Bài giảng cơ học kỹ thuật chương 2 4 phạm thành chung

Nội dung4 Định lý biến thiên mômen động lượng Các định nghĩa Định lý biến thiên mômen động lượng Định lý bảo toàn mômen động lượng Thí dụ áp dụng... Nội dung4 Định lý biến thiên mômen độ

Nội dung

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

Các định nghĩa

Định lý biến thiên mômen động lượng

Định lý bảo toàn mômen động lượng

Thí dụ áp dụng

Nội dung

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

Các định nghĩa

Định lý biến thiên mômen động lượng

Định lý bảo toàn mômen động lượng

Thí dụ áp dụng

a) Mômen động lượng của chất điểm

Định nghĩa 1 Mômen động lượng của chất điểm đối với điểm qui chiếu A ,

ký hiệu là~LA, là mômen của véctơ động lượng của chất điểm đối với điểm

A đó

~

LA = ~mA(m~v ) = ~r × m~v (40)

x A



y P

x e

z e

y e

mv

r

Chú ý đến công thức tính tích hữu hướng của hai véctơ ta có

~

LA =

~

ex ~ey ~ez

m ˙x m ˙y m ˙z

= m (y ˙z − z ˙y ) ~ex+ m (z ˙x − x ˙z) ~ey + m (x ˙y − y ˙x ) ~ez

(41)

Định nghĩa 2 Mômen động lượng của chất điểm đối với trục z là hình chiếu trên trục z của mômen động lượng của chất điểm đối với một điểm

A bất kỳ trên trục z

Lz = hczm~A(m~v ) = m(x ˙y − y ˙x ) (42) Tương tự

Lx = hcxmA~ (m~v ) = m(y ˙z − z ˙y ) (43)

Ly = hcymA(m~~ v ) = m(z ˙x − x ˙z) (44)

b) Mômen động lượng của vật rắn

Định nghĩa 3 Mômen động lượng của vật rắn đối với điểm qui chiếu A (hình 2.25) là một đại lượng véctơ được định nghĩa bởi công thức

~

LA = Z

B

vdm

r

z

B y A

x

Mômen động lượng của vật rắn đối với một điểm phụ thuộc vào dạng chuyển động của vật rắn

Vật rắn chuyển động tịnh tiến

~

Vật rắn quay quanh một trục cố định

Vật rắn chuyển động phẳng

~

Chiếu véctơ (48) lên trục Cz vuông góc với mặt phẳng Oxy ta được

c) Mômen động lượng của cơ hệ

Định nghĩa 4 Mômen động lượng của cơ hệ (gồm n chất điểm và p vật rắn) đối với điểm qui chiếu A là một đại lượng véctơ bằng tổng các

mômen động lượng của các chất điểm và các vật rắn thuộc cơ hệ lấy đối với điểm A đó

~

LA =

n X

i =1

~

ri × mi~i +

p X

k=1 Z

B k

(~r × ~v )dm (50)

Định nghĩa 5 Mômen động lượng của cơ hệ đối với trục z là hình chiếu trên trục z của mômen động lượng của cơ hệ lấy đối với một điểm A bất

kỳ trên trục đó

với A ∈ z

Nội dung

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

Các định nghĩa

Định lý biến thiên mômen động lượng

Định lý bảo toàn mômen động lượng

Thí dụ áp dụng

a) Định lý biến thiên MMĐL của cơ hệ đối với một điểm O

cố định

Định lý 1 Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của cơ hệ đối với điểm O cố định bằng tổng mômen của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ lấy đối với điểm O đó

d~LO

dt =

X

~

mO ~Fe k



Hệ quả

dLz

dt =

X

mz ~Fe k



(53)

b) Định lý biến thiên MMĐL của cơ hệ đối với một điểm A chuyển động

Định lý 2 Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của cơ hệ đối với điểm A chuyển động được xác định bởi

d~LA

dt =

X

~

mA ~Fe k



Trong đó ~p là động lượng của cơ hệ, ~vAlà vận tốc của điểm A trong hệ qui chiếu cố định

Hệ quả: Khi chọn điểm A là khối tâm C của cơ hệ, từ công thức (54) ta có

d~LC

dt =

X

~

mC ~Fe k



− ~vC × m~vC =Xm~C( ~Fke)

Từ đó ta có định lý biến thiên mômen động lượng của cơ hệ đối với khối tâm của nó

d~LC

=Xm~  ~Fe= ~M (55)

Nội dung

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

Các định nghĩa

Định lý biến thiên mômen động lượng

Định lý bảo toàn mômen động lượng

Thí dụ áp dụng

Định lý bảo toàn mômen động lượng

Từ các định lý biến thiên MMĐL ở trên ta suy ra

Nếu P ~mO ~Fe

k



= 0 ⇒ d ~LO

dt = 0 ⇒ ~LO = const Nếu P mz ~Fe

k



= 0 ⇒ dLz

dt = 0 ⇒ Lz = const

Nội dung

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

Các định nghĩa

Định lý biến thiên mômen động lượng

Định lý bảo toàn mômen động lượng

Thí dụ áp dụng

Dao động của con lắc vật lý

Con lắc vật lý (hình vẽ) là một vật rắn phẳng có thể quay quanh một trục

đi qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa vật Cho biết khối lượng con lắc là m, mômen quán tính đối với trục quay là JO, khoảng cách từ O đến khối tâm C là a Tìm phương trình vi phân chuyển động và tính chu kỳ dao động của con lắc

a O

mg

Lời giải Áp dụng định lý biến thiên MMĐL

JOϕ = −mga sin ϕ¨ ⇒ ϕ +¨ mga

J0 sin ϕ = 0 (56) Nếu đặt ω20 = mgaJ

0 và khảo sát dao động nhỏ sinϕ ≈ϕ, từ (56) suy ra

¨

ϕ + ω02ϕ = 0 Trong đó ω0 là tần số riêng, T = 2πω

0 là chu kỳ dao động của con lắc vật lý

T = 2π

s

J0 mga

a O

mg

Bài 12-25 (Bài tập CHKT)