Bài giảng cơ học kỹ thuật chương 4 1 phạm thành chung

Nội dung1 Các khái niệm cơ bản Liên kết và phân loại liên kết.. Nội dung1 Các khái niệm cơ bản Liên kết và phân loại liên kết.. Nội dung1 Các khái niệm cơ bản Liên kết và phân loại liên

CHƯƠNG 4 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ HỌC

♣ Các khái niệm cơ bản (số bậc tự do của cơ hệ, lực suy rộng, )

♣ Nguyên lý công ảo ♣ Nguyên lý d’Alembert

♣ Nguyên lý d’Alembert-Lagrange ♣ Phương trình Lagrange loại 2

Người trình bày: Phạm Thành Chung

Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Nơi lấy bài giảng và hỏi đáp trực tuyến

http://tiny.cc/CHKT2-ME3011-CnCDT-K57S

hoặchttp://groups.google.com/group/CHKT2-ME3011-CnCDT-K57S?hl=vi

Nội dung

1 Các khái niệm cơ bản

2 Nguyên lý công ảo

3 Nguyên lý d’Alembert

4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5 Phương trình Lagrange loại 2

Nội dung

1 Các khái niệm cơ bản

Liên kết và phân loại liên kết Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do

Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Công ảo Liên kết lý tưởng Lực suy rộng

2 Nguyên lý công ảo

3 Nguyên lý d’Alembert

4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

Nội dung

1 Các khái niệm cơ bản

Liên kết và phân loại liên kết Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do

Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Công ảo Liên kết lý tưởng Lực suy rộng

2 Nguyên lý công ảo

3 Nguyên lý d’Alembert

4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5 Phương trình Lagrange loại 2

Định nghĩa về liên kết

Liên kết là các điều kiện ràng buộc chuyển độngcủa các chất điểm và cácvật rắn thuộc hệ

Các điều kiện ràng buộc này:

thường được biểu diễn dưới dạng các phương trình hoặc các bấtphương trình

độc lập với các lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của

chuyển động

I Tiếp theo: Ba thí dụ về liên kết

Thí dụ 2 về liên kết

Bánh xe lăn không trượt

Thí dụ 3 về liên kết

x y

Cơ cấu 4 khâu bản lề

2 ϕ

1 ϕ

x y

Cơ cấu 4 khâu bản lề

=⇒ f1(ϕ1, ϕ2, ϕ3) = l1cos ϕ1+ l2cos ϕ2− l3cos ϕ3− l0 = 0

f2(ϕ1, ϕ2, ϕ3) = l1sin ϕ1+ l2sin ϕ2− l3sin ϕ3 = 0 (4)

B Dạng thường gặp của phương trình liên kết

Dạng thường gặp của phương trình liên kết

fk(q1, q2, , qm) = 0 , (k = 1, 2, , r ) (5)Khi các liên kết được biểu diễn dưới dạng1 phương trình (5) thì chúngđược gọi là liên kết hình học, giữ và dừng

Tổng quát:

B Phân loại liên kết

Phân loại liên kết

Liên kết giữ và liên kết không giữ

fs(qk, ˙qk, t) > 0 : liên kết không giữ

fs(qk, ˙qk, t) = 0 : liên kết giữLiên kết hôlônôm2 (liên kết hình học) và liên kết không hôlônôm

fs(qk, ˙qk, t) = 0 : liên kết không hôlônôm

fs(qk, t) = 0 : liên kết hôlônômLiên kết dừng và liên kết không dừng3

Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do

Cơ hệ tự do là cơ hệ màvị trí và vận tốc của các chất điểm và các vậtrắn thuộc hệ có thể nhận các giá trị tuỳ ý

Cơ hệ không tự do (cơ hệ chịu liên kết): (ngược lại )

Hệ hôlônôm: một cơ hệ không tự do mà chỉ chịu các liên kết hôlônôm

Hệ không hôlônôm: (ngược lại) nếu trong cơ hệ tồn tại ít nhất một liênkết không hôlônôm

Trong kỹ thuật ta thường hay gặp các cơ hệ chịu các liên kết hôlônôm(liên kết hình học), giữ và dừng

B 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Nội dung

1 Các khái niệm cơ bản

Liên kết và phân loại liên kết Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do

Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Công ảo Liên kết lý tưởng Lực suy rộng

2 Nguyên lý công ảo

3 Nguyên lý d’Alembert

4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5 Phương trình Lagrange loại 2

Di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo

Di chuyển khả dĩ4 của chất điểm là di chuyển vô cùng bé của chất điểm

từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kết Ký hiệu

Thí dụ

Xét một chất điểm P di chuyển trên sàn của một thang máy đang chuyểnđộng lên phía trên với vận tốc ~u Chất điểm chịu liên kết không dừng(phương trình sàn thang máy) Di chuyển ảo δ~r nằm trên sàn thang máy

Di chuyển thực của chất điểm P là α~u (với α > 0) Di chuyển khả dĩ củađiểm P là d~r = δ~r + α~u và d0~r = δ~r − α~u

O

r

δ r

d′rr u

Chú ý

Di chuyển khả dĩ là di chuyển vô cùng bé phù hợp với liên kết, khôngquan tâm đến lực tác dụng, còn di chuyển thực vô cùng bé vừa phùhợp với liên kết vừa bị chi phối bởi lực tác dụng

⇒ Di chuyển thực vô cùng bé là trường hợp riêng của di chuyển khảdĩ

Di chuyển ảo là di chuyển vô cùng bé tưởng tượng mà phù hợp vớiliên kết tại thời điểm khảo sát

⇒ Trong phương trình liên kết, thời gian t xem là cố định, δt = 0.Nếu liên kết dừng thì các di chuyển ảo sẽ trùng với các di chuyển khả

dĩ và khi đó di chuyển thực vô cùng bé là một trường hợp riêng của

di chuyển ảo

Nếu liên kết là không dừng thì di chuyển ảo là di chuyển hoàn toàn

Phương trình ràng buộc các thành phần di chuyển ảo

Một chất điểm P dịch chuyển trên một mặt Σ đang chuyển động Phươngtrình liên kết là phương trình của Σ di chuyển trong không gian ba chiềuOxyz

df = ∂f∂xdx +∂y∂fdy +∂f∂zdz + ∂f∂tdt = 0Trong đó các thành phần dx, dy, dz là tọa độ của di chuyển thực d~r Tại thời điểm t, xét tập các vị trí của điểm P’ rất gần với P và phù hợp vớiliên kết

Do toạ độ điểm P’ phải thoả mãn phương trình liên kết tại thời điểm t nên

(12) là phương trình ràng buộc của di chuyển ảo δ~r

Di chuyển ảo δ~r còn được gọi là biến phân của véctơ ~r

B Di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo của vật rắn

Di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo của vật rắn

Di chuyển khả dĩ của vật rắn là những di chuyển vô cùng bé của vật rắn

từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kết Ký hiệu

d0~rC, d0ϕ, ~

Di chuyển ảo của vật rắn là những di chuyển vô cùng bé tưởng tượng

của vật rắn từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liênkếttại thời điểm đang xét Ký hiệu δ~rC, δ ~ϕ,

ϕ

C

x

δ δϕ

C x

δ δϕ

C y

C y

δ

Chú ý: (i) Đối với hệ chịu các liên kết hôlônôm, số tối đa các toạ độ suy

Nội dung

1 Các khái niệm cơ bản

Liên kết và phân loại liên kết Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do

Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Công ảo Liên kết lý tưởng Lực suy rộng

2 Nguyên lý công ảo

3 Nguyên lý d’Alembert

4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5 Phương trình Lagrange loại 2

Công ảo Liên kết lý tưởng Lực suy rộng

Công ảo là công của các lực tác dụng lên cơ hệ sinh ra trong một dichuyển ảo của cơ hệ

δA =XδA( ~Fk) =X ~Fk.δ~rk (13)Liên kết lý tưởng là các liên kết giữ, mà công ảo của tất cả các phản lựcliên kết trong di chuyển ảo bất kỳ của cơ hệ đều bằng không

Ba phương pháp tính lực suy rộng

Phương pháp

Phương pháp 1: Tính theo công thức định nghĩa

Phương pháp 2: Cho cơ hệ thực hiện các di chuyển ảo đặc biệt

δqi 6= 0, δqj = 0 (j 6= i ) và tính δA = [ .] δqi ⇒ Qi = [ .]Phương pháp 3: Tính lực suy rộng của các lực có thế Qi = −∂q∂Π

i

B Thí dụ áp dụng

Một thí dụ tính lực suy rộng

Bài toán: Một con lắc toán học khối lượng m2, dài l được nối vào contrượt A khối lượng m1 Con trượt được nối vào tường bằng lò xo với hệ sốcứng là c Cho biết con trượt A có thể trượt không ma sát trên nền nhẵn.Hãy tìm các lực suy rộng của cơ hệ

A

B l

m1

m F(t) c

Một thí dụ tính lực suy rộng

A

B l

m1

m2

F(t) c

Ba phương pháp tính lực suy rộng

Phương pháp7

Phương pháp 1: Tính theo công thức định nghĩa

Phương pháp 2: Cho cơ hệ thực hiện các di chuyển ảo đặc biệt

δqi 6= 0, δqj = 0 (j 6= i ) và tính δA = [ .] δqi ⇒ Qi = [ .]Phương pháp 3: Tính lực suy rộng của các lực có thế Qi = −∂q∂Π

i

- Cho hệ thực hiện một di chuyển ảo δxA = 0, δϕ 6= 0 ta có

δA = −m2gl sin ϕδϕ ⇒ Qϕ= −m2gl sin ϕ

δq i 6= 0, δq j = 0 (j 6= i ) và tính δA = [ .] δq i ⇒ Q i = [ .]”

Lời giải: (thêm)

Đề xuất phương pháp kết hợp 2 & 3:

Tính lực suy rộng của các lực có thế QiΠ= −∂q∂Π

iTính công ảo của các lực không thế

δA∗= [ .] δqi ⇒ Qi∗ = [ .]

Cuối cùng

Q = Q∗− ∂Π

Các bài toán liên quan tính lực suy rộng

Các bài toán về thiết lập phương trình vi phân chuyển động sử dụngphương trình Lagrange loại 2

Chương 16 Bài tập Cơ học kỹ thuật.9

Thí dụ: Bài 16-7, 9,

B §2 Nguyên lý công ảo

Phương: Bài tập Cơ học kỹ thuật NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.