Bài giảng cơ học kỹ thuật (phần tĩnh học) chương 2 nguyễn quang hoàng

Biểu diễn véc tơ lực, tổng hợp các lực cùng điểm đặt, phân tích lực thành nhiều thành phần, véc tơ chính của hệ lực.. Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SMETổng hợp hệ

Trang 1

Engineering Mechanics : STATICS

Hệ lực

Nguyễn Quang Hoàng

Bộ môn Cơ học ứng dụng

Chương 2 Hê lực – Force system

-2-Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME

Nội dung

1 Biểu diễn véc tơ lực, tổng hợp các lực cùng điểm

đặt, phân tích lực thành nhiều thành phần, véc tơ

chính của hệ lực.

2 Mô men của lực đối với một điểm / một trục, mô men

chính của hệ lực.

3 Ngẫu lực, ngẫu lực tương đương, thu gọn hệ ngẫu

lực, phân tích ngẫu lực.

4 Thu gọn hệ lực, các dạng chuẩn, thu gọn hệ lực

phân bố song song.

VÉC TƠ VỊ TRÍ VÀ VÉC TƠ LỰC

1 Vô hướng và véc tơ

2 Véc tơ vị trí

3 Nhắc lại một số phép tính véc tơ

4 Véc tơ lực

5 Tổng hợp và phân tích lực

6 Véc tơ chính của hệ lực

Trang 2

Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME

Đại lượng vô hướng và đại lượng véc tơ

Vô hướng: đại lượng đặc trưng bởi một số dương hoặc âm Ví dụ khối

lượng, thể tích, diện tích, nhiệt độ

, , , ,

r v a F    

( i j k    )

x y z

a a a



a

x y z

a   a i a j a k     

Véc tơ: đại lượng có cả độ lớn và hướng Ví dụ vị trí, lực, mô men, vận

tốc, gia tốc Véc tơ được biểu diễn bằng đoạn thẳng có hướng

, , , ,

m AV T

Khi tính toán: đưa vào hệ trục tọa độ với các

véc tơ đơn vị

( e e e   x y z)

hoặc

véc tơ đại số

véc tơ hình học

x

y z

k



ay

ax

az

a 

x y z

a  a  a  a Độ lớn hay độ dài của véc tơ.

Véc tơ trong không gian 3D

F=Fu

O

A

B

x y

z

u

, | | 1

F=Fu u=

Biểu diễn thông qua véc tơ đơn vị

u= a i+ b j+ g k=a a

x

e 

y

e 

z

e 

x

z







x

y z

Biểu diễn trong tọa độ Đề-các vuông góc

a=a i+a j+a k=au

1[ , , ]T [cos , cos , cos ]T

x y z

u

1

cos ( / ), cos ( / ),

cos ( / )

z







x y z

a  a  a  a

-6-Véc tơ trong không gian 2D

FF iF j

( )x ( )y

F F  F  F

Độ lớn

Hướng - Véc tơ chỉ phương, (đơn vị)

1[ , ]T [cos , cos ]T [cos , sin ]T

x y

F F F    

u

T

[ ,F F x y]



F

y

i

F y





F 

x

y

F

F

y

a

c

y

a = b =c

,

Trang 3

Biểu diễn véc tơ nối hai điểm

x

e

y

e

z

e

a 

d 

b 

O

| |

d

u

= =

-=

-= =





( , , )A A A A x A y A z

A x y z a=x e +y e +z e

( ,B B, B) B x B y B z

B x y z  =b x e +y e +z e

Các phép tính trên véc tơ hình học

Cộng (trừ) hai véc tơ

Tích vô hướng hai véc tơ

c=a+b

a

b

c

a

b c

| || | cos( , ) | || | cos

a b⋅ = a b a b  =a b a=b a⋅ a

b



( )

c=a-b=a+ -b

, right hand rule

0,

a

ïï ïï

ïï = ïïî



b 



c 

Tích có hướng

Một số phép tính véc tơ

(x x)x (y y)y (z z)z

a =b a b e+a b e +a b e

Trong hệ trục tọa độ (Oxyz), với các véc tơ đơn vị{ , , } e e ex y z

x x y y z z

a b⋅ = a b +a b +a b =b a⋅

x x y y z z x x y y z z

a  = a e  + a e  + a e  b  = b e  + b e  + b e 

æ - +÷ö

ç

= ´ = =ç - + =÷÷ + +

ç - ÷÷



 0

0 0

x y z z y z y x

y z x x z z x y

z x y y x y x z

c ab 

Trang 4

Tổng hợp hệ lực đồng qui và phân tích lực

F12

F2

F1

A

F3

R

Tổng hợp hệ lực đồng qui

• Hệ lực đồng qui: các lực cùng đi qua một điểm

• Tổng hợp hệ lực đồng qui ta thu được một lực đặt tại điểm đồng qui

Áp dụng tiên đề

hình bình hành lực Nối liên tiếp các véctơ lực thành phần

(đa giác lực)

F2

F1

A

F3 R

F2

F1

A

F3

F  + F  + F  = R 

Phân tích lực thành nhiều thành phần

F 

a

b

a

b

F  a

F  b

F 

F12

F2

F1

A

F3

R

• Ngược với tổng hợp lực, một lực có thể được phân tích thành tổng của

nhiều lực cùng đặt tại một điểm

R  = F  + F  + F 

a b

F  = F  + F 

-12-Véc tơ chính của hệ lực

Véc tơ chính của hệ lực là tổng hình học các véc tơ lực của

hệ lực.

1 2

1

n

k



Phương pháp vẽ (qui tắc hình bình hành & vẽ nối tiếp các véc tơ

lực)

Xác định véc tơ chính

F12

F2

F

A

F3

FR

F2

F1

A

F3

FR

đa giác lực: phẳng hoặc ghềnh

Trang 5

Véc tơ chính của hệ lực

Phương pháp hình chiếu, sử dụng hệ trục tọa độ đề các

x

e

y

e

z

e

2

F 

1



O

R

F 

1 2

1

( , , , ),

, ( 1,2, , )

n

k

k kx x ky y kz z





   

R R

Rx Ry Rz



, ( ), ( ), ( )

R Rx x Ry y Rz z

     

F   F u 

Ví dụ

Tổng hợp hai lực cho trong mặt phẳng như trên hình

2 2 2 2

2 2

1

12

5 12 5

5 12

200 sin 30 200 cos 30 0

( ) 200 sin 30 260

( ) 200 cos 30 260

( ) 0

R



 

     

      

  

  

R Rx x Ry y Rz z

F F e F e F e

F  F F F

y

x

F1, 200 N

F2, 260 N

5 12

30 o

y

x

F1, 200 N

F2, 260 N

5 12

30 o

F1x

F1y

F2y

F2x

MÔ MEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI

MỘT ĐIỂM – ĐỐI VỚI MỘT TRỤC

1 Biểu diễn mô men dạng véc tơ

2 Biểu diễn mô men dạng vô hướng / mô

men đại số

3 Mô men của lực đối với một trục

4 Mô men chính của hệ lực

Trang 6

Mô men của lực đối với một điểm – biểu diễn véc tơ, véc tơ mô

men

Véc tơ mô men của lực F đối với điểm O, ký hiệu MO

• Phương:  mặt phẳng chứa O và F

• Chiều: xác định theo qui tắc bàn tay phải

• Độ lớn: 2

sin

O OAB



d

O

MO

F

Trục mô men

A

r



( )

O

d

mO

(b)

(a)

B

A

r

O

mO

F

d

B

A

r

P

Mô men của lực đối với một điểm – biểu diễn véc tơ

Lưu ý: định lý trượt lực

F

z

x

y

rA

MO

A B

C

rB

rC

O

( )

O O A A A

O B B B

O C C C

r

A

O

F1

F2

1 2

n

-18-Mô men của lực đối với một điểm – biểu diễn véc tơ, véc tơ mô

men

O y z z y z x x z x y y x

M F    r F  r F i   r F  r F j   r F  r F k 

A x y z

r   r   r i   r j   r k 

x y z

F   F i   F j   F k 

( )

x y z



x

y

z

F

O

A

MO

k r

Tính véc tơ mô men MO trong hệ trục tọa độ đề các Oxyz

Trang 7

Ví dụ

z

x

y A

B

1 m

3 m

4 m

3 m

60 N

C

2 m

Tính mô men của lực 60N hướng từ C

đến B đối với điểm A

( )

A A B B

A C C

Sử dụng tích có hướng hai véc tơ

C C C C

B B B B



uF

| | ( ) ( ) ( )

f

CB

u

    

 

    

 

rC

rB

60 ( )f

F u N

Ví dụ (tiếp)

x

y A

F

C

rC

d

F   u    i   j   k 

40 20 40

M m F r F

 



 

40 20 40

M m F r F

 



 

160 120 100 Nm

M  i j k u 

160 ( 120) 100 224

/ m

A

dM F Khoảng cách từ A đến lực F

Mô men của lực đối với một điểm – biểu diễn véc tơ mô men

Mô men của lực F đặt tại A đối với gốc O và đối với B tùy ý.

( )

x y z



 

F

z

x

y

B

rB

O

u



Trang 8

Mô men của lực đối với điểm – biểu diễn vô hướng, mô men

đại số

Cho lực F và điểm O Mô men đại số của lực F đối với

điểm O, ký hiệu MOxác định như sau:

( )

M  m F     F d

F

A

O d

MO

M O =+ Fd

F

A O

d

MO

M O =- Fd

d

mO

(a)

F

O

d

mO

mA h

( )

O

m F     F d m FA( )     F h

đại số

Trong mỗi hình, xác định mô men đại số của lực đối với điểm O

Lời giải

Cần xác định chiều quay mô men và cánh tay đòn

Hình a, M O = -(100) (2) = -200 Nm

Hình b, M O = -(50) (0.75) = -37.5 Nm

Hình c, M O = (7) (4 – 1)= 21.0 kNm

O

4 m

2 m

7 kN

1 m

(c)

O

50 N 0.75 m (b)

2 m

100 N

(a)

O

2 m

-24-Mô men của lực đối với điểm – biểu diễn vô hướng, mô men

đại sốXác định mô men của lực 200 N đối với điểm A.

100 mm

100 mm 100 mm A

B

45o

F=200N

d

0.10 cos 45o 0.07071 m

PA1.

Xác định cánh tay đòn d.

(200 N)(0.07071 m)

14.1 N m

A

Trang 9

đại số

200 mm

A

B

45 o

F=200N

y

x

Fx

Fy

100 mm

(200 sin 45 N)(0.20 m) (200 cos 45 N)(0.10 m)

14.1Nm

A



PA2 Phân tích lực F thành 2 thành phần vuông góc

x y x

F   F   F  F   x F y  

A A x A y

m F   m F   m F 

x y

đại số

B B

B x y

O O x O y

A y A x

B B x B y

A B y A B x

O

A y

x

Fx

Fy

B

F

Mô men của lực F đặt tại A đối với điểm O và đối với điểm B.

Mô men của lực đối với một trục

Biểu diễn dạng đại số

( ) [ O( )],x

m F   hc m F      O

F



r

MO

A B

O

M

O





Biểu diễn dạng véc tơ

M   M u   u   r F u   

Trang 10

Mô men của lực đối với một trục

O

m

A

r

F

F1

d

B

A’

B’

Trục 

song song

giao cat

F











A



F

O

M

d F1



Mô men của lực đối với một trục – tính toán trong hệ trục tọa

độ

• Mô men của F đối với trục  qua O

• Biểu diễn véc tơ mô men của F đối với trục  qua O

( )

   



 

    

• Mô men của F đối với điểm O

O

x y z

x y z x y z x y z

x y z x y z





M   M u   u   r F u   

x

y

z

F

O A

MO



-30-Ví dụ

( ) & ( ), ( ), ( )

m F  m F m F m F  

Lực F nằm trên đường chéo của hình lập phương

cạnh a, hướng từ A đến B Xác định

0

  

 

Lời giải

x x y y z z

F F e F e F e

0

r x e y e z e ae ae  e

1 1



O

x

y z

A

B

F

{ , , }e e e  x y z

Trang 11

Mô men chính của hệ lực

1 2

( , , , )F F  Fn

( ) ( ) ( )

( )

  

      

,

k kx x ky y kz z

k k x k y k z

r x e y e z e

  

   

1

n

Ox O x k kz k ky

k

Oy O y k kx k kz

k

Oz O z k ky k kz

k





 

O

F2

F1

MO

r2

r1

Cho hệ lực

Véctơ mômen chính của hệ lực đối tâm O là tổng

hình học của các véctơ mô men của các lực

thành phần đối với tâm O đó:

Nếu đặt vào O hệ Oxyz { , , }e e e  x y z

O Ox x Oy y Oz z

M M e M e M e

Mô men chính của hệ lực

Đối với hệ lực nằm trong mặt Oxy:

O

MRO

F1 d1

z

F2

d2

d3

F3

x

y

,

k kx x ky y k k x k y

F F e F e r x e y e

1

0

Ox O x

Oy O y

n

Oz O z k ky k kz

k



  

 

O Oz z

M M e

( )

M  m F   F d

NGẪU LỰC, MÔ MEN NGẪU LỰC

1 Định nghĩa ngẫu lực

2 Mô men đại số và véc tơ mô men của

ngẫu lực

3 Sự tương đương của hai ngẫu lực

4 Tổng hợp và phân tích véc tơ mô men

ngẫu lực

Trang 12

Định nghĩa ngẫu lực

B

F

F’

A O

d a

Ngẫu lực là hệ gồm hai lực song song

ngược chiều cùng cường độ Khi ngẫu lực

tác dụng lên vật rắn sẽ làm cho vật chuyển

động quay hoặc có xu hướng quay

F

d

-F

B

r

O

rA

rB

Mô men của ngẫu lực là tổng mô men của hai lực thành phần đối với

một điểm tùy ý Khi tính toán mô men của ngẫu lực đối với một điểm,

người ta có thể sử dụng cách biểu diễn mô men đại số hoặc véc tơ mô

men

Mô men đại số và véc tơ mô men của ngẫu lực

Mô men đại số của ngẫu lực

Tổng mô men đại số của hai lực đối với

điểm O tùy ý thuộc mặt phẳng của ngẫu lực

O

M F ad FaFdC

B

F

F’

A O

d a

Véctơ mô men của ngẫu lực

C=M

-F

B

r

O

rA

rB

( ) ( )



Véc tơ mô men ngẫu lực không phụ thuộc điểm O

Véc tơ mô men ngẫu lực là véc tơ tự do

(Không phụ thuộc O)

-36-Sự tương đương của hai ngẫu lực

Định lý Hai ngẫu lực có cùng véc tơ mô men thì tương đương.

Các phép biến đổi tương đương

1 Thay đổi cường độ lực F và khoảng

cách d, giữ nguyên tích Fd = const.

2 Tịnh tiến và xoay ngẫu lực trong mặt phẳng ngẫu lực

3 Di chuyển tịnh tiến ngẫu lực đến các mặt phẳng song song

F’2

d1

F 1

F’ 1

F2

d2

Q’ Q P’

P

F’2

B

F’ 1

A

Q’

Q

F 1 F2

F’2

F 1

Q

Q’

F’ 1

F2

A

B C

A1

B1

D1

C1

C

( , ) ( , )F F   F F 

1 1

2 2

( , ) ( , ) ( , )

F F P P

F F



   



 



Trang 13

Tổng hợp và phân tích ngẫu lực

Tổng hợp hệ ngẫu lực

Định lý Thu gọn hệ ngẫu lực không gian ta được ngẫu lực tổng hợp có

véc tơ mô men bằng tổng hình học các véc tơ mô men của các ngẫu lực

thành phần

1 1 2 2

1

n n

n

k



C1

C2

CR

(c) (a)

Tổng hợp và phân tích ngẫu lực

• Phân tích ngẫu lực thành tổng các ngẫu lực

C

a

b

C

a

C

a b

x y z

x x y y z z

x

y z

ex ey

ez

Cy

Cx

Cz

a b

C   C   C 

THU GỌN HỆ LỰC

1 Thu gọn hệ lực

2 Các dạng chuẩn của hệ lực

3 Thu gọn một số hệ lực đặc biệt

Trang 14

Thu gọn hệ lực

1 ( , , ) ( , , ) ( , )1 2 2 1 2

F  F F Q    F F Q    F C 

A

F 1

Q

 



   

Thu gọn hệ lực không gian về một lực và ngẫu lực

1 2

( , , , ,F F  F C n j, ) ( R MO, O)

1

, ( ) ( ) ( ) ( )

n

k



     



       

1

( )

B

C   m F  

Thu gọn hệ lực (tiếp)

(c)

MO R‘O

O

 (b)

O

F1

F2

Cj

C1

C2

(a)

O

F1

F2

Cj

r1

r2

/

F   F  C  C   m F  

Chứng minh

( , , , , ) ( , , , , , , , , )







          

  

-42-Ảnh hưởng của tâm thu gọn

1 2

( , , ,F F  Fn) ( , R MO O)

1 2

( , , ,F F  Fn) ( , R MA A)

A

Fk/O O

Fk/A

Fk

mk/O

mk/A

rk

uk

rA

0





Định lý Varignon

1 2

( , , , ) ( ) ( )

n

R  F F  F  M m R  m F 

( )



       

Định lý biến thiên

mô men chính

R    R  

M   M   m R  

Trang 15

Các dạng chuẩn của hệ lực không gian

• Một cặp lực cân bằng khi [hệ lực cân bằng]

• Một ngẫu lực khi

• Hợp lực khi

• Một hệ xoắn khi (hay hai lực chéo nhau)

0, 0

    

  

0, 0

R  M 

0, 0

R  M 

0, 0

  

  

Dạng chuẩn của hệ lực là hệ đơn giản nhất mà thay thế được hệ

lực ban đầu nhưng không làm thay đổi tác dụng của hệ lực lên

một vật rắn

1 2

( , , , ,F F  F C n j ) ( , R MO O)

O

 O

F1

F2

Cj

r1

r2





O

R



O

M



A

R

A O

h



A

R





O

R



O

M

O

A h

0 & 0

R M R M O 0 or M O R O

( R M O , O)  R A , h  MO/ RO

Hoặc

0 & 0





O

R



O

M





M









A R





M





Q



Q



P

A





O R



O M





M





M





A R





M

O

h

A

( R M O , O) ( ,  R M M O , ) ( ,  R M A ) ( , , ) ( , )  R Q Q   A   P Q  

• Lưu ý:hệ lực phẳngkhông thể có dạng chuẩn này (không thể tương

đương hai lực chéo nhau)

Tiêu đề	Hệ lực
Tác giả	Nguyễn Quang Hoàng
Trường học	Department of Applied Mechanics-SME
Chuyên ngành	Engineering Mechanics
Thể loại	lecture

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	557,86 KB