Dạng 8 một số bài toán số phức chọn lọc

Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn  C trong mặt phẳng Oxy.. Tìm bán kính Rcủa đường tròn  C... Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là z

I PHẦN ĐỀ BÀI

Câu 1: [Số Phức 2023] Xét các số phức z a bi a b  ( ,  ) thỏa mãn |z 3 2 | i  5 Tính

P a b  khi|z 3 3 | | i  z 7 i| đạt giá trị lớn nhất

Câu 2: [Số Phức 2023] Trong tập các số phức, phương trình z2 6z m 0,m  1 Gọi m là một0

giá trị m để phương trình  1

có hai nghiệm phân biệt z z1, 2 thoả mãn z z1 1 z z2 2 Hỏi trong khoảng 0;20

có bao nhiêu giá trị m  ?0

Câu 3: [Số Phức 2023] Xét các số phức z và w thỏa mãn | | | | 1z w  và |z w | 2 Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P|zw2 (i z w ) 4 | bằng

A

3 2

1 5 2 4



Câu 4: [Số Phức 2023] Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z z  |z z | Xét

các số phức z z1, 2 sao cho S z1 z2  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức1

Pz  i  z  i

bằng

Câu 5: [Số Phức 2023] Biết phương trình z2mz m 2 2 0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm

phức z z Gọi 1, 2 A B C, , lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z z và 1, 2 z0  Có bao nhiêui giá trị của tham số m để diện tích tam giác ABC bằng 1?

Câu 6: [Số Phức 2023] Cho số phức z thoả mãn iz z. (1 2 ) i z (1 2 ) i z 4i0 Giá trị lớn nhất của

P  z i  z  i

gần số nào nhất sau đây?

Câu 7: [Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z2 2mz6m 5 0( m là tham

số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z z1, 2

thỏa mãn z z1 1 z z2 ?2

Một số bài toán số phức chọn lọc

Số phức

Câu 8: [Số Phức 2023] Xét hai số phức z z thỏa mãn các điều kiện 1, 2 z1 2, z2  3, z1z2  5

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3z1 z210 5 i  bằng2

B 10 3 2 5 B 3 5 1 C 2 2 5 D 8 2 5

Câu 9: [Số Phức 2023] Có tất cả bao nhiêu số phức w thỏa mãn điều kiện 2ww 1 và 2

w

w là số

thuần ảo?

Câu 10: [Số Phức 2023] Cho hai số phức z và w thay đổi thỏa mãn các điều kiện z  1 i z và

w  i  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z w 1 i

A minP 3 2 1 B minP 3 2. C minP 5 2. D minP 5 2 1

Câu 11: [Số Phức 2023] Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z 1 3i  và số phức 2 w 1 2i z

Biết

rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn  C

trong mặt phẳng Oxy

Tìm bán kính Rcủa đường tròn  C

A R  5 B R  10 . C R  6 D R 2 5

Câu 12: [Số Phức 2023] Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho

(1 2 ) (1 2 ) 4 0

iz z  i z  i z i và T là tập hợp tất cả các số phức w có phần thực khác 0 sao

cho 6

w

w i là số thực Xét các số phức z z1, 2 và w T S  thỏa mãn z1 z2 2 5

và

2 1 2



  Khi w z 1  w z1

đạt giá trị nhỏ nhất thì w z 1 w z 1

bằng

Câu 13: [Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z22mz m 12 0 ( m là tham

số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z z1, 2

thỏa mãn z1  z2  2 z1 z2 ?

Câu 14: [Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z2 2mz3m10 0 ( m là

tham số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm z z1, 2

không phải số thực thỏa mãn z1  z2  ?8

Câu 15: [Số Phức 2023] Cho số phức z và số phức w(z i z i )(  ) 2 z 3i thỏa mãn

2022 2023 1 0

w i  i  w 

Giá trị lớn nhất của biểu thức T  |z 3i|2 |z  1 3 |i 2 bằng 5

m n với m n  , Tính P m n

Câu 16: [Số Phức 2023] Giả sử z z là hai trong các số phức 1; 2 z thỏa mãn (z 6)(8 ) i z là số thực

Biết rằng z1 z2  Giá trị nhỏ nhất của 6 z13z2 bằng

A  5 73 B 5 21 C 20 2 73 D 20 4 21

Câu 17: [Số Phức 2023] Cho các số phức z, w thỏa mãn z 2, w 3 2 i  khi đó 1 z2 2zw 4

đạt giá trị lớn nhất bằng

Câu 18: [Số Phức 2023] Cho số phức z x yi x y  , ,  

thỏa mãn z z  2 3 z z 4i 6 và

Gọi M m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức , P2x3y5. Khi đó M m bằng:

A

17

33

13 5



22

5

Câu 19: [Số Phức 2023] Trên tập hợp số phức, xét phương trình 2 1 2 

4

z  m z m  m  m

là tham số thực) Có bao nhiêu số nguyên m  [ 10;10] đề phương trình trên có hai nghiệm phức z z thỏa mãn 1, 2 z1z2 z1 z2 ?

Câu 20: [Số Phức 2023] Cho M N P, , lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z z thỏa mãn điều1, ,2 3

kiện 5z1 9 3i 5z1 , z2 2 z2 3 i z, 3 1 z3 3 4 Khi M N P, , không thẳng hàng, giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi p của tam giác MNP là

A

10 5

6 5

9 10

5 11

13

Câu 21: [Số Phức 2023] Cho hai số phức z, w thỏa mãn z w  10, 2z w  17 và

Tính giá trị của biểu thức P z .wz.w

A P 14 B P  14 C P 16. D P 8.

Số phức

I HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: [Số Phức 2023] Xét các số phức z a bi a b  ( ,  ) thỏa mãn |z 3 2 | i  5 Tính

P a b  khi|z 3 3 | | i  z 7 i| đạt giá trị lớn nhất

Lời giải Chọn B

Ta có

z  i   a  b         

Đặt

 

3

5

* 2

5

a

b













Đặt T  |z 3 3 | | i  z 7 i| a 32b 32  a 72b12

Thay  *

vào ta có:

2

30 10 5 cos 30 8 5 sin 6 5 cos

2 60 8 5 sin 16 5 cos 2 60 8 5 sin 2cos

Mà  5 sin t2cost 5 T  2 60 8 5.   5  10 2

Suy ra T max 10 2 khi:

30 10 5 cos 30 8 5 sin 6 5 cos







2 cos

5

t

b









Vậy P a b  6

Câu 2: [Số Phức 2023] Trong tập các số phức, phương trình z2 6z m 0,m  1

Gọi m là một0

giá trị m để phương trình  1

cĩ hai nghiệm phân biệt z z1, 2 thoả mãn z z1 1 z z2 2 Hỏi trong khoảng 0;20

cĩ bao nhiêu giá trị m  ?0

Lời giải Chọn A

Để phương trình  1 cĩ hai nghiệm phân biệt z z1, 2 thoả mãn z z1 1z z2 2 thì

 

 

2

1 1 2 2 1 2 2 1

2

1 2

2 2

1 1 2 2 1 2

9

m

       

 

 



      













 









luôn đúng

Mà trong khoảng 0; 20 và m  0 nên cĩ 10 giá trị m0 thoả mãn.

Câu 3: [Số Phức 2023] Xét các số phức z và w thỏa mãn | | | | 1z w  và |z w | 2 Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P|zw2 (i z w ) 4 | bằng

A

3 2

1 5 2 4



Lời giải Chọn A

Gọi ,A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ,zw , khi đĩ với | z w | 2 ta luơn cĩ OAB

là tam giác vuơng tại O với OA OB   0

, khi đĩ ta luơn cĩ z w là số thuần ảo tức

z w ki k   

2

ki

w





Pw  i w w   i w i  w i  i

Đặt u w   1 i w u   1 i | | |w   u 1 i| 1 , khi đĩ ta suy ra (đặt trước z0  1 i)

2

2

0 0

| | 4 | | 4

Số phức

u z u z  u z   u z z u   u  z  u 

2

| | 4 | | 4 | | 1 2 | | 2 | | 5 2 | |

Câu 4: [Số Phức 2023] Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z z  |z z | Xét

các số phức z z1, 2 sao cho S z1 z2  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức1

Pz  i  z  i

bằng

Lời giải

Chọn A

Đặt z a bi a b  ; ,  

Ta có:

2 2

2 2

2 2

2

2

Gọi ,A B lần lượt là hai điểm biểu diễn của số phức z z1, 2.

z  z   AB

Khi đó: Pz1 3i  z2 3i CA CB

, với (0; 3)C

min 1 2 2; v?i ( 1;0), (1;0),1 2 1

Dấu " = " xảy ra vì ,A B lần lượt là trung điểm CI CI1, 2 và AB  I I1 22 1 (thỏa mãn)

Câu 5: [Số Phức 2023] Biết phương trình z2mz m 2 2 0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm

phức z z Gọi 1, 2 A B C, , lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z z và 1, 2 z0  Có bao nhiêui giá trị của tham số m để diện tích tam giác ABC bằng 1?

Lời giải

Chọn C

Ta có:  m2 4m2 2 3m2 8

TH1:

        

Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là z z1, 2.

ABz  z  z  z  z z  z z   m 

Mặc khác, ta có (0;1)C  d C AB( ; ) 1

2

ABC

m

TH2:

2

2 6 3

2 6 3

m m

m









      





 Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là

1,2

| | 2

m i

z   

Ta có:

ABz  z i    m   m 

và (0;1)C .

Phương trình đường thẳng AB là 0

2

m

x  

nên

| | ( ; )

2

m

d C AB 

Do đó,

3

ABC

m









Vậy có 4 giá trị thực của tham số m thỏa mãn đề bài.

Câu 6: [Số Phức 2023] Cho số phức z thoả mãn iz z. (1 2 ) i z (1 2 ) i z 4i0 Giá trị lớn nhất của

P  z i  z  i

gần số nào nhất sau đây?

Lời giải.

Giả sử z x yi x y,( ,   Ta có)

(1 2 ) (1 2 ) 4 0 ( )( ) (1 2 )( ) (1 2 )( ) 4 0

Suy ra, tập hợp các số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường tròn ( ) C có tâm ( 2; 1) I   , bán kính

3

R  .

Lại có

| 1 2 | | 4 | | ( 1) ( 2) | | ( 4) ( 1) |

Kết hợp với (2) ta được P 9 2( x y ) 21 4( x y )

Đặt t x y  thì Pf t( ) 9 2 t 21 4 t với

21 9

;

4 2

t  

Khảo sát hàm số ( )f t hoăc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta được

Số phức

P  t    t       

Dấu bằng xảy ra khi

5 4

t 

, từ đó có thể tính được

7 217 17 217

z  i 

Câu 7: [Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z2 2mz6m 5 0( m là tham

số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z z1, 2

thỏa mãn z z1 1 z z2 ?2

Lời giải.

Ta có  m2 6m 5

Phương trình có hai nghiệm phân biệt nên xảy ra hai trường hợp:

- Nếu  0 m  ( ;1) (5;  thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ) z z1, 2 và

1 1; 2 2

z z z z nên

1 2

2 2

(ko thoai mãn),







- Nếu  0 m(1;5), thì phương trình có hai nghiệm phức là hai số phức liên hợp

Khi đó z1z z2; 1z2 nên z z1 1z z2 2  z z1 2 z z1 2 luôn đúng với m (1;5).

Vầy có 4 giá trị nguyên của m thoả mãn bài toán.

Câu 8: [Số Phức 2023] Xét hai số phức z z thỏa mãn các điều kiện 1, 2 z1 2, z2  3, z1z2  5

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3z1 z210 5 i  bằng2

B 10 3 2 5 B 3 5 1 C 2 2 5 D 8 2 5

Lời giải Chọn C

Gọi z1 a bi z, 2  c di a b c d, , , ,   

Ta có:

z   a b   a b 

z z   a c  b d   a c  b d   ac bd 

Suy ra:

1 2

3z  z  3a c  3b d  9 a b  c d  6 ac bd 3 5

Khi đó:

P z  z   i   z  z    i     i  z  z   

Câu 9: [Số Phức 2023] Có tất cả bao nhiêu số phức w thỏa mãn điều kiện 2ww 1 và 2

w

w là số

thuần ảo?

Lời giải Chọn B

Gọi số phức w x yi x y  , ,  

Điều kiện: w2  0 w0

Từ giả thiết 2 1 2 2 1 

ww  w   x y 

Mặt khác:

3

x yi

i

Đề 2

w

w là số thuần ảo khi và chỉ khi  

2 2

0 3

3

3

x











Với

2 0

2

x  y

, suy ra tồn tại hai số phức

Với x2 3y2 thay vào (*) ta được:

4

, với mỗi giá trị của y tồn tại hai giá trị

của x, do đó có 4 cặp x y; .

Vậy có tất cả 6 số phức w thỏa mãn bài toán

Câu 10: [Số Phức 2023] Cho hai số phức z và w thay đổi thỏa mãn các điều kiện z  1 i z và

w  i  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z w 1 i

A minP 3 2 1 B minP 3 2. C minP 5 2. D minP 5 2 1

Lời giải Chọn A

Gọi số phức z x yi có điểm biểu diễn là M x y ; 

thì M nằm trên đường thẳng

:x y 1 0

    hay x y1

Ta có P z w 1 i z 4 5 i  w 3 4 i  z 4 5 i  w 3 4 i

 42  52 1  52  52 1 2 2 50 1 5 2 1

Câu 11: [Số Phức 2023] Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z 1 3i  và số phức 2 w 1 2i z

Biết

rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn  C

trong mặt phẳng Oxy

Tìm bán kính Rcủa đường tròn  C

A R  5 B R  10 . C R  6 D R 2 5

Lời giải

Số phức

Chọn D

Ta có: w 1 2i z  1 2i z     1 3i  1 2 i  1 3i

1 2    1 3   5 5 

5 5  1 2   1 3 

        w5 5 i 1 2 i z   1 3i  1 2i z 1 3i

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn  C

có bán kính R 2 5

Câu 12: [Số Phức 2023] Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho

(1 2 ) (1 2 ) 4 0

iz z  i z  i z i và T là tập hợp tất cả các số phức w có phần thực khác 0 sao

cho 6

w

w i là số thực Xét các số phức z z1, 2 và w T S  thỏa mãn z1 z2 2 5 và

2 1 2



  Khi w z 1  w z1

đạt giá trị nhỏ nhất thì w z 1 w z 1

bằng

Lời giải

Chon D

Giả sử z x yi x y,( ,   Ta có)

 2 2

2 2

(1 2 ) (1 2 ) 4 0

Suy ra S là tập hợp các số phức có điểm biểu diễn thuộc đường tròn ( )C có tâm ( 2; 1) I   , bán

kính R 3.

Giả sử w a bi a b  ,( , ;a0) Ta có

2 2

i

Do đó 6

w

w i là số thực khi và chỉ khi 2 2

(6 )

b



Suy ra T là tập hợp các số phức có điểm biểu diễn thuộc đường thẳng : y 3

Xét các số phức z z1, 2S và w T thỏa mãn z1 z2  5 và



Giả sử z1 x1 y i z1, 2 x2y i x y x y2  1, , ,1 2 2  và w x 3 ,(i x,x0)

Gọi M M M1, 2, lần lượt là các điểm biểu diễn của z z1, 2 và w.

Khi đó, M M1, 2( )C và M   , đồng thời w z w z 1  1 MM MM1 2

Do z1 z2 2 5

nên M M 1 2 2 5 và do



  nên ba điểm M M M1, 2, thẳng hàng

Suy ra MM MM1 2 IM2 R2

Vì vậy

2 2

w z  w z IM  R

Do đó, w z 1  w z1 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi IM đạt giá trị nhỏ nhất Lúc đó, M là hình chiếu vuông góc của I trên  và M  ( 2;3).

Gọi H là trung điểm của M M1 2, ta có IH  IM12 M H1 2  32 ( 5)2 2

Vì bốn điểm M M M H1, 2, , thẳng hàng nên MIH vuông tại H suy ra

2 2 42 22 2 3

MH  IM  IH    và do đó,

w z w z MM MM MH HM MH HM  MH 

Câu 13: [Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z22mz m 12 0 ( m là tham

số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z z1, 2

thỏa mãn z1  z2  2 z1 z2 ?

Lời giải

Phương trình đã cho có  m2m12

Trường hợp 1:

3

m

m

 



        

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực z z1, 2 phân biệt.

1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

       z1z22 2z z1 22 z z1 2 2z1z22 4z z1 2

Số phức

z1 z22 6z z1 2 2 z z1 2 0

      4m2 6(m12) 2 | m12 | 0(*) Nếu m  4 hoặc

3m12 thì

4

m

m





 Nếu m 12 thì (*) 4m2 4(m12) 0  m2m12 0 (không thỏa mãn)

Trường hợp 2:  0 m2m12 0  4m 3

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z z1, 2 là hai số phức liên hợp:

Do đó, z1  z2  2 z1 z2

(thỏa mãn) Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề bài.

Câu 14: [Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z2 2mz3m10 0 ( m là

tham số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm z z1, 2

không phải số thực thỏa mãn z1  z2  ?8

Lời giải

Ta có: z2 2mz3m10 0(*) thì  m2 3m10

Điều kiện     0 2 m5

Phương trình (*) khi đó có 2 nghiệm

2

z  m i m  m

10

3

z  z   z   z   m    m

Kết hợp điều kiện  2 m5, suy ra  2 m2

Vậy các giá trị nguyên của thỏa mãn là: m  { 1;0;1; 2}.

Câu 15: [Số Phức 2023] Cho số phức z và số phức w(z i z i )(  ) 2 z 3i thỏa mãn

2022 2023

1 0

w i  i  w 

Giá trị lớn nhất của biểu thức T  |z 3i|2 |z  1 3 |i 2 bằng 5

m n với m n  , Tính P m n

Lời giải

Gọi w x yi  với ,x y  

Hệ thức

2022 2023 1 0 | 1| 2 | 1| | | | |

w i  i  w   w    i w i  w  i w i

|w 1| |w i| |x yi 1| |x yi i| (x 1) y x (y 1) x y

 số phức w có phần thực bằng phần ảo.

Gọi z a bi  với ,a b  