(Luận văn thạc sĩ) biểu diễn số nguyên tố bởi các dạng toàn phương bậc hai nguyên

27 Chương 3: Biểu diễn số nguyên tố dưới dạng toàn phương bậc hai nguyên ..... Định nghĩa và mô tả vành số nguyên đại số của trường Q m Chương 2: Tính Euclide của vành các số nguyên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

” ” ” ” ” ” ” ” ”

NGUYỄN HUỲNH NGỌC XUÂN

BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN TỐ BỞI CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG

BẬC HAI NGUYÊN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 604605

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Mỵ Vinh Quang

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2006

2

-MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa 1

Mục lục 2

Mở đầu 3

Chương 1: Kiến thức cơ bản 4

1.1 Ký hiệu Legrendre 4

1.2 Ký hiệu Jacobi 10

1.3 vành các số nguyên đại số 11

Chương 2: Tình Euclide của vành các số nguyên đại số bậc hai 14

2.1 Miền Euclide 14

2.2 Ví dụ về miền Euclide 15

2.3 Ví dụ về miền không Euclide 27

Chương 3: Biểu diễn số nguyên tố dưới dạng toàn phương bậc hai nguyên 33

3.1 Bổ đề 33

3.2 Bổ đề 34

3.3 Định lý 36

3.4 Định lý 37

3.5 Định lý 39

3.6 Một số hàm số học 41

Tài liệu tham khảo 47

Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ bản.

Nêu định nghĩa và tính chất của ký hiệu Legendre và Jacobi Định nghĩa và mô tả vành số nguyên đại số của trường Q ( m )

Chương 2: Tính Euclide của vành các số nguyên đại số bậc hai.

Chúng tôi nghiên cứu khi nào vành số nguyên đại số bậchai là miền Euclide và không là miền Euclide

Chương 3: Biểu diễn số nguyên tố dưới dạng toàn phương bậc hai nguyên.

Áp dụng chương 1 và chương 2 để xét xem khi nào sốnguyên tố p biểu diễn được dưới dạng toàn phương bậc hainguyên và cho trước một số n ta có thể tính được bao nhiêuước d của n có thể biểu diễn được và tổng các ước đó.Tôi xin gởi lời cảm ơn đến các thầy, cô khoa toán trường ĐH Sư phạm TP.HCM và các thầy cô đã tham gia giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập Đặc biệt là PGS.TS Mỵ Vinh Quang đã nhiệt tình và dành nhiều thời gian để hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong việc chọn đề tài và thực hiện luận văn.

4

-CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Ký hiệu Legendre

1.1.1 Định nghĩa

Đối với một phương trình đồng dư bậc 2 thì chúng ta hoàn toàn biết được

phương trình đó có nghiệm hay không và khi có thì có bao nhiêu nghiệm Ta

Nếu phương trình (1) có nghiệm thì ta nó a là thặng dư bậc hai theo modun p

còn nếu phương trình (1) vô nghiệm thì ta nói a là bất thặng dư bậc hai theo modun p.

⇒ 1, 4 là thặng dư và 2, 3 là bất thặng dư bậc 2 theo modun 5

Tìm thặng dư và bất thặng dư bậc 2 theo

modun 7 s’ = {12 ,22 ,32 }

⇒ Thặng dư bậc 2 theo modun 7 là 1, 4, 2 và 3, 5, 6 là bất thặng dư 2 theo modun 7.

Để xét xem phương trình x2 = a (modp), (a;p) = 1 có nghiệm hay không,

p

Trong p 1 số ε 1 có μ số âm, còn lại p 1 – μ số dương Để chứng minh mệnh đề trên ta sẽ

achứng minh rằng p = ε 1 ε 2 … ε p1

– Ta hãy xét dãy:

a, -a, 2a, -2a… p1a, -p1a

Đó là một hệ thặng dư thu gọn theo modp, các thặng dư giá trị tuyệt

đối nhỏ nhất theo mod p tương ứng là ε1r1, -ε1r1, ε2r2, -ε2r2… εp1rp1, -εp1rp1

khác một thứ tự, như vậy ta có:

r1.r2… rp = 1.2… p1 = p1! Nhân các đồng dư thức (2) từng vế với nhau ta được:

chỉ là 1 hoặc -1 và p là số nguyên tố lẻ nên 1 và -1 là hai lớp

2−1 Ta còn có γi hoặc bằng ri hoặc bằng p – ri và vì thế ta có:

p1 p1 ∑ γ i =

∑ε i r i + μp

i =1

Nếu εi >0 => γi = ri

εi <0 => γi = p - γi

– Như vậy cộng đẳng thức (3) từng vế ta được:

Ta lại có p là số nguyên tố lẻ nên p ≡ 1 (mod2) Lấy đồng dư thức

theo modun 2 hai vế của (4) ta được :

9 Nếu p, q là hai số nguyên tố lẻ phân biệt thì ta có

Trong đó các số kq -

Gọi số các số dương

có dạng kq.lp với k = 1, 2… p2−1 ; l = 1, 2…

lp đó hiển nhiên không có số nào bằng 0.

trong đó là s 1 và số các số âm là s 2 , ta có:

k

=

1p

Và tương tự s 2 là số các số k sao cho kq – lp < 0 với l = 1, 2…

q −1lp2

các số k sao cho k < q với l = 1, 2… 2 ⇒ s 2 = ∑

q −1 nghĩa là số 2

(a, p) = 1 Khi đó ký hiệu Jacobi được xác định bởi đẳng thức:

P

1.3 Vành của các số nguyên đại số

1.3.1 Định nghĩa số nguyên đại số

Một số là một số nguyên đại số nếu và chỉ nếu nó thỏa

mãn trên Q một phương trình đa thức đơn hệ với hệ số nguyên

1.3.2 Định lý

Nếu d ≠ 1 là một số nguyên không có nhân tử bình phương thì trong trường hợp d

≡ 2 hoặc d ≡ 3 (mod 4) các số nguyên đại số trong Q ( d ) là các số a + b d với các hệ số là các số nguyên (hữu tỉ) Nhưng nếu d ≡ 1 (mod 4) thì các số nguyên của Q ( d ) là

Nếu a ≡ 1 (mod 2) => a = 2r + 1 ⇒ a2 = 4r2 + 4r + 1 ≡ 1 (mod 4)

Chứng minh:

∀ u ∈ Q ( d ) ⇒ u đều có thể viết dưới dạng a + b d trong đó a, b, c ∈ Z và

c

không có nhân tử chung nào cả

Ta giả sử b ≠ 0 để loại trừ trường hợp tầm thường của một sốhữu tỉ Khi đó phương trình bậc hai đơn hệ bất khả quy cho u là:

a2 − db2

cũng phải là số nguyên ⇒

2

c24a2

Nếu trong sự phân tích trên có pi ≠ 2 thì:

pi|c,c|2a => pi|2a => pia (vì pi ≠2)

pi|c => p2

i

phương)

c 2 ;c 2 4db 2 => p 2

i 4db2 => p i b2 => p i b (vì d không có nhân tử bình

Vậy c = 2α, α ≥ 0

Ta chứng minh α = 0 ∨ α = 1

Nếu α ≥ 2 thì 4|c, c|2a ⇒ 4|2a ⇒ 2|a

4|c ⇒ 16|c2, c2|4db2 ⇒ 16|4db2⇒ 4|db2 ⇒ 2|b2 ⇒ 2|

b Vậy a, b, c có nhân tử chung là 2 (vô lý)

Vậy α chỉ có thể là 0 hoặc 1 hay c = 1 ∨ c

= 2 Trường hợp d ≡ 2 hoặc d ≡ 3 (mod 4)

Trường hợp này a, b, c có nhân tử chung là 2 (vô lý với cách chọn a, b, c)

Vậy c không thể bằng 2 nên c chỉ có thể bằng 1

Khi đó u được viết dưới dạng u = a + b d

Các số nguyên đại số trong Q ( d ) là các số a + b d ; a, b ∈ Z

Ngược lại mọi số dạng a + b d ; a, b ∈ Z đều là số nguyên đại số trong Q ( d ) vìnó thỏa phương trình có hệ số nguyên:

(vì d ≡ 1 (mod 4))

Nếu a ≡ 0 (mod 2) ⇒ a2 ≡ 0 (mod 4) ⇒ b2 ≡ 0 (mod 4) ⇒ b ≡ 0 (mod 2)

là các số

-14-CHƯƠNG 2:

TÍNH EUCLIDE CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC HAI

2.1 Miền Euclide

2.1.1 Định nghĩa hàm Euclide

Cho D là một miền nguyên

Ánh xạ φ: D → Z được gọi là hàm Euclide trên D nếu nó thỏa 2 tính chất sau:

i φ (ab) ≥ φ (a), ∀ a, b ∈ D, b ≠ 0

ii Nếu a, b ∈ D, b ≠ 0 thì tồn tại q, r ∈ D sao cho: a = qb + r và φ (r)<φ (b)

Ví dụ:

-1 , p(x) = 0

là một hàm Euclide trên D

Trong trường hợp tổng quát, phần tử q, r trong ii) xác định không duy nhất.

2.1.2 Tính chất của hàm Euclide

Cho D là một miền nguyên có hàm Euclide φ , a, b ∈ D thì:

i a ~ b ⇒ φ (a) = φ (b)

⇒ c ∈ U(D) hay a ~ b {U(D) = các phần tử khả nghịch trong D}

iii Chứng minh: a ∈ U(D) ⇔ φ (a) = φ (1) a ∈ U(D) ⇔ a ~ 1 i→ φ (a) = φ(1)

Nếu r ≠ 0 thì q ≠ 0, r = -aq ⇒ φ (r) = φ (-aq) ≥ φ (a) (vô lý)

Vậy r = 0 ⇒ φ (a) > φ (0)

2.1.3 Định nghĩa miền Euclide

Cho D là một miền nguyên Nếu D có hàm Euclide φ(a) thì D được gọi là miền Euclide với hàm φ

Nhận xét: Miền Euclide là miền Iđêan chính

Vì I ≠ {0} nên s ≠ φ và ta có φ (a) > φ (0), ∀ a ≠ 0

0 ≠ a∈I

∀b ∈ I ⇒ ∃ q, r ∈ D: b = aq + r, φ (r) < φ (a)

Nếu r ≠ 0 ⇒ φ (r) ∈ S mà φ (r) < φ (a) mâu thuẫn với việc chọn a Vậy r = 0 ⇒ b = aq hay I = <a>

Vậy I là Iđêan chính

2.2 Ví dụ về miền Euclide

2.2.1 Định lý

a Z là miền Euclide

b Cho F là một trường, F[x] là một miền Euclide

2.2.2 Hàm φ m

Cho m là số nguyên không chính phương

Cho m là số nguyên không chính phương.

Z + Z m là miền Euclide với hàm φm nếu và chỉ nếu mọi x, y ∈ Q thì tồn tại a,

b ∈ Z sao cho:

φm ( ( x + y m )− ( a + b m ) ) < 1

Chứng minh:

(⇒)

Giả sử Z + Z m là miền Euclide với φm, ta chứng minh với mọi x, y ∈ Q

tồn tại a,b ∈ Z sao cho φm ( ( x + y m )− ( a + b m ) ) < 1

c + d m φm ( c + d m )

(⇐) Ngược lại nếu mọi x,y∈Q thì tồn tại a,b∈Z: φm (x + y m - (a + b m

Theo giả thiết ⇒ ∃ a, b ∈ Z: φm ( x + y m − ( a + b m ) ) < 1

Đặt c=r–at – bum, d = s – au – bt thì r + s m = (a + b m )(t + u m )+ ( c + d m )

-19-Chứng minh:

2 mlà miền Euclide Ta chứng minh mọi x,y∈Q tồn tại

a,b ∈Z sao cho:

m ⊂ Z + Z 2 vì Z + Z 2 là miền Euclide với hàm φm

-20-r + s 1+ m

2r + s + s m2

=φm = φm x + y m − a − b < 1

22

⇒ φm c + d 2 < φm t + u 2

2.2.6 Ñònh lyù

-21-Cho m là số nguyên âm, không có nhân tử chính phương Khi đó vànhcác số nguyên đại số Om của trường Q( m ) là vành Euclide khi và chỉ khi

m =-1, -2, -3, -7, -11Chứng minh:

Trường hợp m = -1, -2

Khi đó:

Theo định lý 1.3.2, Vành các số nguyên đại số Om của trường Q( m )

là vành

Ta chứng minh: Z + Z m là miền Euclide ⇔ m = -1, m = -2Với m = -1, -2, ta chứng minh Z + Z m là miền Euclide

Như vậy, đối với số nguyên âm m thì ta đã giải quyết được trọnvẹn bài toán khi nào vành các số nguyên của Q( m ) là vành Euclide.Trường hợp m là số nguyên dương thì như thế nào? Vấn đề này đãđược các nhà toán học như E.H Barnes (1874-1953), H Behrbohm, E Berg, A.T.Brauer (1894-1985), H Chatland, H Davenport (1907-1969), L.E Dichson (1874-1954), P Erdos (1913-1996), H.A Heibronn (1908-1975), N Hofreiter, L.K Hua, K.Inkner, J.F Keston, C Ko, S.H Min, A Oppenheim, O Perron (1880-1975), L Redei,

R Remak (1888-1942), L Schuster, W.T Sheh và H.P.F Swinnerton Dye, cuốicùng vào năm 1950, Chatland và Davenport đã đưa ra kết quả sau:

2.2.7 Định lý

Cho m là số nguyên dương, không có ước chính phương thì vành cácsố nguyên đại số Om của trường Q( m ) là vành Euclide với hàm φm nếuvà chỉ nếu: m = 2, 3, 6, 7, 11, 19, 57, 5, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 73

Vì khuôn khổ của luận văn thạc sỹ, ta không thể chứng minh đượcđầy đủ các kết quả trên mà ta chỉ xét một vài trường hợp riêng

2 4

⇔ φm(x + y m - (a + b m )) <1 theo bổ đề 2.2.4

” ” ” Nếu m = 6: Giả sử Z + Z 6 không là miền Euclide với φ6

4 1 1

245 ∉ Q

(!)

-26-2.3 VÍ DỤ VỀ VÀNH O m VỚI m > 0 KHÔNG LÀ MIỀN EUCLIDE

2.3.1 Định lý

Cho m là số nguyên dương, không chính phương

Nếu có 2 số nguyên tố lẻ p, q khác nhau sao cho:

m

=p

Và 2 số nguyên dương t, u sao cho: pt + qu = m, p | t, q | u; số nguyên r sao cho r2

Theo định lý 1.3.2 thì Om = Z + Z m với m= 23, 47, 59, 83.

Áp dụng định lý 2.3.1:

Ta có: 2 = 2 + r 2 ∈Z+Z 2 (vì m,r là số nguyên lẻ) vì φm là

hàm Euclide nên với m + r m , m ta luôn có

Mà |mX2 – Y2| < 4m

Ta áp dụng định lý 2.3.3 với:

Vậy Z + Z không là miền Euclide với φ

-30-2.3.5 Định lý

Cho m là số nguyên dương không chính phương

a Nếu m ≡ 2 (mod 4) và m ≥ 42 thì Z + Zm không là miền Euclide với hàm

Mà X = t - my là số nguyên lẻ:

CHƯƠNG 3:

BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN TỐ DƯỚI DẠNG

TOÀN PHƯƠNG BẬC HAI NGUYÊN

Một số nguyên n được gọi là được biểu diễn dưới dạng toàn phương bậc hai ax2 + bxy + cy2; a,b,c∈Z nếu có số nguyên x, y sao cho n = ax2 + bxy + cy2

Ví dụ:

31 được biểu diễn dưới dạng toàn phương dạng:

x2 + xy + 3y2 vì 31 = 12 + 1.3 + 3.32

2 không biểu diễn được dạng x2 + 5y2 vì không có x, y ∈ Z: 2 = x2 + 5y2

Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu xem khi nào thì số nguyên tố pbiểu diễn được dưới dạng toàn phương bậc 2 nguyên

⇒ p không nguyên tố trong Z + Z m mà Z + Zm là miền Iđêan chính ⇒ p không bất

Giả sử p = (u + v m )(w + t m ); u + v m , w + t m ∈ Z + Z m

u + v m , w + t m : không khả nghịch trong Z + Z m

p = uw + vtm + (ut + vw) m

Vì m là số nguyên không chính phương nên

Nếu m > 0 và không có số nguyên T, U: T2 – mU2 = -1 thì p = u2 –

mv2 hoặc p = -(u2 – mv2)

3.2 Bổ đề

Cho m ≡ 1 (mod 4) là số nguyên không chính phương, sao cho

2 (1 – m)v2 nếu m < 0 hoặc nếu m

v t vtm 1− m 1− m

-35-ut + vw = 0Nhân (1) và (2) vế theo vế ta được:

Cho p là số nguyên tố

i p không biểu diễn được dưới dạng p = x2 + y2, x,y∈ Z khi và chỉ khi p ≡ 3 (mod 4)

ii p biểu diễn được dưới dạng p = x2 + y2, x,y∈ Z khi và chỉ khi p = 2 hoặc p ≡

1 (mod 4)

y2 : Giả sử ngược lại, có 2 số nguyên x, y: p = x2 + y2

p ≡ 3 (mod 4) ⇒ p là số nguyên tố lẻ

Do đó x, y xảy ra các trường hợp sau:

x ≡ 1 (mod 2)

y ≡ 0 (mod 2)

x ≡ 0 (mod 2)

y ≡ 1 (mod 2)Vậy không tồn tại x, y ∈ Z: p = x2 + y2 nếu p ≡ 3 (mod 4)

minh được p ≡ 3 (mod 4)

Trường hợp p ≡ 3 (mod 4): theo i không có x, y ∈ Z sao cho p = x2 + y2

Vậy nếu p không biểu diễn được dưới dạng p = x2 + y2 thì p ≡ 3 (mod 4)

⇒ p = x2 + y2 ≡ 1 (mod 4) vô lý

⇒ p = x2 + y2 ≡ 1 (mod 4) vô lý

-37-3.4 Định lý

p là số nguyên tố:

khi p ≡ 5, 7 (mod 8)

2 hoặc p ≡ 1, 3 (mod 8)

Chứng minh:

* Ta chứng minh nếu p ≡ 5,7 (mod 8) thì không tồn tại x, y ∈ Z: p = x2 + 2y2 :

Giả sử ngược lại, tồn tại hai số nguyên x, y sao cho p = x2 + 2y2

vì p là số nguyên tố lẻ nên x ≡ 1 (mod 2) (vì p là số nguyên tốlẻ) ⇒ x2 ≡ 1 (mod 8)

y2 ≡ 1 (mod 4)

⇒ 2y2 ≡ 2 (mod 8) ⇒ p = x2 + 2y2 ≡ 3 (mod 8) (vô lý) Vậy không tồn tại x, y ∈ Z: p

= x2 + 2y2 nếu p ≡ 5, 7 (mod8)

minh được p ≡ 5,7 (mod 8) thật vậy

p

-38-p ≡ 3 (mod 8) ⇔ -38-p = 3 + 8n ⇒ − 2= (−1) ( 8n +2 )( 8n +8) = 1

8p

p

Chứng minh định lý

chính Theo bổ đề 3.1, có hai số x, y ∈ Z: p = x2 – my2 ⇔ p = x2 + 2y2

3.5 Định lý

p là số nguyên tố

Nếu x ≡ 0 (mod 3) hoặc y ≡ 0 (mod 3) thì:

p = x2 + xy + y2 ≡ y2 hoặc x2 (mod 3) Mà theo giả thiết p ≡ 2 (mod 3)

Nênx2 ≡2 (mod 3) hoặc y2 ≡ 2 (mod 3) (vô lý) (Vì phương trình x2 ≡2 (mod 3) vô nghiệm)

Vậy 3 × và 3 × y hay (x, 3) = 1 và (y, 3) = 1

y2 ≡ 1 (mod 3)

minh được p ≡ 2 (mod 3) thật vậy

3.6 Một số hàm số học:

3.6.1: Bổ đề:

số nguyên tố p nếu không có α thuộc Om sao cho φ m (α ) = p

hoặc là các sốα thuộc Om sao cho φ m (α ) = p, p là số nguyên tố.Chứng minh bổ đề:

thuộc Om sao cho φ m (α ) = p thì p bất khả qui trong vành Om :

Thật vậy, nếu p không bất khả qui trong đó Om , Khi đó p được phân tích dưới dạng p = α1 α 2 ; α1 ,α 2 không khả nghịch trong O m

φ m (p)= φ m (α1 α2 ) = φ m (α1 )

⇔ p2 =φ m (α1 ).φ m (α2 ) (*)

φ m (α2 )

vì α1,α2 không khả nghịch trong O m nên φ m (α1 ),φ m (α2 ) >1, (*) ⇒ φ m (α1 )=φ m (α2 )=p

vậy có α1 ,α2 sao cho φ m (α1 )=φ m (α2 )=p (trái giả thiết)

Tiếp tục ta chứng minh α = x + y m với φ m (α ) = p, p là số nguyên tố là bất khả qui

trong vành Om:

Giả sử: α = β.γ

Ta có: p =φ m (α ) =φ m ( β γ ) =φ m (β) = φ). φ m ( γ )

⇒ φ m ( β )=1 hoặc φ m ( γ ) =1

nên β hoặc γ khả ngịch trong Om

Vậy α bất khả qui trong Om

* Ngược lại, α bất khả qui trong Om ta chứng minh α có một trong các dạng trên Trứơc hết ta chứng minh nếu α bất khả qui thì φ m (α ) =p hoặc φ m (α )=p2, p là sốnguyên tố

Ta có : φ m (α )= |α α | = x 2 − my 2 =p1p2…pk, pi là số nguyên tố

⇒ α p1 p2 p k ⇒ α p với p là một trong các số nguyên tố pi

α p ⇒ α p ⇒ α.α |p2 ⇒ φ m (α ) p 2 (1) mặt khác vì α không khả nghịch nên φ m (α )>1

⇒ φ m (α ) = p hoặc φ m (α ) = p 2

* Nếu không có β) = φ thuộc Om sao cho φ m (β) = φ) = p thì φ m (α )= p 2 =φ m (

p)⇒ α ~ p *Nếu có α p thuộc Om sao cho φ m (α p) = p Giả sư û: α

p = x1 + y1 m , α Ρ = x1 − y1 m

p = φ m (α p) = |α p.α Ρ | mà α |p nên α |α p.α Ρ ⇒ α |α p hoặc α |α Ρ

• τ m (n) là số ước d của n mà có α thuộc Om sao cho φ m (α ) = d

• σm (n) là tổng các ước d của n mà có α thuộc Om sao cho φ m (α ) = d

3.6.2.2 Định lý: Hàm τ m ( n),σm (n) có tính chất nhân

Chứng minh định lý:

Đầu tiên để chứng minh định lý này ta có nhận xét như sau:

1.Cho hai số d1 và d2 nếu có α 1,α 2 sao cho d1 = φ m (α 1) ; d2 = φ m (α 2) thì cũng có α sao cho d1.d 2 = φ m (α )

Thật vậy:

d1 = φ m (α 1) , d2 = φ m (α 2) ⇒ d1d2 = φ m (α 1) φ m (α 2) = φ m(α1 α2 ) = φ m (α )

(với α = α 1 α 2 )

2 Giả sử d m.n , (m, n) = 1, có α sao cho φ m (α ) = d

Ta chứng minh d phân tích được duy nhất dưới dạng :

d = d1.d2 trong đó d1 m , d2 n , (d1, d2) = 1 và có α 1, α 2 sao cho φ m (α 1) = d1,

φ m (α 2) = d2

* Chứng minh:

Giả sử α = α1 ,α2 , α k , α i bất khả qui trong Om

d = φm (α ) = φ m (α1 ,α2 , α k ) = φ m (α 1) ………φ m (α k) ⇒ φ m (α i) d

Theo nhận xét trong bổ đề 3.6.1, vì α i là bất khả qui nên φ m (α i) = p hoặc φ m (α i) =

p2, p là số nguyên tố

Vì φ m (α i) d ⇒ p d

Mà d m.n nên p m.n hơn nữa (m, n) = 1 ⇒ p m hoặc p n

φ m (α i) d , d m.n , (m, n) = 1 ⇒ φ m (α i) là ước của m hoặc là ước của n.Đặt d1 = ∏ φ m (α i) trong đó φ m (α i) m