TỔNG HỢP LÝ THUYẾT BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARRIT

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARRITTỔNG HỢP LÝ THUYẾT BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARRITTỔNG HỢP LÝ THUYẾT BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARRITTỔNG HỢP LÝ THUYẾT BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARRIT

A LÝ THUYẾT

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Phương trình mũ cơ bản a x b, (a0, a1).

 Nếu b 0 thì phương trình a x  b xlog a b

 Nếu b 0 thì phương trình a x b vô nghiệm

2 Phương trình đưa về cùng cơ số

 Đặt ta f x ,t0 đưa phương trình  1 về dạng phương trình bậc 2: mt2 nt p 0

 Giải phương trình tìm nghiệm t và kiểm tra điều kiện  0 t

 Sau đó thế vào phương trình ta f x tìm nghiệm x

 Dạng 2: m a. f x  n b. f x  p0, trong đó a b  1 Đặt ta f x ,t0

suy ra

  1

f x b

 Hàm số fđược gọi là đồng biến trên K khi và chỉ khi u v, a b u v; ;   f u  f v 

 Hàm số f được gọi là nghịch biến trên a b;  khi và chỉ khi

t i m t s h u h n i m thì h m s ại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng ột số hữu hạn điểm thì hàm số đồng ố hữu hạn điểm thì hàm số đồng ữu hạn điểm thì hàm số đồng ại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng điểm thì hàm số đồng ểm thì hàm số đồng à ố hữu hạn điểm thì hàm số đồng điểm thì hàm số đồng ồng ng

ếu (ngh ch bi n) ịch biến) ến) trên kho ng ảng a b; 

 Tính chất 2 Nếu phương trình f x  0 có một nghiệm trên khoảng a b;  thì phương trình

   0

f x có nhiều nhất hai nghiệm trên khoảng a b; 

 Tính chất 3 Nếu hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng a b;  thì

u v,  a b; ; f u  f v   uv

 Tính chất 4 Nếu hàm số f liên tục, đồng biến trên khoảng a b;  và hàm số g liên tục,

nghịch biến (hoặc hàm hằng) trên khoảng a b;  phương trình f x  g x  có nhiều nhất mộtnghiệm trên khoảng a b; 

v s d ng các tính ch t ã nêu trên à ử dụng tính chất ụng tính chất ất điểm thì hàm số đồng

 Khi bài toán yêu cầu giải phương trình f x m thì số nghiệm của phương trình sẽ là sốgiao điểm giữa đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng ym

6 Phương pháp đánh giá

 Quy tắc 1 Giải phương trình f x  g x 

 Bước 1: Xác định xx0 là một nghiệm của phương trình

 Bước 2: Chứng minh với mọi

x x

x x thì phương trình vô nghiệm

 Kết luận xx0 là nghiệm duy nhất

 Quy tắc 2 Giải phương trình f x  g x 

f x m x D

f x m g x x D

g x m x D

 Phương trình thỏa mãn khi f x  g x  m

 Áp dụng tương tự với bài toán bất phương trình f x  g x 

 Quy tắc 3 Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.

 Ta có: sinx   1;1 ;cos  x   1;1

 Điều kiện để hàm số lượng giác acosx b sinxc có nghiệm là a2b2 c2

 Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt

 Quy tắc 4 Sử dụng tính chất của hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của

phương trình bậc 2 …

73

x t

t

Với 1t , ta được 3x  1 x0

Với 3t , ta được 3x  3 x1

Vậy phương trình có nghiệm 0x , 1x

e) Đặt t3x2 x 1 (  0t ), khi đó phương trình 9x2 x 110.3x2 x 2 1 0 tương đương với

x Vậy S  1;1;0; 2

f) Đặt 2 3 , 0

x tt

3 10log

x x

Phương trình có hai nghiệm: 3x , xlog 25

x x

Phương trình có hai nghiệm: 2x , xlog 7 22 

 f x 0 có tối đa một nghiệm trên tập số thực

Mà f 2   0 phương trình  1 có nghiệm duy nhất 2x

c) Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình 6x3  m.2x m 0 có nghiệm thuộckhoảng 0;1

 Hàm số f x  đồng biến trên 0;1 Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi 2 m4 Vậy m2; 4

Vậy 0x là nghiệm duy nhất

7 nghiệm phân biệt Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình:

a2x 2a xcosbx 2  1 0

2cos 22

Do đó phương trình  1 và phương trình  2 không có nghiệm chung

Mặt khác theo giả thiết phương trình  1 và phương trình  2 đều có 7 nghiệm phân biệtVậy phương trình đã cho có 14 nghiệm phân biệt

 Quy tắc 1 Giải phương trình f x  g x .

 Bước 1: Xác định xx0 là một nghiệm của phương trình

 Bước 2: Chứng minh với mọi

x x

x x thì phương trình vô nghiệm

 Kết luận xx0 là nghiệm duy nhất

 Quy tắc 2 Giải phương trình f x  g x 

f x m x D

f x m g x x D

 Phương trình thỏa mãn khi f x  g x  m

 Áp dụng tương tự với bài toán bất phương trình f x  g x 

 Quy tắc 3 Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.

 Ta có: sinx   1;1 ;cos x   1;1

 Điều kiện để hàm số lượng giác acosx b sinxc có nghiệm là a2 b2 c2

 Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt

 Quy tắc 4 Sử dụng tính chất của hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của

phương trình bậc 2 …

 Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hàm số như dạng bài tập phương trình mũ Việc

sử dụng linh hoạt các phương pháp sẽ giúp các em tối ưu hơn trong việc giải toán

VÍ DỤ 1 Gi i các phảng ương trình sau:ng trình sau:

ln x 1 lnx

.d) Tìm t t c các giá tr c a tham ất ảng ị của tham ủa tham m điểm thì hàm số đồng ểm thì hàm số đồng phương trình sau:ng trình log 222 x  2 logm 2 x m 1 0

có tích hai nghi m c a phệm của phương trình bằng ủa tham ương trình sau:ng trình b ng ằng 16.

Với t 1 2 2 log3x 1 2 2 x 31 2 2

Với

1 2 2 3

x x

x

x x

VÍ DỤ 3 Gi i các phảng ương trình sau:ng trình sau:

a) Giải phương trình log3xlog4x1 2

nghiệm Vậy x 3 là nghiệm duy nhất.

1

x

x x

Vậy có hai cặp x y;  thỏa mãn 3; 3 , 1; 3    

Hàm số g x  nghịch biến trên khoảng 0;   2

Từ  1 và  2  phương trình f x g x  có nhiều nhất một nghiệm

Mà f  1 g 1 nên x 1 là nghiệm duy nhất

VÍ DỤ 4 Gi i các phảng ương trình sau:ng trình sau:

g) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x3 3x 2 log3m có hai nghiệm0phân biệt?

h) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình log22x log2 x 3mlog2x 3 cónghiệm thuộc 32; .

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì hai đồ thị yx33x2 và ylog3m phải cắt nhau tại 2 điểm.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

4 3

0 3

Ta xét b t phất ương trình sau:ng trình d ng ại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng a x b.

 Nếu b0 thì bất phương trình vô nghiệm

 Nếu b 0 thì bất phương trình tương đương với a x aloga b

 Với  1a thì nghiệm của bất phương trình là xloga b (Hình 1)

 Với  0 a 1 thì nghiệm của bất phương trình là xloga b (hình 2)

Hình 1 Hình 2

 Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình a x b được cho bởi bảng sau:

3 Phương pháp đưa về cùng cơ số

 Nếu gặp bất phương trình a f x  a g x  thì xét hai trường hợp:

 Trường hợp 1: Nếu  1a thì bất phương trình a f x  a g x   f x  g x 

 Trường hợp 2: Nếu  0 a 1 thì bất phương trình a f x  a g x   f x  g x .

t

5 Phương pháp hàm số, đánh giá

 Định nghĩa

 Hàm số f được gọi là đồng biến trên K khi và chỉ khi u v, a b u v; ;   f u  f v  

 Hàm số f được gọi là nghịch biến trên a b khi và chỉ khi; 

 Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng a b thì ;  u v, a b ; ; f u   f v   u v 

 Tính chất 2 Nếu hàm số f đồng biến trên đoạn a b thì ;       

 Khi bài toán yêu tìm tham số m để bất phương trình mf x (hoặc   mf x ) có nghiệm 

đúng với mọi x D thì max  

 Khi bài toán yêu tìm tham số m để bất phương trình mf x (hoặc   mf x ) có nghiệm 

với mọi x D thì max  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S    ; 2  1;0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;log 23   1;

f) Ta có: 

6

x

x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  6; 3

VÍ DỤ 1 Gi i các b t phảng ất ương trình sau:ng trình sau:

1

3 9

3 2

x

x

f) 11 x6 11x

Lời giải a) Đặt t4x (  0t ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

tt2 tt 6 0  x2  3 0  3 log 34Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;log 34 

x x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;0  1;

c) Đặt t3x(  0t ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1;1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;0  2;

x

tt t

Hàm số đồng biến trên  3;

và  3

32

4 1

t m tt

 Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình loga xb được cho bởi bảng sau:

loga xb T p nghi mập nghiệm ệm của phương trình bằng

1

a 0 a 1

 b

x a 0x a b

3 Phương pháp đưa về cùng cơ số

 Nếu gặp bất phương trình loga f x   loga g x  thì xét hai trường hợp:

 Trường hợp 1 Nếu  1a thì bất phương trình

f x

f x g x

4 Phương pháp đặt ẩn phụ

 Nếu gặp bất phương trình m.log2a f x nloga f x p 0, 1 

 Đặt tloga f x , đưa  1 về dạng mt2nt p 0; giải tìm t từ đó tìm nghiệm x

5 Ngoài ra, chúng ta còn có thể sử dụng linh hoạt các quy tắc về hàm số, phương pháp đánh giá đã

nêu ở bài phương trình mũ, phương trình logarit và bất phương trình mũ Việc sử dụng đa dạng cácphương pháp sẽ giúp các em tối ưu hóa các bài toán trở nên đơn giản và dễ dàng hơn

Lời giải a) Điều kiện:  

2.5

d) log2x2 x 2log0,5x 11

10 10

m

x đúng với mọi x1;100

x

x x

Vậy 2x là nghiệm duy nhất

log 10

10 2

0 0; 21

Câu 4. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log (2 x1) log 2x1.

log x 2 log x 2 log x 3 0

có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 Tínhgiá trị của biểu thức Plog3x1log27x2 biết x1x2

83

P

13

Câu 18. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình    2  

x

Biết log sinxlog cosx1 và   1  

Câu 23. Giả sử phương trình log22x m 2 log 2x 2m 0 có hai nghiệm thực phân biệt x x1, 2 thỏa

mãn x1x2 6 Giá trị của biểu thức x1 x2 là

Câu 26. Cho phương trình 4x 2x2m 2 0 với m là tham số Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên

của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn0x1 x2?

Câu 31. Cho phương trình 9x 2 2 m 1 3 x  3 4 m 1 0 có hai nghiệm thực x x1, 2 thỏa mãn

x1 2 x2 2 12 Giá trị của m thuộc khoảng

A 9;   B 3;9 C  2; 0 D 1; 3

Câu 32. Cho phương trình m 5 3 x2m 2 2 3 x x 1  m.4x  0, tập hợp tất cả các giá trị của

tham số mđể phương trình có hai nghiệm phân biệt là khoảng a b;  Tính S a b

có đúng hai nghiệm phân biệt?

a

Câu 35. Trên đoạn  0 ; 2019 có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 9x 2m 2 3 x 3m 2  0

có hai nghiệm trái dấu?

m

Câu 37. Cho phương trình log32x 4log3x m  3 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn x2 81x1 0

Câu 38. Cho phương trình log32x 4log3x m  3 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn x2 81x1 0

Câu 40. Cho hàm số yf x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới

đây Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Câu 44. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2 5x x22x 1 Khi đó tổng x1x2 bằng

A 2 log 2 5 B  2 log 25 C 2 log 2 5 D 2 log 5 2

Câu 45. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x22 5x1

là

A 1 B 2 log 5 3 C P log 453 D Plog 53

Câu 46. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x22 5x1

là

A 1 B 2 log 5 3 C P log 453 D Plog 53

Câu 47. Tính tích các nghiệm thực của phương trình2x21 32x3

A 3log 3.2 B log 54.2 C  1 D 1 log 3. 2

Câu 48. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 7 33  x  2 x

Câu 52. Cho a, b là các số dương thỏa mãn

a



1 65

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tập hợp tất cả các

giá trị thực của tham số m để phương trình f sinx m

có nghiệm thuộc khoảng 0; là

xác định trên  và có đồ thị như hình bên Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m để phương trình: 4 sin 6 cos6  

với a b, là hai số nguyên dương Tính a 2b?

Câu 60. Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình 2x 3 m 4x1 có hai nghiệm thực phân

2 2

2

x x x

-2 -1 3

Số các giá trị nguyên của tham số m không vượt quá 5 để phương trình     

08

f

cóhai nghiệm phân biệt là

Câu 68. Cho  0 x 2020 và log (22 x2) x 3y8y.Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn các

điều kiện trên?

Câu 69. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 15 5x x 5x127x23 là

Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực x, y thỏa mãn đồng

thời e3x5y10 e x3y9  1 2x 2y và log 325 x 2y 4  m 6 log 5x 5m2  9 0

P

12

P

78

P

158

Số nghiệm thực của phương trình 2  x  1

Câu 83. Cho hai số thực x y, thỏa mãn        

x y P

Câu 84. Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất:

Câu 85. Cho phương trình mln2x 1  x  2 m ln x 1 x 2  0 1   Tập hợp tất cả các giá trị

của tham số m để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 0x124x2 làkhoảng a;   Khi đó a thuộc khoảng

Câu 88. Xét các số thực dương x y, thỏa mãn

Câu 96. Cho hàm số f x  ax3 bx2 cx d với a b c d, , ,   có đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập hợp

tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn   10;10 của tham số m để bất phương trình

Giá trị lớn nhất của m để phương trình:       

Câu 98. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực , x y thỏa mãn đồng

thời e3 5 10x y  e x3y9  1 2x 2yvà log 352 x2y4  m6 log 5x5m2 9 0

Câu 103. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình: m 1 16 x 2 2 m 3 4 x 6m  5 0 có

hai nghiệm trái dấu là

Câu 104. Biết rằng phương trình log2 2x1m  1 log3m4x 4x21

có nghiệm thực duy nhất.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

có nghiệm thực Khi đótổng của hai phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của tập S bằng

Câu 107. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

b(a b,  ,

a

b là phân số tối giản) là

giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình f7 4 6 x 9x22m1 0

có sốnghiệm nhiều nhất Tính giá trị của biểu thức P a b2

xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

9

y x

DẠNG 3 PT MŨ, LOGARIT CHỨA THAM SỐ

Câu 112. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x(4m 1)2x3m2 1 0 có hai

Câu 114. Cho phương trình m 1 log 22x 2 log2xm 2  0 Tìm tập hợp các giá trị mđể phương

trình có hai nghiệm thựcx x1, 2 thỏa mãn 0x1 1 x2

A 2;  B    ; 1  2;  C  1; 2 D    ; 1

Câu 115. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m  2018; 2018 để phương trình 4x 2m 1 2 x 3m 8  0có

hai nghiệm trái dấu?

Câu 117. Cho phương trìnhm 1 log 23x2016  mlog3x2m 2017  0 Có tất cả bao nhiêu số

nguyên m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt x x1, 2 thỏa mãn 0x1 1 x2?

Câu 118. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình   

Câu 119. Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để phương trình log22xm 1 log 2x 8  0 có

hai nghiệm thực phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x x1 22 1 Tính tổng các phần tử của S

Câu 124. Xét các số nguyên dương a và b sao cho phương trình aln2x b lnx 6 0 có hai nghiệm

phân biệt x x1, 2 và phương trình 6log2x b logx a 0 có hai nghiệm phân biệt x x3, 4 sao cho

m

Câu 127. Xét các số nguyên dương a và b sao cho phương trình a.100x b.10x 5 0 có hai nghiệm

thực phân biệt x x1, 2 và phương trình e2x be x5a0 có hai nghiệm thực phân biệt x x3, 4thỏa mãn x3x4  10x1x2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a b

Câu 128. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình log23x m log3x2m 70 có hai nghiệm

thực phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x x1 2 81