(Luận văn thạc sĩ) không gian f dugundji, không gian f milutin và co rút f giá trị tuyệt đối

Những ghi nhận ban đầu Với mỗi hàm tử chức năng F : Comp  Comp trong phạm trù Comp củacác không gian Hausdorff compact, ta định nghĩa các khái niệm của các không gian F – Dugundji và F

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hoàng Dũng

KHÔNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hoàng Dũng

KHÔNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG

GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ

TRỊ TUYỆT ĐỐI

Chuyên ngành : Hình học và tôpô.

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những

trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.

Nguyễn Hoàng Dũng

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tâm hướng dẫn,giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô của TrườngĐại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những thầy cô tham giagiảng dạy lớp Cao học khóa 26 đã cho tôi những kiến thức toán học vềĐại số, Giải tích và Hình học tôpô

Xin kính chúc quý thầy cô thật nhiều sức khỏe và thành công!

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin củaTrường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiệnhọc tập tốt nhất cho chúng tôi Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trongHội đồng về những góp ý quý báu để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Hìnhhọc và tôpô khoa Toán khóa 26 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thờigian học tập và làm luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vìnhững sự quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành thật tốt khóa học

Nguyễn Hoàng Dũng

MỤC LỤC

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Không gian tôpô 5

1.2 Không gian compact 6

1.3 Không gian mêtric 7

1.4 Đồng cấu nhóm 8

1.5 Không gian lồi địa phương 9

1.6 Dàn Banach 9

1.7 Toán tử 10

1.8 Độ đo 13

1.9 Hàm tử 14

1.10 Khối lập phương Cantor 15

1.11 Khối lập phương Tychonoff 16

Chương 2 KHÔNG GIAN COMPACT F – DUGUNDJI VÀ F – MILUTIN 18

2.1 Không gian Dugundji và không gian Milutin 18

2.2 Một số định lý của không gian F – Dugundji và F – Milutin 20

Chương 3 CO RÚT F - GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ KHÔNG GIAN F - MILUTIN TUYỆT ĐỐI 27

3.1 Co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối 27

3.2 Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối cho một vài hàm tử chức năng 37

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Những ghi nhận ban đầu

Với mỗi hàm tử chức năng F : Comp  Comp trong phạm trù Comp củacác không gian Hausdorff compact, ta định nghĩa các khái niệm của các không

gian F – Dugundji và F – Milutin, dựa theo khái niệm cổ điển trên các không

gian Dugundji và Milutin Qua đó, ta chứng minh được rằng lớp các không gian

F – Dugundji trùng với lớp các co rút F – giá trị tuyệt đối.

Kế tiếp, cho X là không gian compact Dugundji với các tích tensơ tương

ứng và một hàm tử liên tục đơn cấu F : Comp  Comp , X là một co rút F – giá

trị tuyệt đối khi và chỉ khi tập hai phần tử 0,1 là một co rút F – giá trị tuyệt

Tổng quát hơn, mỗi không gian X compact rời rạc paracompact kế thừa của

cái nâng rời rạc hữu hạn n  ht X  là một co rút Lipk – giá trị tuyệt đối với

k 

2 n2

 1.

1.2 Thực tiễn của đề bài

Một trong các định lý cổ điển Tietze-Urysohn [10] phát biểu: với mỗi hàm

số liên tục f : X  được xác định trên các tập con đóng X của không giantôpô thông thường Y xác định một thác triển liên tục f :Y 

Trước đây, đã từng có nhiều nỗ lực nhằm hợp nhất định lý Tietze-Urysohn

và toán tử chính quy được Dugundji đề cập [9] như một mong muốn hoàn toàn

tự nhiên và hợp lý, tuy nhiên những nỗ lực này đã thất bại vì sự tồn tại của các

cặp X , A của các không gian Hausdorff compact A  Xkhông nhận bất kỳtoán tử mở rộng tuyến tính chính quy u : C A  C X  Điều này khiến

A.Pelczynski [15] nãy ra ý tưởng giới thiệu một lớp các không gian compact

Dugundji Tồn tại các không gian compact X nhận với mỗi phép nhúng X Y

vào một không gian Hausdorff compact Y một toán tử mở rộng tuyến tính chính

quy u : C X  C  Y 

Việc nghiên cứu có hệ thống của lớp các không gian compact Dugundjiđược bắt đầu bởi A.Pelczynski không lâu sau đó các không gian compact

Dugundji đã được chứng minh rằng có thể được mô tả như là co rút P – giá trị

tuyệt đối với các hàm tử P : Comp  Comp của các độ đo xác suất trong phạmtrù Comp của các không gian Hausdorff compact và các ánh xạ liên tục Cầnnhắc lại rằng với một không gian Hausdorff compact X thì không gian độ đo

xác suất P  X  là một không gian con của Tychonoff cấp CX bao gồm tất cả

các phiếm tuyến tính chính quy   : C X  

nó với độ đo xác suất

Đồng thời R Haydon đã làm sáng tỏ các hiểu biết về cấu trúc của các

không gian Dugundji compact khi đã chứng minh được lớp các không gian

Dugundji compact trùng với lớp của các mở rộng compact tuyệt đối sốchiều không

Như đã thấy trước và sau Haydon đã có nhiều nghiên cứu và vấn đề được

đặt ra xoay quanh không gian F – Dugundji, không gian F – Milutin cũng như là

AE 

0

co rút F – giá trị tuyệt đối và cũng đã đạt được nhiều kết quả Từ đó cho chúng ta

thấy sự cấp thiết của đề tài cần được quan tâm và nghiên cứu

Với các kiến thức tôpô đại cương và nghiên cứu trên không gian Dugundji

của các nhà toán học trên thế giới và Việt Nam cũng như từ bài báo F – Dugundji spaces, F – Milutin spaces and absolute F – valued retracts của hai tác

giả Taras Banakh và Taras Radul xuất bản trong tạp chí Topology and itsApplications năm 2015

2 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu 2.1 Mục tiêu nghiên cứu

Từ chứng minh của R Haydon rằng lớp các không gian Dugundji compacttrùng với lớp

AE0 của các giãn tử compact tuyệt đối trong số chiều không

 Định lý Haydon và chứng minh định lý Haydon

 Giới thiệu một số khái niệm cùng tính chất liên quan của không

gian compact F – Dugundji và không gian compact F – Milutin.

 Giới thiệu một số khái niệm cùng tính chất liên quan của co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối

 Nhận dạng co rút F –giá trị tuyệt đối của một số hàm tử chức năng.

2.2 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp một sốkết quả đã có liên quan đến nội dung luận văn làm cơ sở lý luận và trình bàylại một số khái niệm và kết quả đã có chứng minh một số định lý và tính chấttrong bài

3 Cấu trúc của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương 1, 2, 3 và phần kết thúc

Mở đầu: Nội dung của phần mở đầu nhằm đề cập đến những ghi nhận ban

đầu, thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích, phươngpháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Nội dung của chương 1 nhằm đưa ra một

số kiến thức cơ bản cần thiết cho chương 2 và chương 3

Chương 2: Không gian F – Dugundji và F – Milutin: Chương 2 của luận

văn nhằm giới thiệu không gian compact F – Dugundji và F – Milutin cùng các

Kết luận: Chúng tôi đã hệ thống lại các kết quả đã được trình bày trong

chương 2 và chương 3 cùng một số vấn đề nhằm định hướng phương hướngnghiên cứu trong tương lai

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nội dung của chương này giới thiệu và nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản nhằm làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chương sau Các định nghĩa được trình bày trong chương 1 được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3], [4],

là một họ các tập con của X sao cho:

Khi đó, ta gọi  là một tôpô trên X và 

X;  là một không gian tôpô.

1.1.2 Lân cận của một điểm

Cho không gian tôpô X ;  và

Cho không gian tôpô X ;  và A  X

Ta có họ  A   A U :U mở trong X  là họ các tập mở trong A và  A

là

một tôpô trên A được cảm sinh từ tôpô  Khi đó X ; A  được gọi là khônggian tôpô con của không gian tôpô X ; 

1.1.6 Cơ sở của không gian tôpô

Cho không gian tôpô X ; ,

x 

X

, họ x nào đó là những lân cận của

điểm x được gọi là cơ sở địa phương của tôpô  tại x (hay là cơ sở lân cận tại

x ) nếu với mỗi lân cận bất kỳ U của x luôn tồn tại V  x sao cho x V U

Họ con B các phần tử của tôpô  được gọi là cơ sở của  trên X nếumọi phần tử thuộc  đều là hợp nào đó của các phần tử thuộc B

Họ con  được gọi là tiền cơ sở của tôpô  nếu họ tất cả các giaohữu hạn có thể của các phần tử thuộc lớp tập thành một cơ sở của tôpô 

Cơ sở tôpô B được gọi là đếm được nếu B gồm một số đếm được (hay khôngquá đếm được) những tập hợp mở

1.1.7 Không gian Hausdorff

Không gian tôpô X ; được gọi là không gian Hausdorff (hay T2  khônggian) nếu với mọi cặp điểm bất kì x, y  X có các lân cận U 1 , U2 sao cho

Một phủ con của C là một tập con của C mà vẫn phủ X

Ta gọi C là một phủ mở nếu mỗi thành phần của nó là một tập mở (nghĩa

là U i chứa trong  , với  là một tôpô trên X ).

1.2.2 Định nghĩa

của

Không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu mỗi phủ mở bất kỳ

X luôn có phủ con hữu hạn

1.2.3 Compact hóa

Cho không gian tôpô

không gian tôpô X nếu X

X , không gian tôpô Y được gọi là compact hóađồng phôi với một không gian con trù mật của Y

của

X

1.2.4 Compact hóa một điểm

Compact hóa của không gian compact X bằng việc thêm vào không gianmột điểm được gọi là không gian compact hóa một điểm của X

1.2.5 Không gian paracompact

Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu mỗi phủ mởcủa X luôn có phủ mở, mịn địa phương hữu hạn Có nghĩa là: cho một phủ mởcủa X là U

 x i , x j   

không gian mêtric đầy đủ nếu mọi

dãy Cauchy trong X đều hội tụ

1.3.3 Tôpô sinh bởi mêtric

 được gọi là tôpô sinh bởi mêtric (hay tôpô mêtric).

1.3.4 Không gian mêtric hóa

Không gian tôpô

mêtric d : X  X 

trên X

X được gọi là không gian mêtric hóa nếu trên X có một sao

cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô xuất phát

1.5 Không gian lồi địa phương

1.5.1 Nửa chuẩn của không gian

Cho X là một không gian vectơ trên trường số (  hoặc

Một ánh xạ p : X  được gọi là nửa chuẩn trên X nếu x, y  X , 

Một không gian vectơ được trang bị dãy các nửa chuẩn được gọi là không gian lồi địa phương

1.6 Dàn Banach

1.6.1 Không gian Riez

Không gian Rietz E là một không gian vectơ sắp thứ tự riêng phần

bất kỳ x, y , z E thỏa:

, với

i x  y  x  z  y  z

ii a  , x  y  ax  ay

iii Với bất kỳ cặp vectơ x , y  E , tồn tại một supremum (kí hiệu

trong E tương ứng với 

x  y)

1.6.2 Chuẩn của không gian

Cho X là một không gian vectơ trên trường số (   hoặc 

ánh xạ p : X  được gọi là một chuẩn trên X nếu  x, y  X ,

ii p  x    p x;

iii p  x  y   p  x   p  y.

Số p x gọi là chuẩn của phần tử x Ta kí

1.6.3 Không gian định chuẩn

Không gian vectơ X cùng với chuẩn  trong nó được gọi là một khônggian định chuẩn, ký hiệu: 



X , 



.Nếu p là một chuẩn trên không gian vectơ X thì ta có:

d x, y  : p x 

y

là một mêtric trên X , gọi là mêtric sinh bởi chuẩn p )

1.6.4 Không gian Banach

Không gian định chuẩn  X

mêtric sinh bởi  là không gian

được gọi là không gian Banach nếu

Với X là một không gian tôpô, một toán tử F : X  , với  , được xây

dựng với mục đích thiết lập một cấu trúc tính toán trên X được gọi là phiếm

hàm Phụ thuộc vào mục đích mà phiếm hàm này có thể tuyến tính hoặc không tuyến tính hoặc được định nghĩa trên cả không gian X

11

1.7.3 Toán tử tuyến tính

Một ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ V lên chính nó được gọi làmột toán tử tuyến tính trên V

Một ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào trường số

được gọi là một phiếm hàm tuyến tính

1.7.4 Toán tử mở rộng

Cho hai đa tạp tuyến tính DA

DB

 là tập xác định của hai toán tử

tuyến tính A : D  A  và B : D  B  với là không gian Hilbert. B

được nói là toán tử mở rộng của A nếu DA DB và B  v   A

là C X  Nếu không gianX là compact thì cácchứa một cấu trúc của một dàn Banach với chuẩn

Theo Dugundji [9], với X là tập con đóng của không gian tôpô mêtric hóa

Y và Z là một không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, toán tử tuyến tính

u : C X , Z  C  Y ,

Z  được gọi là toán tử chính quy nếu toán tử u thác triển

mỗi hàm số liên tục f

C X , Z  thành hàm số

ii  có tính chất  - cộng tính, nghĩa là nếu các tập E1, E2 , trong X đếm

được, không gian nhau từng đôi một và E 





E k

Nếu  là một độ đo xác định trên

gọi là một không gian độ đo

 - đại số F thì bộ ba  X,

1.8.2 Độ đo xác suất

Cho một không gian độ đo

đo xác suất hay xác suất

F, , nếu P

X1 thì P được gọi là độ

1.8.3 Độ đo Dirac

Độ đo Dirac là độ đo

được A  X sao cho:

Hơn nữa, thỏa mãn hai tiên đề sau:

F : tương ứng

A và tương ứng mỗi cấu xạ :AB

trong với một cấu xạ

G:GBGA trong phạm trù Hơn nữa, hai tiên đề sau phải thỏamãn:

 T (với T 2 là hàm tử T T :  Đồng thời thỏa hai điều kiện sau:

i  T T (là phép biến đổi tự nhiên

1.10 Khối lập phương Cantor

Khối lập phương Cantor là một nhóm tôpô có dạng 0,1A với tập chỉ số

A Cấu trúc đại số và tôpô của nó là tích trực tiếp và tôpô tích trên nhóm Cyclicbậc hai (2 thành phần) (trên nó có trang bị cấu trúc tôpô rời rạc)

Nếu A là tập đếm được hữu hạn thì khối lập phương Cantor tương ứng làkhông gian Cantor Khối lập phương Cantor thì đặc biệt giữa những nhóm

compact vì với mỗi nhóm compact là ảnh liên tục của một khối lập phươngCantor mặc dù thường không là ảnh đồng phôi Ta giả sử các không gian làkhông gian Hausdorff

Một khối lập phương Cantor với một tôpô thông thường là:

i Không gian thuần nhất:

Một không gian thuần nhất M là một không gian với tác động nhóm bắtcầu bởi một nhóm Lie Do một tác động nhóm bắt cầu có nghĩa là có chỉ mộtquỹ đạo nhóm, M đẳng cấu với không gian thương G / H bới H là nhóm đẳnghướng G x Việc lựa chọn x M không làm ảnh hưởng đến sự đồng cấu của

ii Compact

iii Số chiều không (không gian được gọi là có số chiều không nếu nó có một

cơ sớ gồm các tập vừa đóng vừa mở)

iv AE 0 là mở rộng tuyệt đối của không gian compact số chiều không (mỗiánh xạ từ một tập đóng của một không gian tới khối lập phương Cantor thì

mở rộng thành toàn không gian)

Thật ra mỗi không gian AE 0 là ảnh liên tục của một khối lập phươngCantor và dễ dàng chúng minh được rằng mọi nhóm compact là AE 0 Điều

đó dẫn tới rằng mọi nhóm compact số chiều không thì đồng phôi với một khốilập phương Cantor và mỗi nhóm compact là ảnh liên tục của một khối lậpphương Cantor

1.11 Khối lập phương Tychonoff

1.11.1 Không gian Tychonoff

Cho không gian tôpô X , X được gọi là không gian đầy đủ chính quy nếuvới bất kỳ tập đóng F và bất kỳ điểm x không thuộc F tồn tại một hàm số liêntục f : X  sao cho f x  0 và f  y   1, y F

đầy đủ nếu X là không gian đầy đủ chính quy và

 , hoặc không gian T3

Hausdorff

1.11.2 Khối lập phương Tychonoff

Cho đoạn đơn vị  0,1 và số đếm   0 , ta định nghĩa khối lậpphương Tychonoff của   là không gian  với tôpô tích

Ví dụ: tích  s với   là lực lượng của S và mọi s  S , s

sS

Tính chất:

i Khối lập phương Tychonoff là không gian compact

ii Nếu    thì không gian  có thể nhúng vào trong không gian  iii Khối lập phương Tychonoff  là không gian phổ dụng cho mọi không

gian compact của chỉ số

 



0

từ tài liệu [5].

Trong bài luận văn này, các không gian tôpô được xét là không gian Hausdorff Các khái niệm được tham khảo trong [20].

2.1 Không gian Dugundji và không gian Milutin

2.1.1 Không gian Dugundji [15.6.34]

Một không gian compact

mỗi không gian compact T và

toán tử mở rộng chính quy

Xđược gọi là không gian Dugundji nếu cho mỗi phép nhúng đồng phôi  : X T có một

2.1.2 Không gian Milutin [15.5.27]

Một không gian compact

X

D

được gọi là không gian Milutin nếu tồn tại

m

là tập Cantor) thì có một toán tử trung bình

2.1.3 Co rút P – giá trị tuyệt đối

Cho hàm tử P : Comp  Comp , một không gian Hausdorff compact

được gọi là co rút P – giá trị tuyệt đối nếu cho mỗi phép nhúng X 

một không gian compact Hausdorff Y thì tồn tại một ánh xạ liên

f :Y  PX là thác triển chính tắc của phép nhúng :X PX

[11]

X

vàotục

2.1.4 Định lý Haydon

Cho một không gian Hausdorff compacttương đương:

X thì các điều kiện sau là

(1) X là không gian compact Dugundji

(2)X là co rút P – giá trị tuyệt đối

(3) X là một mở rộng tuyệt đối trên không gian 0 chiều

Chứng minh

 3   1 Xem [12], không gian compact Milutin.

Ta nhắc lại trong [12] rằng một không gian compact Hausdorff X làMilutin nếu có một toàn ánh liên lục f : K  X từ một khối lập phương

Cantor K 0,1 , nhận một toán tử trung bình chính quy u : C K  C 

Milutin và được suy ra từ tính chất mỗi không gian compact Dugundji là

Milutin Chiều đảo của định lý này là không đúng dễ thấy qua ví dụ siêu

số hàm tử khác được nghiên cứu bởi Alkinson và Valov trong [5], [21]

Cùng với các tính chất đã nêu, nội dung luận văn còn đề cập đến: với

mỗi hàm tử chức năng F : Comp  Comp ta giới thiệu khái niệm không gian

compact F – Dugundji và không gian compact F – Milutin cùng với các đặc

trưng của chúng với các toán tử mở rộng và toán tử trung bình giữa các

những tập compact sinh mở.

2.2 Một số định lý của không gian F – Dugundji và F – Milutin

Với X là một không gian compact, ta kí hiệu dàn Banach của các hàm

số liên tục với chuẩn   supxX



x là C X  Hàm số :CX

(không nhất thiết liên tục) được gọi là một phiếm hàm của C X  Không gian

CX

của tất cả các phiếm hàm trên được trang bị tôpô tích Tychonoff

Với mỗi x  X thì độ đo Dirac  X  x 

CX

là một phiếm hàm gáncho mỗi hàm

: f ** chúng ta có thể kết luận rằng cấu trúc của

C : Comp  Tych là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù Comp đến phạm trùTych của các không gian Tychonoff và các ánh xạ liên tục của chúng Hàm tửDirac là hàm tử con của hàm tử C.

Định lý Tietze-Urysohn khẳng định rằng: với bất kỳ nội xạ liên tục

f : X Y giữa các không gian compact, ánh xạ đối ngẫu f  :CYCX 

là toàn ánh và do đó ánh xạ đối ngẫu thứ hai f ** :

CX 



 CY  là phépnhúng tôpô Từ đó, với mỗi tập con đóng A  X và phép nhúng đơn vị

i A : A  X ta có thể đồng nhất không gian hàm CA với không gian con

năng Hàm tử độ đo xác suất P trong [11] và hàm tử độ đo lũy đẳng I trong

[23] là hai hàm tử độ đo chức năng đã được nghiên cứu

Khái niệm của một toán tử chính quy u : C X  C  Y  xuất hiện

trong

các định nghĩa của không gian Dugundji và Milutin là những trường hợp cục

bộ của khái niệm của một toán tử F – chính quy cho một hàm tử chức năng

F Ta hiểu rằng một ánh xạ u : C X  C  Y  nào đó (không cần tuyến tínhhay liên tục) là một toán tử giữa hai không gian hàm CX và

CY 

toán tử u : C X  C  Y  sẽ cảm sinh một toán tử đối ngẫu u* : CX  CY

gán mỗi phiếm hàm :CY với phiếm hàm u

2.2.1 Định nghĩa

Với X , Y là hai không gian compact và hàm tử chức năng

F : Comp  Comp Một toán tử u : C Xlà   C  Y  được gọi F   chínhquy nếu mỗi y Y , ta có phiếm hàm u

Chú ý rằng một toán tử u : C X   C  Y  là chính quy và tuyến

tính nếu và chỉ nếu nó là P – chính quy đối với hàm tử của độ đo xác suất P

Để định nghĩa các khái niệm của không gian compact Dugundji vàMilutin, ta giới thiệu một tham số hàm tử là định nghĩa của chúng

2.2.2 Định nghĩa

Với X là một không gian compact và F : Comp  Comp

tử chức năng Không gian X được gọi là:

 F – Milutin nếu tồn tại một toàn ánh f : K  X (với K

khối lập phương Cantor) nhận một toán tử trung bình F –

là một hàm

 là

0,1chính quy

u : C K  C X ;

 F – Dugundji nếu tồn tại một đơn ánh f : X

khối lập phương Tychonoff) nhận một toán tử

mở

u : C X  C K 

Trong [15], Pelczynski đã đưa ra khái niệm toán tử trung bình mở rộng là

sự hợp nhất của hai khái niệm mở rộng và toán tử trung bình

Một toán tử u : C X   C  Y  được gọi là một f - toán tử trung bình mở

rộng cho f nếu f * u f * f * Nếu f là đơn ánh (tương tự toàn ánh), khi

u được gọi là một

toán tử mở rộng trung bình cho

là hai không gian compact Hausdorff, cho một hàm tử chức

 Comp và một ánh xạ f : X Y Khi đó, hai điều kiện sau

sao cho Ff s y   Y

y  f X  

Y toán tử đối ngẫu u* :

 Khi u là một toán tử trung bình mở rộng,

f * u f *  f * , kéo theo f** u * f **  f ** với f ** : CX  CX  là toán

tử đối ngẫu của f* : C  Y   C X  Xem xét rằng F là một hàm tử con củahàm tử C  , chúng ta kết luận rằng Ff  f ** | FX Dễ dàng kiểm tra rằng

Y  y   s  y 

 FX

hay toán tử u là F – chính quy.

Cuối cùng, kiểm tra rằng u là một toán tử trung bình mở rộng cho ánh xạ

f , tức là, f* u f * f * với f *:CYCX  là toán tử đối ngẫu cảmsinh từ f Cho bất kỳ hàm  C  Y  và bất kỳ x  X , chúng ta cần kiểm tra

gian F – Milutin trong 2.2.2 và định lý 2.2.3 đưa ra cho ta một cách khác để

chứng minh một không gian compact X là một không gian F – Milutin.

(3) Cho mỗi phép nhúng X Y vào một không gian compact Hausdorff Y

tồn tại một ánh xạ liên tục s :Y  FX sao cho s x   Y x với

X  K vào K (với

 là mộtkhối lậptại một ánh xạ liên s : K  FX

X K

Chứng minh