Chuong 5 Phương Trình Vi Phân Cấp 1.Pdf

HAØM SOÁ y = f(x) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Thành lập phương trình vi phân PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân Khi thành lập ptvp trong các bài toán vật lý ta thườn[.]

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CẤP 1

Thành lập phương trình vi phân

PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân

Khi thành lập ptvp trong các bài toán vật lý ta thường

áp dụng phương pháp vi phân (xử lý các đại lượng thay đổi nhỏ) Khi đó tỷ số xấp xỉ giữa các số gia nhỏ

( y/x) được thay bằng tỷ số vi phân (dy/dx)

Một phương pháp khác là sử dụng ý nghĩa vật lý của đạo hàm (tốc độ biến đổi của quá trình)

Thành lập phương trình vi phân

Khi thành lập ptvp trong các bài toán hình học ta

thường sử dụng các tính chất của tiếp tuyến, pháp

tuyến hay ý nghĩa của đạo hàm (hệ số góc tiếp tuyến) Một dạng khác là sử dụng tích phân với cận biến thiên (định lý cơ bản của vi tích phân)

M x y

Bài toán dẫn về phương trình vi phân

không khí là 200C và nhiệt độ ban đầu của vật là

1000C

Quy luật giảm nhiệt  sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian

Gọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t

 PTVP

Bài toán dẫn về phương trình vi phân

Tìm một đường cong y=f(x) đi qua điểm (3,2) Biết rằng đoạn chắn của tiếp tuyến (với đường cong tại 1 điểm bất kỳ) trên hai trục tọa độ luôn bị chia đôi bởi tiếp điểm.

x y

Tìm pt đường cong đi qua điểm (1, 1) nếu với đoạn

[1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn bởi

đường cong này bằng tích 2 lần tọa độ điểm M(x,y)

thuộc đường cong (x>0, y>0)

1

BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP

Khi kéo dãn lò xo khỏi vị trí cân bằng, lực phục hồi cho bởi định luật Hooke :

F = − kx

Theo định luật 2 của Newton: ma = = − F kx

2 2

MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

1 PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân.

2 Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của

ẩn hàm.

3 Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến  PTVP thường Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến  PTVP đạo hàm riêng.

4 Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn hàm.

NGHIỆM CỦA PTVP

Xét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’,…,y(n)) = 0 (1)

1 Hàm số y = (x,c1,…,cn) thỏa mãn (1) với ci là

các hằng số gọi là nghiệm tổng quát của (1).

Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta được nghiệm

riêng của (1).

2 Hàm (x,c1,…,cn, y) = 0 thỏa mãn (1) gọi là tích phân tổng quát của (1) (y được tìm ở dạng ẩn)

Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta đươc tích phân

riêng của (1).

NGHIỆM CỦA PTVP

3 Đồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong tích phân.

Bài toán Cauchy cho ptvp cấp 1

PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN

Phương trình có thể tách y và x về 2 vế khác nhau gọi là phương trình tách biến.

Phương pháp giải: tích phân 2 vế

2 y  0: chia 2 vế cho xy (không xét TH x = 0)

y = 0 là trường hợp C = 0 trong nghiệm tổng quát.

xy  = y

y

Ce y

Bài tập

An gửi 400 USD trong 1 tài khoản tiết kiệm trả lãi kép theo

tỷ lệ 3%/năm Cô cũng sắp xếp để gửi tự động 10USD vào tài khoản mỗi tuần

Giả sử tiền gửi hàng tuần gần bằng tiền gửi liên tục để

chúng ta có thể ước tính hợp lý số dư bằng cách sử dụng

ptvp Hãy ước tính số dư của An sau 4 năm bằng cách giải quyết bài toán giá trị ban đầu so với số dư theo thời gian t

Bài tập

Vận tốc nguội lạnh của 1 vật trong không khí tỷ lệ với hiệu giữa nhiệt độ vật thể và nhiệt độ không khí Hãy tìm quy luật nguội lạnh của vật nếu nhiệt độ không khí là 20 độ C

và sau 20 phút thì nhiệt độ vật giảm từ 100 độ C xuống 60

độ C Hỏi sau bao lâu nhiệt độ vật giảm tới 30 độ C

ln 220

Đặt:  = + u  4 y 

Ví dụ

u y x = −

3 1 ' 1

2

u u

Đặt ẩn hàm mới:

Pt trở thành:

3 3 1 /

Ví dụ

Tìm một đường cong đi qua điểm (1,0), biết rằng độ dài của đoạn thẳng trên trục tung bị cắt bởi tiếp tuyến bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp điểm

x

y

A B

M

PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤP

0 0

Ví dụ

(2 x − 4 y + + 6) y x '( + − = y 3) 0

2 4 6 '

2 4 '

1

Y X Y

Y X

3 2

ln( U 1) ln U 2 ln | X | c

3 2

( 2)

( 1)

X U

Ví dụ

y − + x y − + − = x y

3 '

1 '

1

Y X Y

Y X

1/2 2

1

ln 2 1 ln | | 2

Ví dụ (3 x + 2 ) y dx + (2 x − 9 ) y dy = 0

Tích phân tổng quát: U(x,y) = C, với

( 0) ( , )

Cấu trúc nghiệm tổng quát của (1):

• y0 là nghiệm tổng quát của (2)

• yr là 1 nghiệm riêng của (1)

0 r

y = y + y

Bước 1: tìm y0.

( ) 0

p x dx

y’ + p(x) y = 0

(dạng tách biến)

Công thức nghiệm ptvp tuyến tính cấp 1

Lưu ý: y’ =1/x’ (đạo hàm hàm ngược)

Bài tập thêm: Giải phương trình vi phân:

Ví dụ

Cường độ dòng điện trong mạch có cuộn cảm với từ

dung L (Henry), điện trở R (Ohm), hiệu điện thế V (volt) thỏa mãn phương trình

dI

dt + =

t t y

100 2

y y

1 2(100 2 )

5(100 2 )

5/2 3/2

1 2(100 2 )

5(100 2 )

1 2(100 2 )

400005

(100 2 )

t y

t

+

kt C y

Bài 1 : Trong 1 cộng đồng dân cư có n người, khi dịch cúm xuất hiện, tốc

độ lây lan bệnh( tốc độ biến động số người mắc bệnh theo số ngày) tỷ lệ thuận với số người nhiễm bệnh và số người chưa nhiễm bệnh Gỉa sử

cộng đồng có 2000 người và ban đầu có 1 người nhiễm bệnh Sau 20

ngày, số người nhiễm bệnh là 15, hãy xác định số người nhiễm bệnh sau

0 0

'( ) ( )

( ) (0)

Bài 2 : Bài toán dân số:

a/ Mô hình tăng trưởng tự nhiên: P’(t)=kP(t)

Một thành phố có 226 ngàn dân vào năm 1996 Tốc độ tăng dân số tự nhiên là 0.08%/ năm Tìm ptvp mô tả dân số của thành phố này Hãy cho biết sau bao lâu thì dân số đạt 228 ngàn dân?

( ) '( ) 1 P t

200 ln

Bài 3 : Số lượng muỗi trong 1 khu vực gia tăng theo mô hình tăng

trưởng Gompertz Theo mô hình này, nếu P(t) là số lượng muỗi ở thời điểm t (tuần) thì tốc độ thay đổi của P luôn tỉ lệ với hàm

Tại thời điểm ban đầu t=0 người ta quan sát thấy có khoảng 400 con muỗi trong khu vực Sau 3 tuần, số lượng muỗi xấp xỉ 1000 con Hãy ước tính số lượng muỗi trong khu vực sau 5 tuần.

ln(ln 5)

k P

Bài 4: Trong 1 phân xưởng có thể tích , không khí chứa

0.12% Quạt thông gió đưa không khí sạch với 0.04%

Với tốc độ phút, không khí trong phòng được trộn đều và được hút ra với cùng tốc độ Tìm số % còn lại trong phòng sau

10 phút quạt thông gió làm việc

4.324.32 54

: ' 10.000

10000

10000 10000

k C

0( / )

in

v = ml s

( ) 4000

y t

r =

( ) ( / ) 400

dt y

y t C t

6)(x + 6x y + y dx) + 4xy x( + y dy) = 0

 

 

 