Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp (đại số tuyến tính) phần 2

i=In trong đó D=det4, D, suy ra từ D a Một hệ tuyến tính thuần nhất với số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tẩm thường © định thức của ma trận các hệ số bằng 0.. b Nếu hệ tuyến

Nếu z(4) = r(4) = m thì hệ có nghiệm duy nhất

Nếu r(4) = r(4) =k < n (số ẩn) thì hệ có vô số nghiệm 3) Nếu mm = n (số phương trình bằng số ẩn) và z(4) = m thì

(1) là hệ Cramer có nghiệm duy nhất cho bởi:

105

i=In trong đó D=det(4), D, suy ra từ D

a) Một hệ tuyến tính thuần nhất với số phương trình bằng số

ẩn có nghiệm không tẩm thường © định thức của ma trận các

hệ số bằng 0

b) Nếu hệ tuyến tính thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn

số ẩn thì nó có nghiệm không tầm thường

1a

§2 Các dạng bài toán thường gặp

b) Xét

8-3 <2 5 8-3-2 8 -5 -2 -8 9-3-3 8 | 3 8 - 2 >| SN

Sk at S38 oF BoB) <2 Ty

3 <8 -T -12) 7 -=§ <1 -12, J =§ -1 -12) 4-5 0 -6 07 0 14 1-3 0 -5)

20 -1 -1 > 06 -1 9 > 0 6-1 9 1-3 0 -5 1-3 0 -5J |0 1 0 2 5-8 0 -HJ |0 7 0 14) (0 0 0 90 Suy ra hệ đã cho tương đương

Giải:

a) Xét

27-1 0-1) (0 13-5 2 ~ 0000 2 4=ll-3 2 -1 2by1 32-1 2) 3 2-1 2

4

214 329 01-53

71a 3 + Guxix,x,)=G+2ve0~Š (XuXy,xy,x,)=(C+2,8,0,—

b) Xét

24-15 ¬| |02-1 1H |02-1 1-H

13 05 -3|Ð02 0 3 -8B00 12 3 37-39 -14| |04 -3 3-29 |00-1 1-7 28-42-22 |0 6-4 -2 37 loo 1s 1

Suy ra hệ tương đương

2-a 6 2-a -6 2-a 6 2-a -6

cấp 3 của ma trận cuối déu bằng 0 = z(4)=r(=2<3=

sốẩn => Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số

Ví dụ 9: Tìm mm để hệ sau có nghiệm duy nhất, vô nghiệm

1012 8 0 5640 5640

allo 2 ;I2|19 25 => hé vonghiem

Vi dy 10: Tim a để hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm

*Nếu 8a~96=0 «œ a=12 3D) =

17 0 m3) (1 7 0 m3

2 4 ¬1 -2| |0 -10 ¬1 4-2n

425 7 0 -30 -3 13-4n 31-2 m 0 -20 -2 9-2n,

3._ = Hệ đã cho vô nghiệm

Ví dụ 12: Tìm a (hoặc m) dé hệ có nghiệm duy nhất, vô

số nghiệm

12&

* Nếu m=+1 thì avy | +ne và các định thức

cấp 3 của ma trận cuối đều bằng 0 = z(4)=r(4)=2 = Hệ

Ví dụ 13: Biện luận theo m số nghiệm của hệ

Suy ra hệ có vô số nghiệm œ z(4)=r() =2 <3= sốẩn

* Nếu a=1 thì z(4)=z(3) =1 ,hệ đã cho tương đương

x, +x, +4, =I 66 vô số nghiệm dạng &x„x)=(4/8l-a-) ,œ/ØeR

Vi dy 16: Giải và biện luận hệ

Suy ra

2) Nếu mm = 14 thì hệ có nghiệm (x, y) = (2,4)

b) Nếu m # 14 thì hệ vô nghiệm

Ví dụ 17: Giải và biện luận hệ

3x +4y +x =0

3x +2y +2z =-l

2x +ấy +az =~—L 4x +y +@-a)z =

Tim a,b dé hệ có nghiệm duy nhất

Tìm a,b để hệ có vô số nghiệm

11) Tim diéu kign của các tham số để hệ sau có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó

12) Tìm điều kiện của các tham số để hệ sau có nghiệm duy

Chủ đề 5

VÉC TƠ N CHIỀU

§1 Tóm tắt lý thuyết 1) Véc tơ:

~ Một bộ sắp thứ tự gồm n số thực gọi là một véc tơ n chiểu

kíhiệu X=(x,x,,x,„ x„) — Œ,efR, í=Lm)

= VECO (HX r% =O Nyro) SX =Y, VE

- Vếc tơ Ó, = véc tơ không

X+(-X)=0,

1x =X a(X+Y)=aX +a¥

(@B)X = a( PX)

- Tập hợp các véc tơ n chiểu cùng với hai phép toán thoả mãn

8 tinh chat trén gọi là không gian véc tơ n chiều, kí hiệu là R

2) Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

- Cho X,,X,,„ X„ 6Ñ”

Véc tơ X elR” gọi là tổ hợp tuyến tính của X,,X,, Y,„

nếu X được biểu diễn dưới dạng:

X=0,X,+0,X,+ 00,X, ,ø,eR Vi=lm

'Ta cũng nói X biểu thị tuyến tính duge qua X,,X,, X,

- Hệ véc tơ X,, X,„ X,„ (1) gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu 3m số thực k,„k,, É,„ trong đó có ít nhất một số z: 0 sao cho:

~ Một hệ véc tơ có từ hai véc tơ trở lên phụ thuộc tuyến tính

<> trong hệ có ít nhất một véc tơ biểu thị tuyến tính qua các véc

- Cho cơ sở ÿ;,P,„ P, của R”

Nếu XeR” được biểu diễn X =ø,P +ø,P,+ +ư,P,

thì (2,,ø,„ ,) gọi là tọa độ của X đối với cơ sở trên

- Cho hệ gồm m véc tơ n chiều

X,,X,,.X, (I), Xéthé con gém s véc tơ của hệ (1)

XX, wok, (2), 15m

Hệ (2) gọi là cơ sở của hệ (1) nếu nó thoả mãn 2 điều kiện

* Độc lập tuyến tính

* Moi véc tơ của (1) đều biểu thị tuyến tính được qua (2)

Số véc tơ trong một cơ sở của một hệ véc tơ gọi là hạng của

hệ đó, hạng của (1) kí hiệu z(X,,X,, , X,„)

4) Các phép biến đổi sau gọi là phép biến đổi sơ cấp:

* Đổi chỗ 2 véc tơ trong hệ

* Nhân một yéc tơ của hệ với một số z 0

*'Cộng vào một véc tơ của hệ một véc tơ khác đã nhân với một số thực tuỳ ý

Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng một hệ véc to

§2 Các dạng bài toán thường gặp

Ví dụ 1: Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ

1-1 TT 1E 1T 1

0 -1|=B

0

1 A=|1 0 1 0/>/0 1 0 -1/>/0

1-313 0 -2 0 2 0

-1

1

000 nfl sf

Các hệ đã cho gồm 4 véc tơ trong Rш nên xét định thức của

ma trận có các dòng là các véc tơ đã cho:

14

Ví dụ 5: Tìm m để hệ sau phụ thuộc tuyến tính

74 4 2m2] (234 0 2m10) (0 0 0 26)

14m

0

Néu 2m-6=0 <> m=3 thi ao: [| | 420 va

các định thức cấp 3 của ma trận cuối đều bằng

I4

Nếu 2=0 thì 3D, | lo =3 #0 và các định thức con cấp 3, cấp 4 của ma trận cuối déu bằng

3 +1 5 9 -15 -10 5 0 -1 1-3 -5 9 6 -3- 0

1681

=5

3

I2

a tính Ä<se và định thức

của ma trận cuối bằng 0 =r(C)=r|X,,X,,X;,X,Ì=3 và

một cơ sở là |X,, X;, X, } (tương ứng với cột 124 của DỊZ* # 0)

Ví dụ 9: Tìm hạng và một cơ sở của hệ véc tơ

Ta phải chứng tỏ rằng [X,,X;,X,} độc lập tuyến tinh và

mọi véc tơ của hệ đã cho déu biểu thị tuyến tính qua X,,X,,X;

T41 ate 11-37 1710 an -37 11

las osJla 9-5)

vay {X,,X;,X,} I cơ sở của hệ đã cho

Ví dụ 11: Biểu điễn véc tơ X = (4,—1, 15,17) qua các véc tơ

X, =(2,-1,3,5)

X,=(4,-3,1,3)

X, =(3,-2,3, 4)

Giải: Gid sit x,X,+x,X,+4X,=X >

(2pm aS) +(e Be) +2, 3 A) = (411519

4 0 -2 -1 2 -I| |-1 -3 -2 -1

X;=(,-1,

Giải:

1,~2,3) Giả sử xX,+

=x;

+x, -8x, =-ll +âxy =-3

-16 10 16| |0 -16 -10 16 -23-14 23/40 0 4 0

Ví dụ 15: Tìm m để véc tơ X =(5,m, 2) là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ

*X=@,5I); X;=(63,2): =@,7,3) Giải: Gidsit X=y,X,+4X,4+yX, >

3x, +6x, 49x, =5

Sx +3x) 47x, =m (I)

x +2x, 43x, =2

X là tổ hợp tuyến tính của X,,X,,X, <> hệ (1) có nghiệm

3 69 5 0 0 0 1 Xét 4=|5 3 7 mị|—>|0 -7 -8 m-l0|=B

0 1

-8 m-19=-5#0 Vm 3.2

= r(A)=2, r(B)=r(4)=3 Wm =(1) vô nghiệm, nghĩa là không có giá trị nào của m để X là tổ hợp tuyến tính của Xj,X;,X;

Ví dụ 16: Tìm a để véc tơ X =(a, 6, 9,3) là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ: X, = (2, 2, 3, l) ; X; = (5, 3, 7, 5)

Giải

X=xX+xX, ©

v4

153

= r(2=r(B)=3 = Hệ vô nghiệm

142

'Vậy với a=6 thì X là tổ hợp tuyến tính của X;,X;

Ví dụ 17: Tìm m để X =(1,3, m) biểu diễn duy nhất qua

=> X khong biéu dign duge qua a,,a,,4,

Nếu A=-1 thi 3D2=2+0 va tất cả các định thức con cấp 3 của B déu bằng 0 => r(4)=r(3)=2<3= số ẩn > (1)

có vô số nghiệm => X biểu diễn không duy nhất qua a,,4,,4,

Nếu 4 #‡I thì (1) là hệ Cramer có nghiệm duy nhất

=X biểu diễn duy nhất qua z¡,đ;,;

16a

Bài tập tự kiểm tra

1) Hệ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

2) Hệ {a,,a;,a, } là một cơ sở của R”

Biết: - b=a+a,ta, b= a, +a,

b= a,-a, Hoi he {6,,5,,6,} d0c lap tuyén tinh hay phụ thuộc tuyến tính? 3) Tìm hạng của hệ véc tơ

Ta

3

la? BP c° đ?[ |0 b°-ab c?-ac d?-ad

la? Bc? a] 0 B?—ab? c?—ac? d?—ad?

=(-a)(e-a\(đ-a|b c d

b° c? d?

4) Vế trái

1 cog _cos cos cos; +cos, cose 1

=1-cos’ y~cosa(cosa—cosf.cosy) +cos/(cose.cosy ~cosf)

=1+2cosacosfeosy -(cos a+cos’ B+cos’ y)

cosa” cos7| cosa 0 |

=-cosa(0—cosf.cosy) +cosf(cosacosy—0) = 2cosa.cosf.cosy Suy ra vế trái = vế phải œ» cos°#+cos” B+cos’y =1

c) Nhan cột một với (-1) rồi cộng vào các cột sau, dùng

công thức 1~cos2a=2cos°a Rút nhân tử chung ra ngoài dấu định thức rồi khai triển theo cột 1 thì:

D=-16.sin? pens sin? sin €

8)

cos4 cosB cosC|=|cos4 cosE-cos4 cosC-cos4

koý 4 cos B cos C |eos A cos B-cos A cos C—cos

cos B—cos A €osŒ —cos 4

Jcos? B—cos? A cos”C—cos” A

lcosB+cosA cosC +cos dl

= (cos B—cos A)(cosC —cos A)(cosC -cosB)=0 =>

= (cos B~ cos A)(cosC - cos A)

9) a) Nhân đồng đầu với (-1) cộng vào dòng hai và nhân dòng ba với (-1) cộng vào dòng bốn

nhân cột ba với (-2) cộng vào cột đâu

nhân cột ba với (-3) cộng vào cột hai

b) Nhân cột dau với (1) cộng vào cột ba => D,

©) Cộng cột hai vào cột đầu, dùng công thức cộng cung

13) Xét A.A", chil ¥ tinh chất det(4.4') = det(A).det(4')

La 8 3)a)Xem 4=|2 5 11] thi AX=E @ X=A'E=A"

129

23-17 8 Tacó |Ä=-8 = Z=4”'=-3|~ 4-1

42 3 1 1 I0 ¬1 -5 3 -1240 + -5 3 +

221-41) [02-5 1-1] joo 5 -5 1

55202) |0 -5 -13 5 3J (|0 0 12 402

2) Nếu m (m~1) #0 thì hệ có nghiệm duy nhất

b) Nếu ¿=0 hoặc ø =1 hệ đều vô nghiệm

13) k2 ;—4 thì hệ có nghiệm duy nhất x= y= z =0

14

mz8 thì Cokie) (04-72, 1, 0) ,zeR

Tài liệu tham khảo

1- Đại học Thương Mại Hà Nội

"Nhà xuất bản Dai học và Trung học chuyên nghiệp 1991

3- Trân Xuân Hiển - Nguyễn Cảnh Lương

Bài tập Đại số và Giải tích

Nhà xuất bản Khoa học và Kĩ thuật 1999

4- Trường Đại học Kinh tế quốc dân Hà Nội

6- Tuyển tập các bài toán về toán cao cấp (Tiếng Nga)

§ 1.Tom tat lý thuyết

§ 2 Các dạng bài toán thường gặp

Chịu trách nhiệm xuất bản:

CÁT VĂN THÀNH

Chịu trách nhiệm bản thảo:

NGUYEN NGOC HIEN

Trinh bay bia:

ĐỖ ĐÌNH TỨ Sửa bản in:

NGÔ MỸ LỆ

ĐÔ THỊ HOÀI

In 2000 cuốn khổ 14,5 x 20,5 cm tai Xưởng in Nhà xuất bản Thống kê Giấy phép xuất bản số 224-133/XB-QIL XB do Cục xuất bản cấp ngày 13 tháng 02 năm 2004 In xong và nộp lưu chiều quý IV năm 2004