđng

Luùc naøy caùc veùc tô tróng löôïng bạn thađn taøu D

vaø löïc noơi (löïc nađng Acsimet)Q

coù phuông song song vôùi nhau, ngöôïc chieău nhau, ñoô lôùn baỉng nhau neđn táo thaønh moôt

ngaêu löïc Mođ men cụa ngaêu löïc naøy coù chieău ngöôïc lái vôùi mođ men nghieđng cụa ngoái

löïc neđn choâng lái söï nghieđng cụa taøu, giuùp taøu quay trôû veă vò trí cađn baỉng ban ñaău , noù

chính laø mođ men hoăi phúc M hp

 Bạn chaât cụa mođ men hoăi phúc : Mođ men hoăi phúc chính laø mođ men cụa ngaêu löïc do hai

veùc tô tróng löông bạn thađn taøu D

vaø veùc tô löïc noơi Q

táo thaønh

Hình Mođ men hoăi phúc

0

Q

D 0

0

0

Mng Mhp

M

C

WL

WL

G

O

Y

Z

C

H G

C N

c 0

0 0

Hình Cánh tay đòn

ổn định tĩnh

Trong đó  l = yC.Cos  +(Z C –Z C) Sin , phụ thuộc vào vị trí tâm nổi của tàu gọi

là cánh tay đòn ổn định hình dáng

 lg = a Sin  phụ thuộc vào vị trí trọng tâm tàu gọi là cánh tay đòn ổn định

trọng lượng

Ta có thể viết M hp = D l  –D lg = M –Mg (2) Trong đó M  gọi là mô

men ổn định hình dáng ,

M g gọi là mô men ổn định trọng lượng

2.3 Biện pháp tăng mô men hồi phục

Tăng mô men hồi phục tức là tăng khả năng ổn định va tăng tính năng an toàn cho một

con tàu, đây là điều rất quan trọng trong quá trình hành hải tàu Độ lớn của mô men hồi

phục phụ thuộc vào hình dáng vỏ tàu, vị trí trọng tâm tàu (sự bố trí hàng hóa trên tàu) Vị

trí trọng tâm càng thấp thì chiều cao tâm nghiêng h càng lớn và giá trị mô men hồi phục càng lớn và ngược lại.Trong qúa trình thiết kế ngưòi ta tính toán giá trị chiề cao tâm

nghiêng phù hợp từng loại tàu theo Quy phạm của Đăng kiểm (chiều cao tâm nghiêng

ban đầu h0  0.02m)

Trong quá trình khai thác tàu, khi bố trí hàng hóa ngoài việc trọng tâm tàu phải đảm bảo chính xác còn phải chú ý sao cho có lợi nhất về ổn định.Ta cố gắng bố trí hàng hóa,

những kết cấu nặng ở thấp, giảm các kết cấu nặng trên boong.Với tàu Quân sự , trọng

2.2 Công thức của mô men hồi phục

Mhp = D GH Trong đó GH gọi là cánh tay đòn ổn định tĩnh kí hiệu là l

Xét tam giác vuông MHG có M 

=   GH = MG.Sin

MG gọi là chiều cao tâm nghiêng, kí hiệu là h

Mhp = D.h Sin (1)

 Ta có thể viết công thức (1) dưới dạng khác như sau:

Vì góc  nhỏ nên gần đúng coi CC ⊥ MC (hình 2b )

do đó l =GH = QC = ( CN + NC ) – CQ =

= yc.Cos  + (Z C –Z c ) Sin   – a Sin =l-lg