Bài giảng cơ học kỹ thuật chương 2 5 phạm thành chung

Nội dung1 Mở đầu về các hệ cơ học 2 Định lý biến thiên động lượng 3 Mômen quán tính khối của vật rắn 4 Định lý biến thiên mômen động lượng 5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn

Nội dung

1 Mở đầu về các hệ cơ học

2 Định lý biến thiên động lượng

3 Mômen quán tính khối của vật rắn

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng

Thiết lập PTVPCĐ của vật rắn phẳng

Thí dụ áp dụng

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2 Các phương pháp động lượng 2014 52 / 64

Nội dung

1 Mở đầu về các hệ cơ học

2 Định lý biến thiên động lượng

3 Mômen quán tính khối của vật rắn

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng

Thiết lập PTVPCĐ của vật rắn phẳng

Thí dụ áp dụng

Thiết lập phương trình

Xét hình phẳng S như hình vẽ

C

y 

y C

ϕ

2

F

n F

1

F

O

S

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2 Các phương pháp động lượng 2014 53 / 64

y 

y C

ϕ  2

F

n F

1

F

O

S

Áp dụng định lý chuyển động khối tâm

m~aC =X ~Fke ⇒

( m¨xC =P Fe

kx

m ¨yC =P Fe

ky

(57)

Áp dụng định lý biến thiên mômen động lượng

d~LC

dt =

X

~

mC ~Fe k



(58)

dLCz

dt =

X

mCz ~Fe

k



⇒ JCzϕ =¨ XmCz ~Fe

k



(59)

(Do LCz = JCzω = JCzϕ) Kết hợp các phương trình (57) và (59):˙

m¨xC =P Fe

kx

m ¨yC =P Fe

ky

JCzϕ =¨ P mCz ~Fe

k

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2 Các phương pháp động lượng 2014 55 / 64

Nội dung

1 Mở đầu về các hệ cơ học

2 Định lý biến thiên động lượng

3 Mômen quán tính khối của vật rắn

4 Định lý biến thiên mômen động lượng

5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng

Thiết lập PTVPCĐ của vật rắn phẳng

Thí dụ áp dụng

Thí dụ 1

Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m bán kính r chuyển động trên mặt phẳng nghiêng nhám với góc nghiêng α (hình vẽ) Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh là µ0 Bỏ qua ma sát lăn

- Tìm gia tốc của tâm đĩa khi nó lăn không trượt

- Tìm liên hệ giữa α và µ0 để đĩa lăn không trượt

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2 Các phương pháp động lượng 2014 56 / 64

Thí dụ 1 - Lời giải

Xét đĩa tròn lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng

 

ϕ

ŵŐ

LJ

 dž

E

& ŵƐ 

α 

α 

 

PTVPCĐ của đĩa:

m¨xC = mg sin α − Fmst (61)

m ¨yC = N − mg cos α = 0 (62)

JCϕ = rF¨ mst (63) Trong đó JC = 12mr2, Ft

ms là ma sát trượt tĩnh

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2 Các phương pháp động lượng 2014 58 / 64

Do đĩa lăn không trượt, ta có điều kiện ràng buộc

˙

xC = r ˙ϕ ⇒ ϕ =¨ ¨C

Từ (61), (63) và (64) ta suy ra

m¨xC = mg sin α −JC

r2 ¨C ⇒ ¨C = g sin α

1 + JC

mr 2

= 2

3g sin α

Từ (61) ta tính được

Fmst = m (g sin α − ¨xC) = 1

3mg sin α (65)

Từ đó ta suy ra để cho đĩa lăn không trượt thì hệ số ma sát trượt tĩnh µ0 phải thoả mãn điều kiện sau

Fmst 6 µ0N ⇒ µ0 > F

t ms

N =

1

3mg sin α

mg cos α =

1

3tg α (66)

Thí dụ 2

Một thanh đồng chất AB khối lượng m, dài 2a đặt trong mặt phẳng thẳng đứng Đầu A và B lần lượt tựa vào các mặt nhẵn thẳng đứng và nằm ngang Giữ cho thanh đứng yên tạo với mặt phẳng ngang một góc ϕ0 rồi thả cho thanh chuyển động dưới tác dụng của trọng lực Xác định:

- phản lực do tường và nền tác dụng vào thanh theo góc ϕ và các đạo hàm của nó

- vận tốc góc, gia tốc góc của thanh dưới dạng hàm của góc ϕ

- góc ϕ khi đầu A của thanh rời khỏi tường

y

x mg

C

ϕ

O A

B

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2 Các phương pháp động lượng 2014 60 / 64

Thí dụ 2 - Lời giải

y

x mg

C

E  

E  

ϕ

O A

B

PTVPCĐ của thanh AB

m ¨yC = NB − mg (68)

JCϕ = N¨ Aa sin ϕ − NBa cos ϕ (69)

Các phương trình liên kết:

xC = a cos ϕ, yC = a sin ϕ (70) Đạo hàm biểu thức (70) theo thời gian ta được

˙

xC = −a ˙ϕ sin ϕ, ¨C = −a ¨ϕ sin ϕ − a ˙ϕ2cos ϕ

˙

yC = a ˙ϕ cos ϕ, ¨C = a ¨ϕ cos ϕ − a ˙ϕ2sin ϕ Thế các biểu thức trên vào các phương trình (67) và (69) ta có

NA= −ma ¨ϕ sin ϕ + ˙ϕ2cos ϕ

(71)

NB = mg + ma ¨ϕ cos ϕ − ˙ϕ2sin ϕ

(72) Thế (71) và (72) vào (69) và chú ý rằng JC = 13ma2, ta được

¨

ϕ = − mga

JC + ma2 cos ϕ = −3

4

g

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2 Các phương pháp động lượng 2014 62 / 64

ϕ = − mga

JC + ma2 cos ϕ = −3

4

g

acos ϕ Nhân hai vế của (73) với d ϕ và tích phân hai vế phương trình kết quả ta được

¨

ϕd ϕ = d ˙ϕ

dt d ϕ =

1

2d ϕ˙

2
= −3

4

g

acos ϕd ϕ (74)

˙ ϕ

Z

0

d ϕ˙2
= −3

2

g a

ϕ

Z

ϕ 0

cos ϕd ϕ

˙

ϕ2 = −3g

2a(sin ϕ − sin ϕ0) =

3g 2a(sin ϕ0− sin ϕ) (75)

Khi đầu A của thanh rời khỏi tường thì NA = 0,

ma



−3

4

g

a cos ϕ1sin ϕ1−

3g 2a (sin ϕ1− sin ϕ0) cos ϕ1



= 0

Do cos ϕ16= 0, ta suy ra giá trị góc ϕ1 khi đầu A rời khỏi tường là

3 sin ϕ1− 2 sin ϕ0 = 0 ⇒ ϕ1 = arcsin(2

3sin ϕ0)

Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương 2 Các phương pháp động lượng 2014 64 / 64