Lý thuyết và vdmh lý thuyết về phương trình đường thẳng

Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng  qua A, vuông góc với d đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất.. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC... Khi đó D AC  đườ

CHỦ ĐỀ 3 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

LÍ THUYẾT

 Phương trình ttham số của đường thẳng  đi qua điểm M x y z o o; ;o o

và có vectơ chỉ phương

( ; ; )

a a a a



,a 0

có dạng là :

(t R)







  

 Nếu a a a đều khác không Phương trình đường thẳng  viết dưới dạng chính tắc như sau:1, ,2 3

 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

1 1

'

'

o o

o









đi qua M o và d'có vtcp u '

đi qua M o'

  d  d'



[ , ']=0

u u d











 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 d  d'

[ , ']=0

u u d









  

  d

cắt  '

d



' 0

u u

u u M M









 



 

 d

chéo  '

d



'

u u M M



 

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M x y z o; ;o o

và có vectơ chỉ phương a( ; ; )a a a1 2 3 và mặt phẳng   :Ax By Cz D    có vecto pháp tuyến0 ( ; ; )

n A B C



  d

cắt    a n  . 0

  d

//  



( )

a n

M 









 

  d

nằm trên mặt phẳng  



( )

a n









 

 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

 Khoảng cách từ M x y z o o; ;o o

đến mặt phẳng   :Ax By Cz D    cho bởi công thức0

Ax

d M

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 Khoảng cách từ đường thẳng d đi qua điểm M o

có VTCP u



đến điểm M cho bởi công

Hình học tọa độ Oxyz

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua M x y z o; ;o o

; có VTCP a( ; ; )a a a1 2 3

và đường thẳng d đi qua ' M x y z' o'; ;o' o'

có VTCP a'( ; ; )a a a1' 2' 3'

Khi đó khoảng cách giữa

hai đường thẳng này là :

( , ')

[ , ']

hop day

a a MM V

d d d

S

a a



 

  

 

 Góc giữa hai đường thẳng:

 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

() đi qua M x y z o; ;o o có VTCP a( ; ; )a a a1 2 3

(’) đi qua M x y z' o'; ;o' o'

có VTCP a ' ( ' ; ' ; ' ) a a a1 2 3

 Khi đó góc giữa hai đường thẳng này được cho bởi công thức sau đây:

a a a a a a a a

c c a a



 

 

 

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

() đi qua M o có VTCP a( ; ; )a a a1 2 3 , mặt phẳng   có VTPT n( ; ; )A B C

 Gọi  là góc hợp bởi () và mặt phẳng  

, khi đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là

Aa +Ba +Ca sin os( , )

 

 NOTE: Cho tam giác ABC

 Đường phân giác trong của góc BAC có vectơ chỉ phương là



Lời giải Cách 1

Gọi  P

là mặt phẳng qua A và vuông góc với d B là hình chiếu của , ' B lên  P

Khi đó đường thẳng  chính là đường thẳng AB’ và u B'A



 

Ta có

 : ( 2; 2;1) (P) : 2 2 9 0

(2; 2; 1)

Qua A

VTPT n u

 



    



  



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gọi d' là đường thẳng qua B và song song d'

1 2 ' 2 2

3

d y t

 





   

  



'

B là giao điểm của d' và  P  B'( 3; 2; 1)    u B A  ' (1;0;2)

 Chọn A Cách 2: TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0

Không cần viết phương trình mặt phẳng  P

qua A và vuông góc với d

Gọi d' là đường thẳng qua B và song song d'

1 2 ' 2 2

3

d y t

 





   

  



B d  B A'   2t 3; 2 t 4;t4

'

AB d  u B A              d '  0 t  2 u B A ' (1;0;2)

Lời giải

Chọn C

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  ( 2; 2; 1), B1; 2; 3  và đường thẳng

1 5 :

d    

 Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng  qua A, vuông góc với d

đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất

A u  (1;0;2) B u  (2;2; 1) C u  (25; 29; 6)  D u  (2;1;6)

VÍ DỤ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác

trong góc A là:

x y z

  Biết rằng điểm M0;5;3

thuộc đường thẳng AB và điểm N1;1;0

thuộc đường thẳng AC Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC

A u  0;1; 3 

B u  1;2;3

C u  0;1;3

D.

Hình học tọa độ Oxyz

Phương trình tham số của đường phân giác trong góc A:

6 4

6 3

x t







 



  

Gọi D là điểm đối xứng với M qua  d

Khi đó D AC  đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là ND

Ta xác định điểm D Gọi K là giao điểm MD với  d

Ta có K t ;6 4 ;6 3 t  t

; MK t;1 4 ;3 3 t  t

Ta có MK ud

với u  d 1; 4; 3 

nên t 4 1 4  t 3 3 3  t0

1 2

t

 

;4;

K 

  K là trung điểm MD nên

2 2 2









1 3 6

D D D

x y z







 hay D1;3;6

Một vectơ chỉ phương của AC là DN  0; 2; 6  

Hay u  0;1;3

là vectơ chỉ phương

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng

:

d     

  có một VTCP u  3; 5; 1  

Mặt phẳng  P : 2x z  2 0 vó một VTPT n2; 0; 1.

Đường thẳng  có một VTCP au n,  5 1; 1; 2  

Đường thẳng  có phương trình

:

x y z

Lời giải Chọn A

Cách 1:

Gọi A2 2 ; 2 ; 3 t t  t d

là giao điểm của  và d

VÍ DỤ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  nằm trong mặt phẳng

  :x y z   3 0 đồng thời đi qua điểm M1;2;0 và cắt đường thẳng

:

Một vectơ chỉ phương của  là

A. u  1;1; 2 

B u  1;0; 2 

C u    1;1;2

D.

VÍ DỤ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M1; 3; 4 , đường thẳng

:

d     

và mặt phẳng  P : 2x z  2 0 Viết phương trình đường thẳng  qua M vuông góc với

d và song song với  P .

A

:

x y z

:

x y z

C

:

x y z

:

x y z

1 2 ; ; 3 

MA  t t t , VTPT của   là n   1;1;1

  MA n  

    

 

 1; 1; 2 1 1; 1; 2 

MA

     

Vậy u  d 1; 1; 2 

Cách 2:

Gọi B d  

B d  B2 2 ; 2 t t; 3t

B    t    t t    t B

BM1;1; 2  u d1;1; 2 

Lời giải Chọn C

Đường thẳng d đi qua điểm A1; 2; 5  và vuông góc với mặt phẳng

 P : 2x3y 4z  nên nhận 5 0 u  2; 3; 4 

là véctơ chỉ phương

Phương trình đường thẳng d là

1 2

5 4

 





 



  

Lời giải Chọn D

Gọi  Q

là mặt phẳng đi qua M2;2; 3  và song song với mặt phẳng  P

Suy ra  Q : 2x y z   3 0 Do  // P  nên   Q

 , 

d N 

đạt giá trị nhỏ nhất   đi qua N, với N là hình chiếu của N lên  Q

VÍ DỤ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình của đường thẳng d đi qua điểm

1; 2; 5

A  và vuông góc với mặt phẳng  P : 2x3y 4z  là5 0

A

2

4 5

 





 



  

 B

1 2

5 4

 





 



  

 C

1 2

5 4

 





 



  

 D

2

4 5

 





 



  

VÍ DỤ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M2;2; 3  và N  4;2;1

Gọi  là đường thẳng đi qua M , nhận vecto ua b c; ; 

làm vectơ chỉ phương và song song với mặt phẳng  P : 2x y z    sao cho khoảng cách từ N đến 0  đạt giá trị nhỏ nhất Biết a , b

là hai số nguyên tố cùng nhau Khi đó a b c bằng:

Hình học tọa độ Oxyz

Gọi d là đường thẳng đi qua N và vuông góc  P

,

4 2

1

 





 



  

Ta có N d N   4 2 ;2t t;1t

3

3 3 3

N 

 ; ; 

u a b c

cùng phương

10 4 16

; ;

3 3 3

Do a

, b

nguyên tố cùng nhau nên chọn u    5;2;8 Vậy a b c 15

Lời giải Chọn B

A d  A  a a   a B d  B b   b  b

 có vectơ chỉ phương ABb 2 ;3a b a  2; 2 b a 4

 P có vectơ pháp tuyến n  P 1;1;1

Vì / / P  nên AB n P               AB n. P  0 b a 1

.Khi đó AB  a1; 2a 5;6 a

2

Dấu " " xảy ra khi

a  A   AB  

VÍ DỤ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1

:

 và

2

:

 Gọi  là đường thẳng song song với  P x y z:    7 0

và cắt

1, 2

d d lần lượt tại hai điểm ,AB sao cho AB ngắn nhất Phương trình của đường thẳng 

là

A

12 5 9

y









  

 B

6 5 2 9 2

y



  















C

6 5 2 9 2

x



 





 









D.

Đường thẳng  đi qua điểm

6; ;

A  

  và vec tơ chỉ phương u   d  1;0;1

Lời giải Chọn C

 S1

có tâm I13; 2; 2

, bán kính R  1 2  S2

có tâm I21; 0; 1

, bán kính R  2 1

Ta có: I I1 2  3 R1R2, do đó  S1

và  S2

tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm

5 2 4

; ;

3 3 3

A 

Vì d tiếp xúc với hai mặt cầu, đồng thời cắt đoạn thẳng nối hai tâm I I nên d phải tiếp xúc1 2

với hai mặt cầu tại A dI I1 2 Mặt khác d d O d  ; OA  dmax OA khi d OA

Khi đó, d có một vectơ chỉ phương là I I OA 1 2,   6; 3; 6  

 2; 1; 2

u

  

.Vậy S  2

VÍ DỤ 5: Cho 2 mặt cầu   S1 : x 32y 22z 22 4

S x y  z 

Gọi d

là đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu trên, cắt đoạn thẳng nối tâm hai mặt cầu và

cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất Nếu ua; 1;b



là một vectơ chỉ phương của d

thì tổng S 2a3b bằng bao nhiêu?