Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp (đại số tuyến tính) phần 1

2 Nếu một dòng của định thức có tất cả các phân tử bằng 0 thì định thức bằng 0... 3 Nếu trong định thức ta đổi chỗ 2 dòng bất kì cho nhau và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

NGUYÊN NGỌC HIỀN

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

TOAN CAO CAP

PHAN |

DAI SO TUYEN TINH

[TRUONG DAI HO’

HÀ NỘI - 2004

LỜI NÓI ĐẦU

“Toán cao cấp là một trong những môn học chính ở những

năm đâu bậc đại học Đặc trưng của nó là môn toán cơ sở mang

tính hệ thống chặt chẽ, chính xác và trừu tượng, bởi vậy việc học

tập và thi hết môn Toán cao cấp như là một thách thức với nhiều bạn sinh viên Để giảm bớt khó khăn, lúng túng trong quá trình

học tập và giành kết quả tốt trong các kỳ thi học kì chúng tôi

biên soạn cuốn sách này với mong muốn:

- Giúp các bạn nhìn ra những vấn để cốt lõi của giáo trình

Toán cao cấp 1 (Phần đại số tuyến tính) theo chương trình của Bộ

Giáo dục và Đào tạo giành cho sinh viên các trường đại học khối kinh tế hệ dài hạn tập trung

~ Hướng dẫn gi:

mỗi phân của giáo trình lý thuyết

Cuốn sách được trình bày dưới dạng các chủ đẻ, bám sát các nội dung của giáo trình lý thuyết Trong mỗi chủ đẻ có phần tóm tắt lý thuyết, phần hướng dẫn giải các bài toán thường gặp và phần bài tập để bạn đọc tự rèn luyện

các dạng toán cơ bản thường gặp trong

“Trong hàng loạt các ví dụ đẻ cập đến, bạn đọc hãy xem lời

giải của chúng chỉ là một cách giải chứ không phải lời giải mẫu

mực, đặng tìm ra những lời giải khác hay hơn

Đối tượng chính của cuốn sách này là sinh viên hệ đài hạn tập trung của trường Đại học Thương Mại Ngoài r4, chắc chắn

nó sẽ là tài liệu'tham khảo bổ ích cho sinh viên các trường Đại

học khác thuộc khối kinh tế

Trong quá trình biên soạn mặc dù đã rất cố gắng song

không thể nào tránh khỏi sai sót Chúng tôi chờ mong những ý

kiến đóng góp phê bình ở quý đồng nghiệp và bạn đọc

Chủ đề 1

SỐ PHỨC

§1 Tóm tắt lý thuyết

1) Dinh nghia: Don vi 40 i được định nghĩa bởi: ¡2 =—1

Biểu thức a+bi, trong đó a va be R goi là một số phức,

kí hiệu Z=a+ bi Tập hợp C= |a+ bi: a và be R }gọi là tập

hợp các số phức

© Hai sốphức a+bi =e+di c; J2” b=d

© Cho Z=a+bi eC thi Z=a-bi goi là số phức liên hợp

Góc ø xác định sai kém &2z, k e Z, gọi là Ácgumen của

Z và viết p=argZ, được xác định từ hệ

b „ ta thường lấy 0< ø< 2z

Suy ra a+ bỉ = r(cosø + isin Ø) ®

VE trái (*) gọi là dạng đại số của số phức Z

'Vế phải (*) gọi là dạng lượng giác của Z

s_ Nếu cho dưới dạng lượng giée Z, = r,(cos, +isin g,)

Z, =n (cos g, +isin g,) thi

Zi.Z; = nen leos(ø, + ø,)+ ïsin (ø, + ø;}

Ấn = be, — ø,)x rán ø — ø,]

+ Nếu n nguyên dương thì ta định nghĩa Z" =ZZ Z(n thừa số)

« Nếu Zz0, quyước Z° =l

* Cho Z=r(cosy+isin g) thì với n nguyên dương:

a) (cos + isin g)" =cosng + ¿sin nọ gọi là cong thie Moivre

b) Can bac n của Z, kí hiệu 4/Z có n giá trị khác nhau

3) Đinh lý: Đalampe (d’ ALEMBERT)

Mọi đa thức bậc n với hệ số phức có đủ n nghiệm phức (phân biệt hoặc trùng nhau)

§2 Các dạng bài toán thường gặp

=modZ=4 vàlấy argZ=

a) Z=4| Bah =4{ 1+cos= +isin= 2”? eng

=4) 2cos? 12 4 +isinZ | =8cos4| cos 12 12 + isin 12

=| cos +isin—=| — =cos 6 6 6 a+isin——x 6

= cos (835 27)+ isin (835 27)= cos 0 + isin 0 =1

Sản ĐK 2W tos + isin + cos + isin 4a og 48

k=ê0= Z4=2|cos7+isnf— 24 24

kat = 2, = 00s 12% 4 isin 9 9

k=2 => Z, = 008 8% + isin 6% *

10

k=0 > Z =1i( cos + isin) =iv5

”

Cíh2: Giảsử V2i=x+yi (x,yelR)

Theo định nghĩa thì: 2i=(x+ yi) =x? —y? +2xyi

=f 2»y=2 =0 "| pay = v-{ty =2.=4x) xy=l (-1,-1)

Cách 2; Giả sử x=a+öi thì x -2i=0

(a+bi) -2i=0 =aÌ=b` +(2ab~2)¡ =0

b) Giả sử Z=a+bi, a,be Rthì

(2) © (a+bi(a ~ bi) +a + bị ~ (a ~ bi) = 5 + 4i

=4 +bỀ +2bi =5+ 4i

as

Ví dụ 15: Viết nghiệm của phương tình x` +324=0 dưới dang a+bi

28

Ví dụ 17: Tính cotg6xtheo cotgx

Gi

: Theo công thức Moivre ta có:

cos 6x + isin 6x = (cos x + isin x)®

= cos’ x+6cos' x(isinx)+ 15cos' x{’sinx) +20co# x(/sinx}`

+15cos’ x(isinx)' +6cosx(¡sin xŸ +(/sin xƑ'

= cos* x-15cos* x.sin? x +15 cos? x.sin‘ x-sin® x +

i(6 cos! x.sin x-20.os? x.sin’ x +6 cos x.sin’ x)

Suy ra

{rove = cos” x —15cos" x.sin” x + 15cos* x.sin‘ x -sin® x

\sin6x = 6cos” x.sin x - 20cos’ x.sin” x + 6cosx.sin” x

Vậy

_ cos6r

_ sin6r

_ cog x-15cos' xin? x+15cos xsin! x-sin’ x

~~ 6cos xsinx—20cos xin x+6cosx.sin’ x

_ cotg’x—IScotg'x+1 Scotg x-1

6cotg x~2(otg x+6cotgx

Bài tập tự kiểm tra

5) Giải phương trình trong Œ

Chủ đề 2

ĐỊNH THỨC

§1 Tóm tắt lý thuyết

I Cho tap hop W,„ = {I,2, n} Một hoán vị của n phần từ

cia N, ky higu 1 (a,a, @,) , trong đó øeN, (/#/ thì ø,#øœ,) Khi ¡< j mà ø, >ø, thì hai số ø,, trong hoán vị

trên tạo nên một nghịch thế

- Số các nghịch thế của hoán vị (zZ, ,) kí hiệu là

Ở đó tổng trải trên n! hoán vị của {I, 2, , n}

a Sn Fn) fin Fano đại

Từ đó mọi điều khẳng định đúng cho dòng thì cũng đúng cho cột và ngược lại

2) Nếu một dòng của định thức có tất cả các phân tử bằng 0 thì định thức bằng 0

3) Nếu trong định thức ta đổi chỗ 2 dòng bất kì cho nhau và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định thức đổi dấu

4) Nếu định thức có 2 dòng giống nhau thì nó bằng 0

5) Nhân từ chung của các phần tử của một dòng đưa được ra ngoài dấu định thức

6) Nếu định thức có 2 dòng tử lệ với nhau thì định thức bằng 0 7) Nếu trong định thức

8) Định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử

của một dòng các phần tử tương ứng của một dòng khác sau khi

đã nhân với cùng một số

9) Nếu hệ véc tơ dòng của định thức phụ thuộc tuyến tính thì nó bằng 0

a

10) Nếu các phần tử nằm vẻ một phía của đường chéo chính của định thức đều bằng 0 thì giá trị của định thức bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính

1 2 3) -1 0 2=0+6-12-(@-2-4)=0

3 -2 ] Cách 2: (dùng tính chất)

Cộng dòng 1 vào dòng 2 và nhân dòng 1 với 3 cộng vào dòng 3 thì có:

1 2 39 f1 23

—I 0 2|=|0 2 5|=0 (dòng hai và dòng ba lệ nhau) -3 -2 1] |0 41

as

l+ax l+ay 1+az

b) Nhân dòng Ï với (1) rồi cộng vào dòng 2 và dòng 3 thì có:

+zx l+ay 1+2 |lta ltay lta

tox 1+øzy 1+z|=l6-a)jx (-a)y (b~a)3 tex 1+ 1+e| |e-a)x (c-a)y (c-a)z

I+ay l+ay 1+zi

x oyog

+

“ bề 2a0| “b+a-b — +a] ° ¬

=(b+e~a)Dabe+ 2a*b— dab? + dye? }+ 22a`b(c+a~b)

=2ab(b+e—a)(a+e)+2a°b(c +a~ð)

=2alcb+c2 =ac+ab+ac~a^ +ac+a^ ~a0]

= 2ableb +c? +ac]=2abe(a+b +c)

Vậy B=2abe(a+b+c)`

D, =sin Bcosy +sinacos B +siny cosa

—cosasin 8 — cos Bsin y ~ sinacosy

= sin(@ — ) + sin( đ ~ 7) + sin( y — a)

* asin’ B-(1-cos’ a)(1-cos’ #)=0

b) Nhân (-sinx) vào dòng đầu cộng vào đòng hai và nhân (-siny) vào dòng đầu cộng vào dòng 3 thì có:

Vi du 8: Tinh các định thứẻ, đưa kết quả về đạng tích

11 sin3a cos3a |

2) |eosa cosb cose] b) lsin2a cos2a |

sina sind sinc sina cosa

Gidi:

a) Theo dinh nghia thi

1 1 1

cosa cosở cos

lsina sinø sine|

=sinccosb + sinbcosa + sinacosc —sinacosb —sinbcose—sinccosa

= sin(e — ð) + sin( 6 — a) +sin( a — e)

x~9)(~2J#~x)Ay+yz+za)

Giải:

2) Cộng cột hai vào cột đâu rồi đưa 2 ra ngoài:

la+bx a-bx | fa, a,-bx ¢,

la,+b,x a,-b,x c,|=2a, a;—b,x e

la,+b,x a,-b,x c,| Ja, a,-bx e

1 2|

la, +x a,x+b, c;|=|s,+b,x 0x0, ¢,|=D la,+bx ax+b, | la+bx (Ix) c

Đưa (I—x”) ra ngoài, nhân cột hai với (-x) cộng vào cột

đầu thì có:

la,+bx be D=(-x})la;+b,x b, cy

Vi du 12: Cée số 204, 527, 255, chia hết cho 17, chứng minh rang:

bo 4 S2 7ƑH7

b 5 3 Giải: Nhân 100 với cột đầu và nhân 10 với cột hai rồi cộng

2) Ta có:

l4 1 0 2l |Ÿ14 -5 -4 0

20 0 3 3| = |-22 -9 -3 0 =ICD**°Ð2 9 3 yes l4 32 1 |4 3 2 1 l2 2 1 l2 21012 2 1 d

ag

=-a(-cdf + bef-af )+W(be —cde-aef)—c(-adf+bed—cd’)

=a f' +b'e' +0 d’ ~2abef'+2acdf-2bede=(af -be+cd)"

Vi du 16: Giải các phương trình

a) |x+l “` 2 |=0

8 “gH? 142%

Ví dụ 17: Giải các phương trình

Nhân cột đâu với 4 rồi cộng vào cột cuối

2) Cộng dòng đầu vào bốn dòng sau thì có:

a

'b) Cộng bốn dòng sau vào dòng đâu, đưa nhân tử chung I1 ra

1 l2

a) Cong vào dòng cuối cả bốn dòng đầu thì có:

Giải:

a) Cong cdc cột sau vào cột đầu, đưa nhân tử chung của cột

đâu là [x+(a—1)a] ra Sau đó nhân dòng đầu với (-1) rồi cộng

Bài tập tự kiểm tra

4) Với điều kiện nào của ø,/đ,y thì có:

1 cosa cosớ| | 0 cosz cos/ cosa 1 coy|=lsosz 0 cosy lcos B cosy 1 | ko cosy 0

5) Tính các định thức

B 1 1 1 1 2 3 4

2 ¡ 3% 1 FE b) 2 3 4 1 Hot 3 1 3 4 1 2 t1 1 3 4 1 2 3

1 1 +

cos cosB cosC|=0

lcos’ A cos’ B cos”

11) Tính các định thức

3 2 2 2 lsin’@ 1 cos a 2 2 sin a cosa cos a)D,=|sin B 1 cos

sin'y 1 cos’ 7|

y coØy cos 7|

lsina cosa sin@a+d)

©)D,=|sinb cosh cosb+d)

sine cose cose+d

Ma trận vuông A gọi là ma trận tam giác nếu các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính đều bằng 0

a, Ay sự a 0 0

a, a 4 ns a, a, 0

9 đụ yp Gey

Ma tran vuông A gọi là ma trận đường chéo nếu các phần tử

nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

“8

- Hệ quả: Hạng của hệ véc tơ dòng của ma trận A bằng hạng của hệ véc tơ cột của A và bằng hạng của A

- Các phép biến đổi sơ cấp

a) Nhân tất cả các phần tử của một dòng (một cột) với một số

khác 0

b) Đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau

©) Cộng vào một dòng (một cột) các phần tử tương ứng của

dòng khác (cột khác) đã nhân với cùng một số thực

- Hạng của ma trận 4 không thay đổi khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp

a

-37 64 3 1

16 -2 -1 0

=|-37 39|+| 2 2 -37 64) \-3 -1 l5 -2

=|-35 41 -40 63

m7

Với n=k +1 thì:

G2 GG OG aba

¬ -

=> (I) ding voi n=k+1

Suy ra(1) ding VneN, 122

b) Ta sẽ chứng minh

fe ind) =e =i wy wall wee

sina cosa sinna cosna

1

“Thật vậy với

>

cosa -sina)’ (cosa -sina cosa -sina

sin@ cosa sina cosa \sina cosa

(ren era

2u

Khi dy v6i n= k +1 thi:

Vidu 8: Tim A” (nếu có)

0 0 1

Giải:

os —sinz = kosz -si + > 2

3

3

-6 ~4, 1-4 -3

15x, - 5x3 + 21x, - 7x4 =14 @) 18xị —6x; +24x; —8x„ =6 2)

-3 |

4,

1-4 I-35 =3 -1 6

(

4

5 -6 =4

Thi AX Bo X=A ¬ B >

85

Ớ:y;,y,) =(2,~3,1)

a) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng (hàng)

cha A cụ thể là nhân dòng đầu với -2 cộng vào dòng hai và nhân

dòng đâu với -1 cộng vào đòng ba thì có:

5

3

¬

4 -2

on

b) Nhân dòng ba lần lượt với 2, (-1), 4 rồi cộng vào các dòng hai, bốn, năm thì có:

2-1 13 4 8-3 5 5 0 4=| 3 -L 2 1-2|o| 3 -1 2 1 -2

2-3 1 2-2 [-1 -2 -1 1 0 -4 1-3 1 8 8-3 5 5 0 Cong dong mot vao dong bén va nhan (-1) voi dong hai cộng vào dòng năm thì có:

b) Vì X là ma trận vuông cấp 3 nên xét |X|, cộng hai cột

sau vào cột đầu: `

413 3} 41 3.3) (0 -15 -25 -s

06

o ao

=r(4)=r(B)=3

L2 1 1 010 -4 wae} 2 32 6 |) 0 10 -4

1L 11 §5 L1 1 5

Ia’ -1 0 233) (ằa” =1 0 2+3 Cộng dòng hai vào dòng bốn và nhân dòng hai với (1) rồi cộng vào dòng đầu thì có:

Phân cuối chủ để này giới thiệu một phương pháp khác để

tìm ma trận nghịch đảo của ma tran A

Ta viét A và E liễn kẻ dưới dạng ma trận khối:

hạ Bằng các phép biến đổi sơ cấp chỉ trên dòng, ta đưa (1) vẻ đạng

og

3.7 2|100 -3 0|! 02

-2 -5 -1]0 0 1 -2 -5 -1]0 0 1

1 3 13 0|-1 0 -2 _ ot abe a 1 0/0 -1 -1 -2 -5 -]0 0 01-l-2 0 -3

(2) nhân dòng một và dòng hai với (-1)

(3) nhân dòng một với 2 rồi cộng vào dòng ba

(4)nhân dòng hai với -3 cộng vào dòng một và nhân dòng hãi với (-1) cộng vào dòng ba

(5) nhân dòng ba với (-1)

tan

Giải: Vì |A|= Lnên 34”

Nhân dòng thứ i+l với (-1) rồi cộng vào dòng thứ

Bài tập tự kiểm tra

13 5 1 0-0

a |? šs HÌx=|0 1 90

2.23 10 1 bQX| 1 =1 0| =|0 l1

-1 2 1) (1 10

102

9) Cho phương trình ma trận

12 a4 <1

2 7 2a+l|X=| 2

3.9 4a 1

Giải phương trình khi a = 0

'Tìm a để phương trình trên vô số nghiệm

10) Chứng minh rằng nếu 4= 4 ` thì:

a) A” =E; Đ)4””=4

11) Cho ma trận vuông 4, 4' là chuyển vị của 4, ta gọi 4

là trực giao nếu 4.4'= £ Chứng minh:

3) A=A;

b) det4=#l;

©) A, B là trực giao cùng cấp thì 4.Z cũng trực giao

ina.