Sach giao khoa toan 12 tap 2 canh dieu

NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát nhu Hinh /, có vận tốc tức thời cho bởi vứ = 4cos r, trong đó r tí

Ũ lổng Chủ biên kiêm Chủ biên)

Ế ĐỖĐUCTHÁI(Tổng Chủ biên kiêm Chủ bi

PHAM XUAN CHUNG -NGUYỄN SƠN HÀ ~ NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LOAN

anh Diéu PHAM SY NAM - PHAM MINH PHUGNG

TAP HAI

HỘI ĐỒNG QUỐC GIA THẤM ĐỊNH SÁCH GIÁO KHOA

Môn Toán - Lớp 12

(Theo Quijét dinh số !882JÖÐ'8GDPT ngày 29 thang Sram 2023

của Bộ trưởng! ¡ Bộ Giáp dục và Đảo tạo)

Lẻ Mậu Hải (Chủtjch), Cao Thị Hà (Phổ Chủ tịch), Phạm Đức Ti (Ủy viên, Thư kD

Các Ủy viên: Phạm Khắc Ban, Nguyễn Hắc Hải, Nguyễn Doãn Phú, Nguyễn Chiến Thắng,

Nguyễn Thi Vinh Thuyén, Định Cao Thượng, Pham Dinh Tang, Vũ Thị Như Trang

ĐỖ ĐỨC THÁI (Tổng Chủ biên kiêm Chủ biên) PHAM XUAN CHUNG ~ NGUYEN SON HA

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LOAN - PHẠM SŸ NAM - PHẠM MINH PHƯƠNG

® CÔNG TY CỔ PHẦN ĐẦU TƯ

XUẤT BẢN - THIẾT BỊ GIÁO DỤC VIỆT NAM

HOAT DONG THUC HANH VA TRAI NGHIỆM “Chủ đề 2 Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời Ce 45

` CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG, DUONG THANG,

MAT CAU TRONG KHONG GIAN

§1 Phương trình mặt phẳng

Bài tập cuối chương V'

'CHƯƠNG VI MỘT SỐ YẾU TỐ XÁC SUẤT

§I Xác suất có điều kiện

2

§1 - NGUYÊN HÀM

Một hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m

so với mặt đất theo phương thẳng đứng Biết

tốc độ rơi của hòn đá (tính theo đơn vị m/s) tại thời điểm z (tính theo giây) được cho bởi công thức v() = 9,81

Quang đường rơi được Š của

hon đá tại thời điểm t được cho bởi

(Ngudn: htips://chutterstock.com) công thuc nào? Sau bao nhiêu giây

Với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực Ït, ta có định nghĩa sau:

i

Cho hàm số ƒ(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm

số ƒ(x) trên K néu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K,

3

Lí dụ 1 È Hãy giải thích vì sao ta có các kết luận Ce

a) Ham s6 F(x) = 1a nguyén ham cia ham sO f(x) =x* —nguyén him cia ham so

@ZD cto ham s6 Fọ)< +) — l,x 6 R và Gọ) =x)+ 5, xe TRE,

a) Ca hai ham s6 F(x) va G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số ƒ (x) = 3 trên ï* hay không?

b) Hiệu F(x) = G(x) có phải là một hằng số C (không phụ thuộc vào x) hay không?

Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau:

Ƒ Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực IR

Giả sử hàm số F(+) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(x) trên K Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + € cũng là một nguyên hàm của hàm

số f(x) én K

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm #7(x) của hàm số ƒ(+) trên K thì tổn tại hằng số

€ sao cho H(x) = F(x) + C voi mọi x thuộc K

P 'Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số ƒ() trên K được kí hiệu là

[Z@&

Nhận xét

+ Nếu F(v) là một nguyên hàm của hàm số ƒ (+) trên K È==—

Ta có:

thì mọi nguyên hàm của hàm số ƒ(x) trên K đều có dạng

F(x) + C với C là một hằng số Vì vậy, jrtœax =F(x)+C

Jroode = Fey +e

* Moi ham s6 lién tue trén K déu c6 nguyén ham tén K

a) Do (k+)'=& nên kx là một nguyên hàm của hàm số (x)= ktren R Vay J kdx = ke +C

=kx nên Se là một nguyên hàm của hàm số ƒ() = kx trên R

Vậy [bdr=Ÿ +c +0),

Nhận xé: [0dx =€ và [dx= x+C

II TINH CHAT CUA NGUYEN HAM

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực Ï3,

Cho /0) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác không

a) Giả sử F(+) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(x) trên K Hỏi kF(x) có phải là nguyên

hàm của hàm số kƒ(x) trên K hay không?

5

b) Giả sử (1) là một nguyên hàm của hàm số kƒ( trên K Đặt G(x) = &HQ) trên Hỏi HQ) có phải là nguyên hàm của hàm số ƒ(x) trên K hay không?

e) Nêu nhận xét về [/@Odx và af f(x)dx

Từ Hoạt động 3, ta có:

chất 1

Jif cnde =k] fo) de với k là hằng số khác 0

Vidu 4 } Chon la số nguyên đương

Z> Cho / (0) g(x) 1a hai ham s6 lién tue trén K,

a) Gid sit F(x), GQ) lẫn lượt 1a nguyén ham cia ham s6//(x), #Q) trên K, Hồi F(x) + Ga)

có phải là nguyên hàm của hàm số ƒ(x) + g(x) trên K hay khong?

b) Gia sit H(x), F(x) lan lượt là nguyên hàm của hàm số ƒ(x) + ø@), ƒ (x) trên Đặt GG) = H(x) ~ F(a) trén K, Hoi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay không?

Vidus } Tim [@x+5)&

oe : Jor’ -3r+5)ar

Tac: f(2x+S)dx=[2xdx+ [Sdv=x7 +5x+C

17 dự 6 Ý Một quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m với vận tốc được tính bởi công

thức vự) = — 9,8ï + 19,6 (m/s)

a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian 1

b) Sau bao nhiêu lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất?

Vay sau 5 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất

4 Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng Tốc độ tăng trường trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức ñ' /) = 1,5: + 5, trong đó 1) (cm) là chiều cao của cây khi kết thúc £ (năm) (Nguồn: & Larson and B Edwards, Calculus 10e Cengage 2014) Cay con khi được trồng cao 12 cm

a) Tìm công thức chỉ chiều cao của cây sau r năm

b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?

5 Tai một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số

B'(1) = 208 -3001° +1 000r,

trong đó tinh bling gid (0 < ¢ < 15), 8! () tính bằng khách/giờ

(Nguồn: A Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)

Sau một giờ, 500 người đã có mit tai 18 hi

a) Viết công thức của hàm số 8(/) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với 0<r<15

b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?

©) Số lượng khách tham dự lễ hội lôn nhất là bao nhiêu?

đ) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?

6 Đối với các dự án xây dựng, chỉ phí nhân công lao động được tính theo số ngày công Gọi m() là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ í (kể từ khi khởi công

dự án) Gọi A4) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ í (kể từ khi khởi công

dự án) Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng Ä' () = m7)

Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số

m() = 800 ~ 21, trong đó r tính theo ngày (0 < r < 400), m(/) tính theo người (Neudn: A Bigalke et al Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016) Bon giá cho một ngày công lao động

400 000 đồng Tính chỉ phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành)

8

Đọc bản mới nhất trên hoc10.vn

S2 _ NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP

Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang

trên mặt phẳng không ma sát nhu Hinh /, có vận tốc tức

thời cho bởi vứ) = 4cos r, trong đó r tính bằng giây và vứ) tính bằng centiméưgiây Tại thời điểm r = 0, con lắc đó ở

vị trí cân bằng

vị tí cân bằng,

“Tập xác định của hàm số luỹ thừa

* Với ø nguyên dương, tập xác định là IR;

* Với ø nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là \ {0};

* Với ø không nguyên, tập xác định là (0 ; +20)

xZ tuỷ thuộc vào giá trị của œ Cụ thể như sau:

'Ta thừa nhận định lí sau:

ƒ Hi làm số luỹ thừa y = xZ (or € 8) có đạo hàm với mọi z > 0 và (xZŸ =øx# =1,

2 Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

có là nguyên hàm của hàm số f(x) =x hay khong?

Bản mẫu góp ý

II NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ /(x)= :

24 a) Tinh dao ham cita ham s6 y = In| x| trên khoảng (0 ; + 20)

b) Tinh dao ham cia ham s6 y= In| x| trén khoding (~ 2 ; 0)

NGUYEN HAM CUA HAM S6 LUONG GIAC

eB

a) Hàm số y

b) Hàm số y = sinx có là nguyên hàm của hàm số y = cosx hay không?

©) Voix kx (k © Z), ham soy

cosx có là nguyên hàm của hàm số y = sinx hay không?

tan x có là nguyên hàm của hàm số y=

đ) Với xed the (ke Z), hàm số y

a) [3cosxdx = 3] cos de =3sinx+C

b) J(sinx +cosx)dx = [sinxdx + [eos xdy

Vidu 6 } Gidi bài toán trong phẩn mở đầu

Giải

Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình: s = s(/) Suy ra s' (0) = v), do đó s(/) là

một nguyên hàm của w() Ta có:

Jue )dr = j4eoxrdr Suy ra sứ) = 4sin/ +,

Tại thời điểm ¿ = 0, ta có s(0) = 0, tức là 4sin0 + € = 0, hay C= 0

'Vậy phương trình chuyển động của con lắc là: sự) = 4sin/

IV NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ

12

vớ) 10r + 30 (m/s), trong 46 1 1a thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh Gọi s(/) là quãng đường xe ô tô đi được trong í (giây) kể từ lúc đạp phanh

a) Lập công thức biểu điễn hàm số s(/)

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe 6 t6 dừng hẳn là bao nhiêu giây?

©) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là bao nhiêu mét? Xe ô tô liệu có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật trên đường hay không?

b) Xe ô tô dừng hẳn khi vự) = 0, tức là ~ 10 + 30 = 0 hay t = 3

'Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 3 giây

Do 65 < 80 nên xe 6 tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường

Vì thế, tai nạn đã không xảy ra đối với xe ô tô đó

triều thay đổi trong suốt một

ngày do nước chảy ra (khi

thuỷ triểu xuống) và nước

(Hình 2) Tốc độ thay đổi của

mực nước trong hỗ chứa được

trong đó / tính bằng giờ (0 < r < 24), /() tính bằng mé/giờ Tại thời điểm r = 0, mực nước

trong hỗ chứa là 6 m (Nguồn: A Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)

13

a) Viét công thức xác định hàm số ñ(/)

b) Mực nước trong hỗ chứa cao nhất và thấp nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến

hàng phần mười của mét)?

e) Mực nước trong hỗ chứa thay đổi nhanh nhất khi nào? Tốc độ thay đổi của mực nước

trong hỗ chứa khi đó là bao nhiêu?

"Tại thời điểm r = 0, mực nước trong hỗ chứa là 6 m nén ñ(0) = 6, suy ra C = 6

'Vậy mực nước trong hỗ chứa được cho bởi hàm số:

5

hQ) =P = (t) 3 b) Ta tim min ’(¢) va max h(0) 0i 10:4)

©) Ta lìm may '0)

10:24]

1 ean 1*0)= 212 (0 120); ( b

7 Cây cà chua khi trồng có chiễu cao 5 cm Tốc độ tăng chiều cao của câ)

vứ)==0,l +,

trong đó / tính theo tuân, v(7) tính bằng centimét/tuần Gọi ñ) (tính bằng centimét)

là độ cao của cây cà chua ở tuân thứ f (Nguồn: A Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1,

Comelsen 2016)

4) Viết công thức xác định hàm số ñ(/) (r > 0)

b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu?

©) Chiêu cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu?

d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua sẽ cao

bao nhiêu?

8 Mot quan thể vi khuẩn ban đâu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng Gọi

P() là số lượng vi khuẩn của quân thể đó tại thời điểm ¿, trong đó / tính theo ngày

(0<z< 10) Tốc độ tăng trưởng của quan thé vi khuẩn đó cho bởi hàm số P'(r) = kr, trong đó & là hằng số Sau I ngày, số lượng vi khuẩn của quân thể đó đã tăng lên

thành 600 vỉ khuẩn (Ngudn: R Larson and B Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014) Tinh

số lượng vì khuẩn của quân thể đó sau 7 ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

16

S3 TÍCH PHÂN

Hoạ sĩ thiết kế logo hình con cá cho một yh

hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các << 2dm

trên mỗi trục toạ độ là decimét)

1 ĐỊNH NGHĨA TICH PHAN

1 Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân

'Có nhiễu bài toán thực tiễn dẫn tới khái niệm

tích phân Một trong những bài toán quan

trọng nhất là tính diện tích của những “hình

thang cong”,

GD co hàm số y= ƒ()= + (Hình 4)

Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả

diém M(x ; y) trên mặt phẳng toạ độ sao cho

1 <x<2 và0 <y < + Hình phẳng đó được

gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đỗ

thị của hàm số ƒ(x) = xÝ, trục Øx và hai đường

a) Tính diện tích T, của hình chữ nhật dựng trên đoạn _ *

‘Tinh diện tích 7, của hình chữ nhật dựng trên đoạn

Ix,:x;] với chiều cao là /(x,)

“Tính diện tích 7, của hình chữ nhật dựng trên đoạn

[x, ;x;] với chiều cao là /(x,)

Tính diện tích 7, _, của hình chữ nhật dựng trên

đoạn [x,_, ;x,Ì với chiều cao là /(x,_,)

VAY Shinn thang cong ame = F (2) — F (1) với F (+) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(x) = xÈ

trên đoạn [I ; 2]

Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số y = / (x) liên tục, không âm trên đoạn [ø ; ở]

Hình phẳng gồm các điểm có

toa d6 (x ; y) sao cho ø < x < b

và 0 <y <ƒ () được gọi là hình

thang cong AMNB giới hạn bởi

đồ thị của hàm số y = ƒ (x), trục

Oxva hai đường thẳng x = a,

x= b (Hình 6) Bằng cách chia

doan [a ; b] thành ø phân bing

nhau ta lập được tổng tích phân

đoạn [a ; b] là:

Hae, (&) [fi +£) +f Oy) + +£,_ I]

hận xét: Người ta có thể chứng minh được rằng lim 8, = F(b)-F(a) v6i F(x) 1a một nguyên hàm của hàm số ta) trên doan [a ; b] Higu F(b) — F(a) được gọi là điện rích hình thang cong AMNB gidi hạn bởi đồ thị của him sé y = f(x), true Ox va hai đường thing x =a, x= b Cy thé, 6 Hình 6, ta có: §, ia hang cong N= = F(b) ~ Fla) vi F(x) a mot

nguyên hàm của hàm số fix) trén doan [a ; bl

Vidu 1} Choddthihams6y=/(x)=x+ 1 (ve [05 1) š

“Xét hình thang vuông OMNB gidi hạn bởi đồ thị

của hàm số ƒ (x) = x + I, trục Øx và hai đường

thẳng (Hình 7)

a) Tinh diện tích hình thang vuông OMNB

b) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số

+ 1 trên đoạn [0 ; 1] Tinh F(1) = #0)

ty chứng tỏ rằng Syn thang wong oun = (1) ~ FO)

HITSES: [@ầ+Ddx=[xdx +[Idy=T—+x+€ 2 t Cho đồ thị hàm số y = fo) =2x | (x € [0 ; 2) Xé tam gide vuông

2 OAB gidi hạn bởi đỗ thị của hàm số

f(x) = 2x, truc Ox va dung thing

Nhữ vậy F(x)= —+x là một nguyên hàm - y=2,

2 Định nghĩa tích phân

@D cto ham 6 fo) = 3

a) Chiing 18 F(x) = G0)

AP +E Reefc nguyén him cia him s6 f(x) =+Ỷ

b) Chứng minh ring F (b) - F (a) = G (b) - G (a), tức là hiệu số F (b) — F (a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm

Paola elciarabecenauac| F() là một nguyên hàm

Cñú ý: Tích phân của hàm số ƒ từ ø đến b chỉ phụ thuộc vào ƒ và các cận a, b mà không » ,

phụ thuộc vào biến số x hay nghĩa là [ /(+)dx = Í /0)dt

II TINH CHẤT CUA TÍCH PHÂN

@$Ð-sosm fora va 2frae

III TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP

1 Tích phân của hàm số luỹ thừa

® [sin xúx = =cosa[” = =cosb~(~cosa) =cosa =cosb,

® [sosxdy =sina[) =sinb-sina,

Bản mẫu góp ý

+ Với hàm số ƒ()=— _— liên tụe trên đoạn [ø : b], ta có: sin? x

1í dụ I9Ï Năng lượng gió trên đất liền là một

trong những công nghệ năng lượng tái tạo đang

được phát triển ở quy mô toàn câu Năng lượng

gió không trực tiếp phát thải khí nhà kính, không

thải ra môi trường các chất ô nhiễm khác, cũng

như không tiêu thụ nước để làm mát cho các nhà

máy Các turbine gió thường có ba cánh quay

trên một trục ngang, lấy động năng từ quá trình di

chuyển dòng không khf (gió) để chuyển đổi thành

điện năng thông qua một máy phát điện được kết

nối với lưới điện Hình thang cong (tô màu vàng)

trong Hình 8 mô tả một phẩn mặt cắt đứng của

cánh turbine, được giới hạn bở đường thẳng

với moi r e [a ; b] Hãy giải thích vì sao [v()dr biểu thị quãng đường ma vat di

được trong khoảng thời gian từ ø đến ö (4, b tính theo giây)

b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với

van t6c v(t) = 2 — sin (m/s) Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời

gian từ thời điểm ¿ = 0 (s) đến thời điểm ¢ = =* (9)

8 Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị

ở Hình 9

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong

1 giây đầu tiên

b) Tính quãng đường mà vật đi chuyển được trong

9 Ở nhiệt độ 37 °C, một phản ứng hoá học từ chất đầu A, chuyển hoá thành chất sản phẩm B theo phương trình: A —> B Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol L7 ')

tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với x > 0, thoả mãn hệ thức: y'(9) = ~ 7 10 3y) với

x >0 Biết rằng tại x = 0, nỗng độ (đầu) của A là 0.05 mol L~ '

a) Xét hàm số ƒ(x) = In y(x) với x > 0 Hãy tính ƒ'(+) từ đó hãy tìm hàm số ƒ (+)

b) Giả sử ta tính nỗng độ trung bình chất A (đơn vị mol L) từ thời điểm a (giây) A

Jr@de Xác định nông

độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây

S41 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

Gốm Bát Tràng là tên gọi chung của các loại

đổ gốm Việt Nam được sản xuất tại làng

Bát Tràng, thuộc xã Bát Tràng, huyện Gia Lâm,

Hà Nội Với hơn 700 năm tuổi, gốm Bát Tràng

i tiếng ở trong và ngoài nước về chất lượng

gốm và độ tinh xảo của các sản phẩm Những

QD cio ham 6 y= f(xy = 4° 2x7 =x 4206 dv thi»

4) Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phing H,, H,,

H, lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị

ham si lào

b) Tinh diện tích 5, Sy,, Sy, của các hình phẳng đó

©) Gọi # là hợp của các hình phing H,, H,, H,.Hinh

phẳng #7 được gọi là hình phẳng giới hạn bởi đổ thị |A

Ế Cho ham số y = f(x) lign tục trên doan [a ; 6] Khi tích S của hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:

giới hạn bởi đổ thị của

ham s6 y = x2 ~ 2x, trục Oy và hai đường thẳng

bi

29

Ban mẫu góp ý

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đỏ thị của các hàm số y = fox), y = gO)

Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau:

f “Cho các hàm số s(x) liên tục trên đoạn [ø ; b] Khi đó, diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(a), y = g(x) và hai đường thẳng

Vidu3_} Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đô thị các hàm số

y=T E12 +3 yada? -ã„- và hai đường thẳng x = I, = 4

Vidu 4 } Trén cita s6 c6 dang hinh chi nhat,

hoa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh

nghiệp kinh doanh hải sản Logo là hình phẳng

giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được

cho trong Hình 16 (đơn vị trên mỗi trục toạ độ

©) Logo chỉ cho phép 50 lượng ánh sáng đi qua Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ

sau khi làm logo sẽ giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Giải

a) « Giả sử parabol y = f(x) cho bởi f(x) = ax? + br + ¢ (a # 0) Do parabol y = f(x)

di qua điểm Ð (O ; 2) nên e = 2, suy ra f(x) = ax’ + bx + 2 (a # 0) Vì parabol y=/(2) di qua cde điểm €(- 4 ; 0), E (4 ; 0) nên ta có:

16a~4b+2=0 16a+4b+2=0,

Hệ phương trình trên có nghiệm là

Vay f(x) =e +2

« Giả sử parabol y = g(x) cho bdi g(x) = a,x° + b,x + ¢, (a, #0) Do parabol y = g(x)

di qua diém G (0; ~3) nén c, =-3, suy ra g(x) = a,x" +b,x—3 (a, #0) Vi parabol

y= g(x) di qua các điểm € (- 4; 0), E (4 ; 0) nên ta có:

16a, =4bi~3=0 16a, +4b, ~3 =0

Hệ phương trình trên có nghigm Ia a,

©) Gọi r là lượng ánh sáng đi qua mỗi dmẺ của logo Suy ra lượng ánh sáng đi qua logo

al 2 + Mặt khác, diện tích của cửa sổ là (8 + 1) (2 + 3) = 45 (dm?) và lượng ánh

sáng đi qua mỗi dmẺ của phân cửa sổ nằm ngoài logo là 2 Suy ra, lượng ánh sáng đi

qua cửa sổ trước khi làm logo là 45 2 = 90 và lượng ánh sáng đi qua phân cửa sổ

"Tỉ số phân trăm của lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo so với lượng ánh

sáng đi qua cửa sổ trước khi làm logo là:

II TÍNH THỂ TÍCH CỦA HÌNH KHỐI

1 Thể tích của vật thé

QB cit ksi tap phương có cạnh bằng 1 bai một mặt ~ a

phẳng tuỳ ý vuông góc với trục Ox tai x, vai 0 <x <1 ta

nhận được hình phẳng có diện tích là (x) (Hinh 17) 1

b) So sánh thể tích khối lập phương đó với [seœ)dx 0 L =

a Trong trường hợp tổng quát (Hình 18), ta có định lí sau:

'Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Øx' a (a<b)

Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Øx tại x (4 < x < b) cắt vật thể đó theo hình

phẳng có diện tích là S(x) Giả sử hàm số S(+) liên tục trên [a ; b] Khi đó, thể

tích V của phân vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính bởi công thức

Vidu 5 } Tinh thé tich kh6i lăng trụ, biết diện tích đáy bằng Ø và chiều cao bằng ñ:

Giải

“Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt

phẳng vuông góc với Ox tai x = 0 và x = h (Hình 19) Khi đó, một mặt phẳng vuông góc với trục Øx, cắt lăng trụ theo hình phẳng có diện tích S(x) = 8 không đổi với mỗi

x [0;h] Ap dung cha y trên, ta có: V= Bh

hai mặt phẳng vuông sóc voi truc Ox tai x= 1 va.x= 2, Mot mit phing

tuy ¥ vudng g6e voi Ox

Vidu 6 } Cho khdi chép c6 chiéu cao bằng h va

diện tích đáy bằng B Chon truc Øx vuông góc với

mặt phẳng đáy tại điểm / sao cho gốc Ø trùng với

đỉnh của khối chóp và có hướng xác định bởi vectơ

OF (minh hoa & Hinh 20) Khi dé OF = h Mot mat

phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại x (0< x< #), cắt

Nhận xét

+ Cho khối lăng trụ có chiều cao bằng

và diện tích đáy bằng 8 Thể tích V của

khối lăng trụ đó được tính bởi công thức

Y=Bh

« Cho khối chóp có chiều cao bằng h va

diện tích đáy bằng Ø Thể tích V của khối

chớp đó được tính bởi công thức J“ =

đi trong vườn (phân được tô màu) với kích

thước được cho trong Hình 22 Biết rằng

đường cong A được cho bởi đồ thị của một Z

hàm số liên tục và dung cong DC nhận 6m

tông đầy 15 cm và giá tiền I mẺ bê tông là

Giải

Xt he true toa độ Oxy như Hình 23 (đơn vị

trên mỗi trục toạ độ là mét)

Trong hệ trục toạ độ đó, đường cong AB

được cho bởi đổ thị của hàm số liên tục

y=/@),0 <x < 10 Suy ra, đường cong

ĐC được cho bởi đồ thị của hàm số liên tục

y=ƒf() +2, 0<x < 10 Áp dụng công thức

=20 (m°)

Šagex sseemaapcp= UPC) +2)— Slax = J 2dr =2xh) 3 3

Do đó, thể tích khối bê tông dùng để đổ con đường là: 20 0,15 = 3 (m`)

'Vậy số tiễn cô Hạnh cân dùng để đổ bê tông con đường đó là:

1 080 000 3 = 3 240 000 (đồng)

2 Thể tích của khối tròn xoay

GD Xét nữa hình tròn tam O, ban kinh r (Hinh 24), Nita hinh tron đó là hình phẳng

giới hạn bởi truc Ox va đổ thị hàm số y = f(x)

a) Tìm hàm số y = f(x)

b) Quay nữa hình tròn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình câu tâm Ø bán kính r (Hình 25) Xét diém M(x; fo) (- r < x < r) nằm trên nửa đường tròn tâm Ø bán kính r Gọi /⁄œ ; 0) là hình chiếu của điểm A trên trục Øx Khi quay nửa hình tròn quanh trục hoành, đoạn thing HM tạo nên một hình tròn tâm #ƒ bán kính ƒ(x)

“Tính diện tích S(x) của hình tròn đó theo ƒ(x)

'Từ đó, sử dụng công thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tim O

bán kính z

M

ya v9

Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số y = / (x) liên tục, không âm trên đoạn [z ; b] Hình phẳng giới hạn bởi đỗ thị hàm số y = / (x) trục hoành Øx và hai đường thẳng x= a,x =b khi quay quanh true Ox tạo thành một hình khối gọi là khối tròn xoay Khi

cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ø+, ta được một hình tròn

có bán kính là 1)

Ta có định lí sau (Hình 26):

Cho hàm số y = ƒ(+) liên tục, không âm trên

doan [a ; b] Hinh phẳng (//) giới hạn bởi đồ thị

ham s6 y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng

+=a,x= b quay quanh trục Øx tạo thành một

khối Hồn xoay có thể tích bằng

v= xf} dx

Iĩdw8 ¿ Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sé f(x) =.x, trục hoành và hai

đường thẳng x = 1, x= 2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó

quay quanh truc Ox,

'Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình hạn bởi đổ thị hàm số

phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số ƒ(x) = x, trục ƒ() =sinŠ, trục hoành hoành và hai đường thẳng x = I, x = 2, quay JỄ Hi ky tông cau,

2 tròn xoay tạo thành khi

cho hình phẳng đó quay

quanh trục Øx |

Vidu9 } Xét chiée chén trong b>

ấm chén uống tra 6 phan mé đầu, bạn

Dương ước lượng được rằng chiếc

chén được tạo thành khi cho hình