(Luận văn thạc sĩ) biểu diễn số nguyên tố bởi các dạng toàn phương bậc hai nguyên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ” ” ” NGUYỄN HUỲNH NGỌC XUÂN BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN TỐ BỞI CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG BẬC HAI NGUYÊN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

” ” ”

NGUYỄN HUỲNH NGỌC XUÂN

BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN TỐ BỞI CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG BẬC HAI

NGUYÊN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 604605

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Mỵ Vinh Quang

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2006

h

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa 1

Mục lục 2

Mở đầu 3

Chương 1: Kiến thức cơ bản 4

1.1 Ký hiệu Legrendre 4

1.2 Ký hiệu Jacobi 10

1.3 vành các số nguyên đại số 11

Chương 2: Tình Euclide của vành các số nguyên đại số bậc hai 14

2.1 Miền Euclide 14

2.2 Ví dụ về miền Euclide 15

2.3 Ví dụ về miền không Euclide 27

Chương 3: Biểu diễn số nguyên tố dưới dạng toàn phương bậc hai nguyên 33

3.1 Bổ đề 33

3.2 Bổ đề 34

3.3 Định lý 36

3.4 Định lý 37

3.5 Định lý 39

3.6 Một số hàm số học 41

Tài liệu tham khảo 47

h

MỞ ĐẦU

Một số nguyên n được gọi là biểu diễn được dưới dạng toàn phương bậc hai

Bài toán biểu diễn các số nguyên tố dưới dạng toàn phương bậc hai nguyên là một trong những bài toán quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý thuyết số Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu tính Euclide của các vành số nguyêncủa trường mở rộng bậc 2, của trường các số hữu tỉ Q và sau đó ứng dụng nó để nghiên cứu một số cách biểu diễn của số nguyên tố p bởi các dạng toàn phương bậc hai nguyên

Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ bản

Nêu định nghĩa và tính chất của ký hiệu Legendre và Jacobi

Chương 2: Tính Euclide của vành các số nguyên đại số bậc hai

Chúng tôi nghiên cứu khi nào vành số nguyên đại số bậc hai là miền Euclide và không là miền Euclide

Chương 3: Biểu diễn số nguyên tố dưới dạng toàn phương bậc hai nguyên

Áp dụng chương 1 và chương 2 để xét xem khi nào số nguyên tố p biểu diễn được dưới dạng toàn phương bậc hai nguyên và cho trước một số n ta có thể tính được bao nhiêu ước d của n có thể biểu diễn được và tổng các ước đó

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến các thầy, cô khoa toán trường ĐH Sư phạm TP.HCM và các thầy cô đã tham gia giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập Đặc biệt là PGS.TS Mỵ Vinh Quang đã nhiệt tình và dành nhiều thời gian để hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong việc chọn đề tài và thực hiện luận văn

h

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Ký hiệu Legendre

1.1.1 Định nghĩa

Đối với một phương trình đồng dư bậc 2 thì chúng ta hoàn toàn biết được phương trình đó có nghiệm hay không và khi có thì có bao nhiêu nghiệm Ta cũng có rằng

Nếu phương trình (1) có nghiệm thì ta nó a là thặng dư bậc hai theo modun p còn nếu phương trình (1) vô nghiệm thì ta nói a là bất thặng dư bậc hai theo modun p

2

Ví dụ: Tìm thặng dư bậc hai theo modun 5

⇒ 1, 4 là thặng dư và 2, 3 là bất thặng dư bậc 2 theo modun 5

Tìm thặng dư và bất thặng dư bậc 2 theo modun 7

1 ,2 ,3

⇒ Thặng dư bậc 2 theo modun 7 là 1, 4, 2 và 3, 5, 6 là bất thặng dư 2 theo modun 7

1.1.2 Tính chất của ký hiệu Legendre

* Nếu a là thặng dư bậc 2 theo modun p thì ta có a

⎝ ⎠ = 1 với mọi p nguyên tố lẻ

tuyệt đối nhỏ nhất theo modp là âm

– Ta hãy xét dãy:

Đó là một hệ thặng dư thu gọn theo modp, các thặng dư giá trị tuyệt đối nhỏ nhất theo mod p tương ứng là ε1r1, -ε1r1, ε2r2, -ε2r2… εp1rp1, -εp1rp1

chỉ là 1 hoặc -1 và p là số nguyên tố lẻ nên 1 và -1 là hai lớp khác nhau theo modun p

h

r

ε <∑ (A, B > 0)

1 1 i

9 Nếu p, q là hai số nguyên tố lẻ phân biệt thì ta có

l 1

lp q

Trong đó các số kq - lp đó hiển nhiên không có số nào bằng 0

2

− ⇒ s1 =

p 1 2

k 1

kq p

2

q 1 2

l 1

lp q

k 1

kq p

l 1

lp q

⇔ p 1 q 1.

p 1 2

k 1

kq p

l 1

lp q

được xác định bởi đẳng thức:

1.3 Vành của các số nguyên đại số

1.3.1 Định nghĩa số nguyên đại số

Một số là một số nguyên đại số nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn trên Q một phương trình đa thức đơn hệ với hệ số nguyên

1.3.2 Định lý

Nếu d ≠ 1 là một số nguyên không có nhân tử bình phương thì trong trường hợp d

Chứng minh:

c

không có nhân tử chung nào cả

Ta giả sử b ≠ 0 để loại trừ trường hợp tầm thường của một số hữu tỉ Khi đó phương trình bậc hai đơn hệ bất khả quy cho u là:

pi|c,c|2a => pi|2a => pi ⏐a (vì pi ≠2)

h

Vậy a, b, c có nhân tử chung là 2 (vô lý)

Vậy α chỉ có thể là 0 hoặc 1 hay c = 1 ∨ c = 2

Trường hợp d ≡ 2 hoặc d ≡ 3 (mod 4)

Trường hợp này a, b, c có nhân tử chung là 2 (vô lý với cách chọn a, b, c)

Vậy c không thể bằng 2 nên c chỉ có thể bằng 1

nó thỏa phương trình có hệ số nguyên:

Trường hợp d ≡ 1 (mod 4)

2+

Nếu a ≡ 0 (mod 2) ⇒ a2 ≡ 0 (mod 4) ⇒ b2 ≡ 0 (mod 4) ⇒ b ≡ 0 (mod 2)

⇒ a, b, c có nhân tử chung là 2 (vô lý)

CHƯƠNG 2:

TÍNH EUCLIDE CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC HAI

2.1 Miền Euclide

2.1.1 Định nghĩa hàm Euclide

Cho D là một miền nguyên

Ánh xạ φ: D → Z được gọi là hàm Euclide trên D nếu nó thỏa 2 tính chất sau:

i φ (ab) ≥ φ (a), ∀ a, b ∈ D, b ≠ 0

ii Nếu a, b ∈ D, b ≠ 0 thì tồn tại q, r ∈ D sao cho: a = qb + r và φ (r)<φ (b)

Ví dụ:

1 φ (a) = |a|, a ∈ Z là một hàm Euclide trên Z

2 Cho D = F[x], F là trường

D là miền đa thức ẩn x, hệ số trong F lấy p(x) ∈ D t hì:

φ (p(x)) = deg p(x), p(x) ≠ 0

là một hàm Euclide trên D

Trong trường hợp tổng quát, phần tử q, r trong ii) xác định không duy nhất

2.1.2 Tính chất của hàm Euclide

Cho D là một miền nguyên có hàm Euclide φ , a, b ∈ D thì:

i a ~ b ⇒ φ (a) = φ (b)

ii a|b và φ (a) = φ (b) ⇒ a ~ b

iii a ∈ U(D) ⇔ φ (a) = φ (1)

iv φ (a) > φ (0), nếu a ≠ 0

Chứng minh:

i a ~ b ⇒ ∃ u ∈ U(D): a = bu ⇒φ a) = φ (bu) > φ (b) (u ≠ 0) (1)

Từ (1) và (2) => φ (a) = φ (b)

ii φ là hàm Euclide ⎯⎯ii→ ∃ q, r: a = bq + r, φ (r) < φ (b) =φ(a)

Mặt khác a|b nên a|r

Nếu r ≠ 0 thì φ (a) ≤ φ (r) (vô lý) vậy r = 0

⇒ a = bq mà b = ac = bqc ⇒ b(1 – qc) = 0 ⇒ qc =1

h

⇒ c ∈ U(D) hay a ~ b {U(D) = các phần tử khả nghịch trong D}

iii Chứng minh: a ∈ U(D) ⇔ φ (a) = φ (1)

(⇐) 1/a, φ (a) = φ(1) ⇒ a ~ 1 ⇒ a ∈ U(D)

iv Ta có q, r ∈ D: 0 = aq + r, φ (r) < φ (a)

Nếu r ≠ 0 thì q ≠ 0, r = -aq ⇒ φ (r) = φ (-aq) ≥ φ (a) (vô lý)

Vậy r = 0 ⇒ φ (a) > φ (0)

2.1.3 Định nghĩa miền Euclide

Cho D là một miền nguyên Nếu D có hàm Euclide φ(a) thì D được gọi là miền Euclide với hàm φ

Nhận xét: Miền Euclide là miền Iđêan chính

Vì I ≠ {0} nên s ≠ φ và ta có φ (a) > φ (0), ∀ a ≠ 0

⇒ s bị chặn dưới ⇒ tồn tại phần tử nhỏ nhất

Vậy I là Iđêan chính

2.2 Ví dụ về miền Euclide

2.2.1 Định lý

a Z là miền Euclide

b Cho F là một trường, F[x] là một miền Euclide

2.2.2 Hàm φ m

Cho m là số nguyên không chính phương

h

Cho m là số nguyên không chính phương

b ∈ Z sao cho:

φm( (x y m + ) (− + a b m) ) < 1

Chứng minh:

(⇒)

c d m

h

(⇐) Ngược lại nếu mọi x,y∈Q thì tồn tại a,b∈Z: φm (x + y m - (a + b m ))<1 ta chứng

−+

Thật vậy, ta có:

Cho m là số nguyên âm, không có nhân tử chính phương Khi đó vành các số

m =-1, -2, -3, -7, -11

Chứng minh:

Trường hợp m = -1, -2

Khi đó:

Với mọi số nguyên a ta luôn có: 1 a

Như vậy, đối với số nguyên âm m thì ta đã giải quyết được trọn vẹn bài toán khi

dương thì như thế nào? Vấn đề này đã được các nhà toán học như E.H Barnes 1953), H Behrbohm, E Berg, A.T Brauer (1894-1985), H Chatland, H Davenport (1907-1969), L.E Dichson (1874-1954), P Erdos (1913-1996), H.A Heibronn (1908-1975), N Hofreiter, L.K Hua, K Inkner, J.F Keston, C Ko, S.H Min, A Oppenheim,

(1874-O Perron (1880-1975), L Redei, R Remak (1888-1942), L Schuster, W.T Sheh và H.P.F Swinnerton Dye, cuối cùng vào năm 1950, Chatland và Davenport đã đưa ra kết quả sau:

2.2.7 Định lý

Cho m là số nguyên dương, không có ước chính phương thì vành các số nguyên

6s ⇔ 2

1

6s ≤ 5

4⇔ 2 1

s ≤ 5

24⇒ 2

1

5s24

2.3 VÍ DỤ VỀ VÀNH O m VỚI m > 0 KHÔNG LÀ MIỀN EUCLIDE

2.3.1 Định lý

Cho m là số nguyên dương, không chính phương

Nếu có 2 số nguyên tố lẻ p, q khác nhau sao cho:

Áp dụng định lý 2.3.1:

Cho m là số nguyên dương, không chính phương, m ≡ 1 (mod 4)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = -1 Và số nguyên lẻ r sao cho:

(vì m,r là số nguyên lẻ) vì φm là

2.3.5 Định lý

Cho m là số nguyên dương không chính phương

hay X2 – mY2 ≡ 5 (mod 8)

Mà X = t - my là số nguyên lẻ:

CHƯƠNG 3:

BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN TỐ DƯỚI DẠNG TOÀN PHƯƠNG BẬC HAI NGUYÊN

Ví dụ:

31 được biểu diễn dưới dạng toàn phương dạng:

Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu xem khi nào thì số nguyên tố p biểu diễn được dưới dạng toàn phương bậc 2 nguyên

3.1 Bổ đề

h

p = uw + vtm + (ut + vw) m

Vì m là số nguyên không chính phương nên

nên p = uw + vtm (vì m là số nguyên không chính phương)

2+

4v' uU vT vU

3.3 Định lý

Cho p là số nguyên tố

(mod 4)

1 (mod 4)

Chứng minh:

h

⇒ p = x2 + y2 ≡ 1 (mod 4) vô lý

p ≡ 3 (mod 4) ⇒ p là số nguyên tố lẻ

Do đó x, y xảy ra các trường hợp sau:

x ≡ 1 (mod 2)

y ≡ 0 (mod 2)

x ≡ 0 (mod 2)

y ≡ 1 (mod 2)

3 (mod 4)

Trường hợp p ≡ 1 (mod 4)

Theo bổ đề 3.1 thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho:

h

3.4 Định lý

p là số nguyên tố:

(mod 8)

1, 3 (mod 8)

Chứng minh:

(mod 8)

p ≡ 5,7 (mod 8) thật vậy

3.5 Định lý

p là số nguyên tố

Mà theo giả thiết p ≡ 2 (mod 3)

nghiệm)

Vậy 3 × và 3 × y hay (x, 3) = 1 và (y, 3) = 1

⇒ 3 | xy ⇒ 3 | x hoặc 3 | y (vô lý)

p ≡ 2 (mod 3) thật vậy

h

3.6 Một số hàm số học:

3.6.1: Bổ đề:

Chứng minh bổ đề:

m

φ (p)= φm(α1.α2) = φm(α1).φm(α2)

⇔ p2 =φm(α1).φm(α2) (*)

Ta có: p =φm(α)=φm(β.γ )=φm(β) φm(γ )

Ta có thể giả sử '

3.6.2.2 Định lý: Hàm τ m ( n),σm (n) có tính chất nhân

Chứng minh định lý:

Đầu tiên để chứng minh định lý này ta có nhận xét như sau:

sao cho d1.d2 = φ m (α)

Thật vậy:

d1 = φ m (α 1) , d2 = φ m (α 2) ⇒ d1d2 = φ m (α1) φ m (α 2) = φ m(α1α2) = φ m (α )

Ta chứng minh d phân tích được duy nhất dưới dạng :

d = d1.d2 trong đó d1m,d2 n , (d1, d2) = 1 và có α 1, α2 sao cho φ m (α1) = d1,

φ m (α2) = d2

* Chứng minh:

Giả sử α = α1,α2, αk, αi bất khả qui trong Om

d = φm (α ) = φ m (α1,α2, αk) = φ m (α 1) ………φ m (α k) ⇒ φ m (α i) d

h

1 = d vì d m =

d

m d

2 1

2 = d vì d n =

d

n d

Chứng minh định lý

σm (m.n) = σm(m) σm(n) Thật vậy:

=

=

= ) ( )(

, ,

2 2 1 1

2 1 2 1

1

α

φ αφ

m m

d d

n d m d m d d d

= ( 1)

1 1

1

α

φm

d m d

= ( 2)

2 2

1

α

φm

d n d

d = ∑

=

=

= ) ( )(

, ,

2 2 1 1

2 1 2 1 α

φ αφ

m m

d d

n d m d m d d d

d = ∑

= ( 1 )

1 1 α

φm

d m d

= ( 2 )

2 2 α

φm

d n d

3.6.2.3 Công thức tính

Cho số nguyên tố p

* Nếu có α thuộc O m sao cho φm (α ) = p

O m sao cho φm (α ’) = pj nên số ước thỏa φm (α ’) = pj của pk là k + 1 hay τ m (pk) =k +

1, p2, p4, ……, 2[2]

k

)(

1 2 k 1 l

n p p p q q= α α α β β

2 1 2

1 p p k k q q q l l

pα α α β β β

1 1

j j m k

i i m

j i

j m l

j i m k

1

1)

()

()

1 2 2 1

1 1 1

j i i k

i j m l

j i m

p q

P n

j

i j

i

β α

p =x2 + y2 ⇔ p ≡ 3 (mod4) (định lí 3.3) Bởi vậy ta có được định nghĩa tương đương của hàm τ (n), 1 σ1 (n) như sau:

1

τ (n) là số các ước d của n sao cho d biểu diễn được dưới dạng d=x2+y2

σ1 (n) là tổng các ước d của n sao cho d biểu diễn được dưới dạng d=x2+y2

j i

2 1 2 1

j i

σ là tổng các ứơc d của n mà có α thuộc O-2 sao cho φ-2 (α) = d

Có α thuộc O-2 sao cho φ-2 (α ) = d ⇔∃ x,y ∈ Z sao cho

Do đó ta có được định nghĩa tương đương củaτ2( ) ( )n ,σ2 n như sau:

nhân và công thức tính

11

σ =là tổng các ước d của n mà có α thuộc Om sao cho φm (α ) = d

Có α thuộc Om sao cho φm (α ) = d ⇔∃ x,y ∈ Z sao cho

đương của τ3( )n ,σ3( )n như sau:

h

13

.113

113.15

15.12

12

2

1 2 1

2 1

2 1

15

.113

113

.13

13.12

12

2

1 1 2

1 1 2 1

5 1

15

.12

12

.113

113.13

13

2

1 1 2

1 2 2 1

2 1

5

364.183.21.26=36.370.152

h

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, chúng tôi đã giải quyết được

• Chỉ ra được vành các số nguyên đại số Om của trường mở rộng bậc 2 phức Q( )m

(m<0)là vành Euclide khi và chỉ khi m=-1, -2,-3,-7,-11

• Đối với mở rộng bậc 2 thực Q( )m (m>0), vành các số nguyên đại số Om là vành Euclide khi và chỉ khi m=2,3,6

• Chúng tôi cũng chứng minh đựơc vành các số nguyên đại số Om không là vành Euclide khi và chỉ khi m=23,47,59,83,53; m 2≡ ( mod 4)và m ≥ 42; m ≡ 3 (mod 4) và m≥ 94

• Dựa vào tính Euclide của vành Om với m =-1,-2,-3 chúng tôi đã chứng minh được :

p biểu diễn được dưới dạng p= x2 +y2 ⇔ p=2 hoặc p≡ 1 (mod 4)

p biểu diễn được dưới dạng p= x2 +2y2 ⇔ p=2 hoặc p≡1,3 (mod8)

p biểu diễn được dưới dạng p=x2 +xy+y2 ⇔ p=3hoặc p≡ 1 (mod3)

Dựa vào đó, chúng tôi đã xây dựng và tìm đựơc công thức tính các hàm

h

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Hà Huy Khoái (1997), Nhập môn số học thuật toán, Nhà xuất bản khoa học

2 Lại Đức Thịnh (1969), Số luận, Nhà xuất bản giáo dục Hà Nội

3 Garret Brirkhoff Saunders Maclane (1979), Tổng quan về đại số hiện đại, nhà xuất

bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội

5 P.J.Arpaia (1968), A note on quadratic Euclidean domains , American Mathematic

Monthly 75

6 H Chatland and H.Davenport (1950), Euclid’s algorithm in real quadratic fields,

Canadian journal of Mathematic 2

7 Saban Alaca Kenneth S Williams (2004), Introductory Algebraic number theory,

Cambridge University Press

h