Giáo trình toán cao cấp 1 iuh

Chẳng hạn, nếu hình vuông có độ dài cạnh là một đơn vị thì đường chéo của nó không thể biểu diễn bằng số hữu tỷ.. Tập hợp tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập hợp các số thực và

Lơi nói đầu

Được sự chấp thuận của BanGiámhiệu trường Đại họcCông nghiệp Thànhphố Hồ Chí Minh và Trưởng khoa Khoa học Cơbản, giáotrình Toáncao cấp

1 được biên soạn nhằm phụcvụ cho việc dạy và học môn Toán cao cấp 1 tạitrường

Giáo trình được biên soạn dành cho sinh viên đại học khối kỹ thuậtvà

kinh tế Nội dung giáo trình được chúng tôi biên soạn theo chương trình

đào tạo môn Toán caocấp 1 tại trường Đại học Công nghiệp Thànhphố Hồ

Chí Minh, kiến thức được trình bày một cách logic, dễ hiểu Mỗi nội dungkiến thức đều có ví dụ minh họa cho sinh viên tiếp thu một cách dễ dàng

Sau mỗi chương đều có phần bài tập tự luận và trắc nghiệm để sinh viên

luyện tập Sinh viên có thể tìm thấy đáp án hoặc hướng dẫn ở những trangcuối Giáo trình được chia thành năm chương:

Chương 1: Giới hạn và liên tục

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Chương 3: Tích phân

Chương 4: Chuỗi số

Chương5: Phép tínhvi phân hàm nhiều biến

Tác giảxingửilời cảm ơnchân thành đến BanGiám hiệutrường Đại học

Côngnghiệp Thành phố Hồ ChíMinh và Chủnhiệm Khoa Khoa học cơ bản

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi đểgiáo trình được xuất bản.Đồng thời chúng

tôi xin được chân thành cảm ơnquý thầy, cô trong tổToánthuộc Khoa Khoa

học Cơ bản - Trường Đại học Côngnghiệp thành phố Hồ Chí Minh đã đọc bản thảo và đóng gópnhiều ý kiếnquý báu

Tác giả hy vọng rằng giáo trình này sẽ là người bạn đồng hành và giúp

ích nhiều cho sinh viên và giảng viên trong quá trình dạy và học mônToán

cao cấp 1

Trân trọng!

Thànhphố Hồ Chí Minh, tháng 10 nám 2022

Các tác giả

Trang thôn,; tin giáo trình

https: //gỉthub.com/khoacoban/toancaocapl

Nhằm tạo cầu nối giữa các tác giả và bạn đọc, chúng tôi đã thiết lập trang

thông tin hỗ trợtại địa chỉtrên Ở trangnày chúng tôi sẽ:

Cung cấp các chứng minh: Nhằm trình bày kiến thức một cách cô đọng và

dễ hiểu, chúng tôi đã lược bỏ các chứng minh trong bản in và cung cấp bản điện tử Bạn đọc quan tâm đến các chứng minh có thể tìm ởđây

Thông tin sai sót: Trong lầnđầu phát hành, chúngtôi không thểtránh khỏi những sai sót Do đó, chúng tôi sẽ đăng các bản đính chính tại trangthông tinnày

Tiếp nhậnphản hồi độc giả: Tác giả cũng mong nhận được nhiều ý kiếnđóng góp quý báu từ quý thầy, cô và các bạn sinh viên để lần tái bản sauđượchoàn thiện hon

Các tác giả

Mục lục

Lời nói đầu i

Trang thông tin giáo trình ii

Mục lục iii

1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1 1.1 Cơ BẢN VỀ SỐ THỰC 1

1.1.1 Các tập số thường gặp 1

1.1.2 Tiên đề về sup, inf 2

1.1.3 Tính chất Archimède 4

1.1.4 Tập số thực mở rộng 4

1.2 HÀM SỐ 4

1.2.1 Khái niệm hàm số 4

1.2.2 Một số tính chất đặc biệtcủa hàmsố 5

1.2.3 Hàm số ngược 7

1.2.4 Hàm số hợp 8

1.2.5 Hàm số sơ cấp cơ bản 9

1.2.6 Hàm số sơ cấp 14

1.3 DÃY SỐ 15

1.3.1 Dãy số hội tụ 16

1.3.2 Dãy đơn điệu 20

1.3.3 Dãy con 21

1.4 GIỚI HẠN CỦAHÀM SỐ 22

1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số 22

1.4.2 Các quy tắc tính giới hạn của hàm số 25

1.4.3 Tiêu chuẩn kẹp 26

1.4.4 Giớihạn của hàm hợp 27

1.4.5 Giớihạn một phía 28

1.4.6 Mở rộng khái niệm giới hạn 29

1.4.7 Hai giới hạn quan trọng 34

1.5 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 34

Trang iv Mục lục

1.5.1 Định nghĩavà tính chất 34

1.5.2 Liên tục một phía Phânloại điểm gián đoạn 37

1.5.3 Hàm số liên tục trên một đoạn 38

1.6 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM Sơ CẤP 39

1.6.1 Hàm lũy thừa, căn thức 39

1.6.2 Hàm mũ và hàm logarit 40

1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược 41

1.7 VÔ CÙNG BÉ, VO CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN 42

1.7.1 Hàm tương đương 42

1.7.2 Vô cùngbe (VCB) 43

1.7.3 Vô cùng lớn (VCL) 46

1.8 BÀI TẬP 48

2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 55 2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 1 55

2.1.1 Đạo hàm 55

2.1.2 Vi phân 64

2.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 69

2.2.1 Đạo hàm cấp cao 69

2.2.2 Vi phân cấp cao 72

2.3 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 72

2.3.1 Khái niệm cực trị 72

2.3.2 Định lý Fermat 73

2.3.3 Định lý Rolle 74

2.3.4 Định lý Cauchy 74

2.3.5 Định lý Lagrange 75

2.4 QUY TẮC LHÔPITAL 75

2.4.1 Dạng 5 76

Cữ 2.4.2 Dạng— 77

00 2.4.3 Các dạng vô định khác 79

2.5 CÔNG THÚC TAYLOR 82

2.5.1 Công thức Taylor với phần dư Lagrange 82

2.5.2 Công thức Taylor với phần dư Peano 82

2.5.3 Công thức Maclaurin một số hàm số sơ cấp 83

2.5.4 Tính gần đúng bằng công thức Taylor 84

2.5.5 Tính giới hạn bằng công thức Taylor 87

2.6 ÚNG DỤNG CỦAĐẠO HÀM 88

2.6.1 Tỷ lệ thay đổi của hàm số 88

2.6.2 Phân tích cận biên 89

Mục lục Trang V

2.7 BÀI TẬP 90

3 TÍCH PHÂN 103 3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 103

3.1.1 Nguyên hàm 103

3.1.2 Tích phân bất định 104

3.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định 105

3.1.4 Tích phân hàm hữu tỷ 111

3.1.5 Tích phân hàm lượng giác 114

3.1.6 Tích phân một số hàm vô tỷ 118

3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 122

3.2.1 Định nghĩa và tính chất 122

3.2.2 Công thức Newton - Leibniz 126

3.2.3 Phương pháp tính tích phân xác định 127

3.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 129

3.3.1 Tích phân suy rộng loại một 130

3.3.2 Tích phân suy rộng loại hai 137

3.4 ÚNG DỤNG TÍCH PHÂN 142

3.4.1 Tính diện tích hình phẳng 142

3.4.2 Tính thể tích vật thể 146

3.4.3 Tính độ dài cung phang 151

3.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 153

3.4.5 Lượng thay đổi của một hàm 155

3.4.6 Giá trị trung bình của hàm số 156

3.5 BÀI TẬP 157

4 CHUỖI SỐ ~ , 168 4.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ 168

4.1.1 Các khái niệm về chuỗi số 168

4.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 170

4.1.3 Tính chấtcủa chuỗi hội tụ 171

4.2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 172

4.2.1 Khái niệm chuỗi dương 172

4.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 174

4.3 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ 180

4.3.1 Chuỗi đan dấu 180

4.3.2 Hội tụ tuyệt đối 181

4.4 BÀI TẬP 183

Trang vi Mục lục

5.1 GIỚI HẠN HÀM NHIỀU BIẾN 192

5.1.1 Khái niệm hàm nhiều biến 192

5.1.2 Giới hạn của hàm nhiều biến 194

5.2 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 198

5.2.1 Khái niệm hàm liên tục 198

5.2.2 Tính chất của hàm liên tục 199

5.3 ĐẠO HÀM RIÊNG 200

5.3.1 Đạo hàm riêng cấp một 200

5.3.2 Đạo hàm riêng cấp hai 204

5.4 VI PHÂN 205

5.4.1 Khái niệm vi phân 205

5.4.2 Các điều kiện khả vi 206

5.4.3 Tính chất của vi phấn 207

5.4.4 Dùng vi phântính gần đúng 207

5.4.5 Vi phân cấp hai 208

5.5 CỰC TRỊ Tự DO 209

5.5.1 Khái niệm cực trị tự do 209

5.5.2 Điều kiện cần của cực trị 210

5.5.3 Điều kiện đủ của cực trị 211

5.6 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 214

5.6.1 Khái niệm cực trị có điều kiện 214

5.6.2 Phuong pháp khử 214

5.6.3 Phuong pháp nhân tử Lagrange 215

5.7 GIÁ TRỊ LỚN NHAT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 218

5.8 BÀI TẬP 222

Huớng dẫn - đáp án 230

Tài liệu tham khảo 237

Chương 1

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1.1 cơ BẢN VỀ số THỰC 1

1.2 HÀM số 4

1.3 DÃY SỐ k 15

1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM số 22

1.5 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM số 34

1.6 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM Sơ CẤP 39

1.7 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN 42

1.8 BÀI TẬP 48

1.1 Cơ BẢN VỀ SỐ THỰC 1.1.1 Các tập số thường gặp Tập hợp tấtcả các số tự nhiên được ký hiệu là N, nghĩa là N = {0;l;2 }

Tập hợp tất cả các số nguyên dương được ký hiệu là N*, nghĩa là N * = {1;2;3 }

Tập hợp tất cả các số nguyên được ký hiệu là Z, nghĩa là z = { — 2; —1;0,1;2 }

Trang 2 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Tập hợp tất cả các số hữu tỷ được ký hiệu là Q, nghĩa là

{—772 : m, n 6 z, n 7^ 0

n

Từ xưa, người ta biết rằng tập hợp các số nguyên và tập hợp các số hữu tỷ không thể biểu diễn được tất cả các số đo trong cuộc sống Chẳng hạn, nếu

hình vuông có độ dài cạnh là một đơn vị thì đường chéo của nó không thể

biểu diễn bằng số hữu tỷ Từ đó, xuất hiện tập hợp các số dùng để biểu diễncho các số đo trong các hoàn cảnh như thế này Tập các số như thế được gọi

là tập các số vô tỷ

Tập hợp tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập hợp các số thực vàđược ký hiệu là R Để chỉ số a là số thực ta viếta E R, và đọc là "a thuộc R" Giá trị tuyệt đối của một số thực a, được ký hiệu là |#|, được xác địnhbởi

l«l = a,

-a,

nếu a > 0nếu a < 0

Ví dụ 1.1. |1,3| = 1,3 và |—3,5| = 3,5

Giá trị tuyệt đối có các tính chất sau:

|«| = |-«|, \ab\ = |«| |b|, \a + b\ < |«| + ịb|

Khoảng cách giữa hai số a và b là \a — b \, là độ dài đoạn thẳng nối a với b

Hai số thực a và b được gọi là gần nhau nếu \a — b\ nhỏ

Phần tiếp theo trình bày một số điều cốt lõi của tập các số thực để làm

cơ sở lý luận cho toàn bộ nội dung quyển sách này

1.1.2 Tiên đề về sup, inf

Định nghĩa 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng của R, và oc E R.

• ŨC là phần tử nhỏ nhất của A nếu ŨC G A và oc < X với mọi X G A Phần tửnhỏ nhất của A, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là min A.

• a là một chặn trên của A nếu oc > X với mọi X e A Khi A có một chặn

trên, ta nói A bị chặn trên và khi đó, phần tử nhỏ nhất của tập tất cảcác chặn trên, nếu có, được gọi là chặn trên nhỏ nhất của A, ký hiệu là

• a là phần tử lớn nhất của A nếu a E A và ŨC > X với mọi X E A Phần tử

lớn nhất của A, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là max A.

1.1 cơ BẤN VỀ SỐ THỰC Trang 3

• a là một chặn dưới của A nếu ŨL < X với mọi X e A. Khi A có một chặndưới, ta nói A bị chặn dưới và khi đó, phần tử lớn nhất của tập tất cả

các dưới, nếu có, được gọi là chặn dưới lớn nhất của A, ký hiệu là infA.

Ví dụ 1.2. Xét hai tập con của tập các số thực A = (0; 1] và B = (0; 4-oo) Ta có:

• Do 1 > X với mọi X 6 A, nên 1 là một chặn trên của A, và do đó A bị

chặn trên Ngoài 2 là một chặn trên, A còn có vô số các chặn trên, làcác phần tử của tập c = [1; +oo) Do 1 là phần tử nhỏ nhất của c nên

sup A = 1

• Do 0 < X với mọi X G A, nên 0 là một chặn dưới của A, và do đó A bị

chặn dưới Ngoài 0 là một chặn dưới, A còn có vô số các chặn dưới, làcác phần tử của tập D — (—oo;0] Do 0 là phần tử lớn nhất của D nên

inf A = 0

• Do 1 G A và 1 > X với mọi X G A nên max A = 1 Giả sử m = min A

Thế thì 0 < m < X với mọi X e A Chọn X = y G A, ta buộc phải có

m < y, nghĩa là m < 0, điều này mâu thuẫn với m > 0 Vậy min A

không tồn tại

• Dễ thấy B bị chặn dưới bởi 0, có inf B — 0, và không tồn tại minB; B

không bị chặn trên, nên không tồn tại sup B,max B.

Với một tập con không rỗng bất kỳ A của R, min A, max A, sup A vàinf A không luôn luôn tồn tại Tuy nhiên, ta chấp nhận tiên đề sau

Tiên đề về sup: Mọi tập con không rỗng và bị chặn trên của R đều có chặn

trên nhỏ nhất.

Nhậnxét rằng tập —A = {—X : X e A}]A tậpcon không rỗng và bị chặn

trên khi A là tập không rỗng và bị chặn dưới Hơn nữa, nếu sup(—A) tồn tại thì inf A tồn tại và inf A = — sup (—A), ta suy ra

Hệ quả về iní. Mọi tập con không rỗng và bị chặn dưới của R đều có chặn

Trang 4 Chương 1 GĨỚĨ HẠN VÀ LIÊN TỤC

Ta gọi R = R u {—oo,+oo} là tập số thực mở rộng Các phép toán và quan

hệ thứ tự trên R được mởrộng qua Rnhư sau: Với X G R,

Do không mở rộng khoảng cách giữa hai số thực qua khoảng cách giữa

một số thực với các phần tử ±oo hay giữa — oo và +oo, người ta đưa ra kháiniệm lân cận như sau:

• Với X G R khoảng (x — ỏ; X + ổ) với ỏ > 0 được gọi là ỏ lân cận của X.

• Các tập (ỗ; +oo) và (—oo; ỏ), với ỏ là một số thực, lần lượt được gọi là ỏ

lân cận của +oo và — oo

1.2.1 Khái niệm hàm số

Định nghĩa 1.2 Cho D là một tập con khác rỗng của R. Hàm số f từ tập D

vào R là một quy tắc làm tương ứng mỗi phần tử X 6 D với một và chỉ một

phần tử f(x) G R

1.2 HÀM SỐ Trang 5

f ■ D — + R,

/W-• Tập D được gọi là miền xác định của hàm f.

• Với X E D,f(x) được gọi là giá trị của f tại X.

• Miền giá trị của hàm số f là tập hợp tất cả các giá trị /(%) khi X thay

Rf = {/(%) : X E D}.

Chúng ta minh họa cho hàm số f bằng sơ đồ sau đây

/(4

Hình 1.1: Hàm số f làm tương ứngX vớif(x)

Lưu ý, khi hàm số f được cho bởi công thức, thì miền xác định của nó

là tập hợp tất cả các số thực X làm cho công thức có ý nghĩa Ví dụ: hàm số

f(x) — y/3 — X CÓ miền xác định D — {% : X E R, X < 3} vì ự3 — X chỉ có

nghĩa nếu 3 — X > 0

Đồ thị của hàm số y = /(x) có được bằng cách vẽ tất cả các điểm (x;y) với X E D và y = /(x) (Hình 1.2) Nếu ta bắt đầu từ X = a trên trục Ox, di chuyển theo phương thẳng đứng đến đồ thị, sau đó di chuyển theo phương

ngang đến trục Oy, ta sẽ nhận được giá trị f(a).

Hình 1.2: Đồ thị của hàmy = /(x)

1.2.2 Một • số tính chất đặc • • biệt của hàm số

Định nghĩa 1.3 (Tính đơn điệu) Cho hàm số /(x) xác định trên khoảng

(«;&)

Trang 6 Chương 1 GĨỚĨ HẠN VÀ LIÊN TỤC

• Hàm số /(%) được gọi là hàm tăng trên («;b) (Hình 1.3.a) nếu

V%1,%2 £ (ữ;b),XỊ < %2 => /(*1) < /(*

2)-• Hàm số /(%) được gọi là hàm giảm trên («; b) (Hình 1.3.b) nếu

V%1,%2 c («;b),%i < %2 => /(*1) > /(*

Hình 1.3: (a) đồ thị hàm tăng; (b) đồ thịhàm giảm

• Hàm hoặc tăng hoặc giảm trên («;b) được gọi chung là hàm đơn điệu

Hình 1.4: (a) đồ thị hàm không giảm; (b) đồ thịhàm không tăng

Định nghĩa 1.4 (Tính chẵn, lẻ) Xét hàm /(%) có miền xác định D đối xứng

qua gốc tọa độ o, nghĩa là nếu X thuộc D thì — X cũng thuộc D Khi đó,

Trang 7 1.2 HÀM SỐ

• Hàm số /(%) được gọi là hàm chẵnnếu

Vx G D,/(-x) = /(%);

• Hàm /(%) được gọi là hàm lẻ nếu

Hình 1.5: (a) Đồthịhàm số chẵn; (b) đồ thị hàm số lẻ

Định nghĩa 1.5 (Tính tuần hoàn). Hàm số /(%) được gọi là hàm số tuần

hoàn nếu tồn tại số dương T sao cho

Vx G D, (x ± T e D và /(x — T)= f(x) — f(x + T))

Số dương Tnhỏ nhất, nếu có, được gọi là chu kỳ tuần toàn của /(x)

Hình 1.6: Đồthị của hàm số tuần hoàn chu kỳ T

1.2.3 Hàm số ngược

Định nghĩa 1.6 (Hàm 1 -1). Hàm số /(x) được gọi là hàm số tương ứng

1 — 1 nếu với mỗi y e Rf chỉ có duy nhất X e D sao cho y = /(x)

Trang 8 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Hình 1.7: (a) đồ thịhàm 1 — 1; (b) đồ thị hàmkhông phải 1 —

về mặt hình học, hàm y = f(x) là hàm số tương ứng 1 — 1 nếu như một

điểm

Định nghĩa 1.7 (Hàm ngược) Nếu hàm số y = /(x) là hàm tương ứng 1-1 thì với mỗi y e Rf, tồn tại duy nhất X e D sao cho /(%) = y Do đó, quy tắc

làm tương ứng mỗi y e Rf với X € D sao cho /(%) = y là một hàm số, và ta

Thông thường, ta dùng chữ X để chỉ biến số và y để chỉ giá trị của hàm

điểm (x;y) thuộc đồ thị của hàm số y — f(x) thì điểm (y;x) thuộc đồ thị

đường phân giác thứ nhất nên suy ra đồ thị hàm số ngược y = (x) đốixứng với đồ thị của y = f(x) qua đường phân giác thứ nhất (Hình 1.8)

1.2 HÀM Số Trang 9

trong đó, Rf là tập con của Dg Với mỗi X E Df qua f sẽ có một và chỉ một

y E Rf sao cho f(x) — y, và vói y này qua g sẽ một và chỉ một z G Rg sao

cho g(y) = z. Nhu vậy, môi X e Df ứng vói một và chỉ một z E Rg xác định bởiz = g[f(x)] Do đó, ta có hàm số

Ví dụ 1.3 Cho hai hàm số f(x) = ỵ/x và g(x) = 1 — X Hãy tìm (g o f)(x),

ơ ° £) (x)/ (/ ° /) (x) và (g ° 8) w cùng với miền xác định của chúng

Giải Hai hàm số đã cho có miền xác định lần lượt là Df = [0;+oo) và

Dg = (—oo; +oo) Công thức của các hàm hợp cần tìm và miền xác định của

Công thức Miền xác đinh

Miền xác định của hàm lũy thừa phụ thuộc vào X. Cụ thể:

• Nếu X E N thì miền xác định của hàm số là R.

• Nếu X là số nguyên âm thì miền xác định của hàm số là R \ {0}

• Nếu X = p E z,q E z + thì

- Nếu q lẻ và

Trang 10 Chương 1 GIỚI HẠNVÀ LIÊN TỤC

Số a được gọi là cơ số của hàm số mũ Hàm y = ax có miền xác định là R,

tăng khi a > 1, và giảm khi a < 1 Đồ thị hàm y = ax như hình 1.9

Hình 1.9: Đồ thị của hàmy = ax

■ Hàm logarit y = logữ X, 0 < a 7^ 1

Là hàm ngược của hàm y = ax số a được gọi là cơ số của hàm số logarit

y = logfl X Hàm số logarit y = logữ X có miền xác định là (0; 4-oo), tăng khi

a > 1, và giảm khi a < 1 Đồ thị hàm y = logữ X như hình 1.10

Hình 1.10: Đồ thị của hàm y = loga X

cosx = OM; sinX = ON; tan X = AP;cot X = BQ.

Hàm y = sinx có miền xác định là R và miền giá trị là [—1; 1] Đó là

một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2tĩ đồ thị của hàm y = sinx trên

2 Hàm y = cosX có miền xác định là R và miền giá trị là [—1; 1] Đó làmột hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ 2tĩ Đồ thị củahàm y = cosX trên[—71; 7ĩ] được cho bởi hình 1.12.Ồ

3 Hàm y = tan X xác định tại mọi X Ạ (2k + 1) ặ, k e z, và miền giá trị là

R Đólà một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 7Ĩ Đồ thị củahàm y = tan X

trên (—ặ; ặ) được cho bởi hình 1.13.a

4 Hàm y = cot X xác định tại mọi X Ạ kn, k G z, và miền giá trị là R Đó

là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 7ĩ Đồ thị của hàm y = cotX trên

(0; 7ĩ) được cho bởi hình 1.13.b

Trang 12 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Hình 1.13: (a) đồ thịhàmtanx; (b) đồ thị hàm cotX

■ Các hàm lượng giác ngược

1 Hàm arcsin Hàm số sin : R —> [—1; 1] không là hàm 1-1 nhưng khi

1.2 HÀM SỐ Trang 13

2 Hàm arccos Tương tự, hàm số cos :

có hàm ngược, ký hiệu là arccos,

• Thương của f và g, ký hiệu là là hàm số xác định trên miềnmà cả f

và g cùng xác định, đồng thời g(x) phải khác không, và

D={teD/nDg| g(x)=Ề0}.

1.3 DÀY SÔ Trang 15

Ví dụ 1.4 Hai hàm số

/(x) = Vx và g(x) — y/1 — X

có miền xác định lần lượt là Df = [0;4-oo) và Dg = (—oo;l] Phần chung

của hai miền xác định này là D f íì Dg — [0; 1] Bảng sau đây tổng hợp các

công thức và miền xác định của cáchàm tổng, hiệu, tích và thươngđược tạo

SỐ x-[ được gọi là số hạng thứ nhất, X2 được gọi là số hạng thứ hai, và tổng

quát xn được gọi là số hạng thứ n Dãy số như vậy được ký hiệu là (x„)

Số n được gọi là chỉ số của xn. Chỉ số này không nhất thiết bắt đầu tại

n — 1, nó có thể bắt đầu tại n = 0, n = 2, hoặc một số nguyên dương tùy ý.Không phải dãy số nào cũng được tạo ra từ một công thức Ví dụ, dãycác chữ số của số 7Ĩ :

3; 1;4; 1;5;9;2;6 ,

Khi x n có công thức, ta gọi xn là số hạng tổng quát của dãy số (xM)

Trang 16 Chương 1 GIỚTHẠN VÀ LIÊN TỤC

Định nghĩa 1.12 Cho dãy số (x n ).

• Dãy (x n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại sốM E R sao cho

xn < M,Vn e N.

• Dãy (xn) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m e R sao cho

Xn > m,\/n e N.

• Dãy (xn) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn

Định nghĩa 1.13 Dãy số (x„) được gọi là hội tụ đến số X e R nếu với mọi

số e > 0, tồn tại số no thuộc N, sao cho với mọi n > no thì khoảng cách giữa

xn và X nhỏ hơn e Khi đó, X được gọi là giới hạn của dãy số (xn), và ta viết

X = lim xn hay xn —> X, khi n —> +oo

n—>+oo

Định nghĩa 1.13 được viết dưới dạng ký hiệu là:

X = lim xn <=> Ve > 0,3no G N,\fn > no, \x n — x| < e (1.1)

n—>+oo

Định lý 1.2. Nếu dãy (x n) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.

Định lý 1.3 Nếu dãy (x n ) hội tụ thì nó bị chặn.

Hệ quả 1.2. Nếu (x„) không bị chặn thì nó không hội tụ.

Ví dụ 1.10. Dãy (n 2 ) là dãy không bị chặn(do không bịchặntrên) nên không hội tụ

Định lý 1.4 (Các quy tắc tính giới hạn). Giả sử

Trang 18 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn kẹp cho dãy số). Cho M € R và ba dãy số (xM), (yM)

Giải Giả sử lim |xn| =0 Suy ra lim ( — |xn|) = — lim |xn|=0 Do

n^+oo 1 ' J n^+oo 1 lz n^+oo 1 1

-|x„| < Xn < \x n \,Vn e N,

nên áp dụng Tiêu chuẩn kẹp, ta được lim xn — 0

Ngược lại, nếu lim x n — 0 thì với mọi € > 0, tồn tại no 6 N để cho với mọi n > no, ta có

1.3 DÃY SÔ Trang 19

Giải Giả sử a > 0 Tồn tại số nguyên dương M sao cho M < a < M 4- 1

Do đó, với n > M ta có

an nỉ

■ Mở rộng khái niệm hội tụ của dãy số

Định nghĩa 1.14. Dãy (x„) được gọi là hội tụvề 4-OO, khi n —> 4-00, ký hiệu lim xn 4-00, nếu

n—>4-00

VM > 0,3«0 ẽ N,Vn > no,xn > M.

Tương tự, dãy (x n) được gọi là hội tụ về —oo, khi n —> 4-00, ký hiệu

n—>4-00

VM > 0,3«0 6 N,Vh > no, xn < — M

í

Chú thích 1.1. Với sự mở rộng này thì Định lý 1.4 vẫn còn đúng miễn là các

giới hạn không có dạng 00 — 00,0.oo, 2,

Trang 20 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.3.2 Dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.15. Dãy số (xn ) được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với mọi n e

N, xn < Xn+Ị (x n > x n+ i). Một dãy hoặc tăng hoặc giảm được gọi là dãy đơn điệu.

Định lý 1.8 Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều là dãy hội tụ.

Trang 22 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Chú ý 1.1. Dãy (x n) là dãy concủachính nó Hơn nữa, từ định nghĩa, ta suy

ra mọi dãy con của một dãy bị chặn thì bị chặn cũng như mọi dãy con của

một dãy đơn điệu cũng là dãy đơn điệu

Định lý 1.9 Dãy (x„) hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều là dãy hội tụ

và có chung một giới hạn.

Ví dụ 1.16 Dãy số (x„) với x n — (—1)” có hai dãy con: (xzfc) và (X2]t+1) Vì

x 2k = 1 1 và *2Ă:+1 = — 1 —> — 1 nên (x„) không hội tụ

số đềucó ít nhất một dãy con đơn điệu (xem [4]) Do đó, dãy (x„) có dãy con

(xnk) đơn điệu Vì (xnk ) cũng là dãy bị chặn nên là dãy hội tụ, theo Định lý1.8 Vậy, ta có

Định lý 1.10 (Bolzano Weierstrass) Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy

con hội tụ.

1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM số

1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số

Định nghĩa 1.18 (Điểm tụ, điểm cô lập) Cho D là tập con khác rỗng của R

và oc là một số thực Ta nói:

• oc là điểm tụ của D nếu mọi e — lân cận của ŨC đều có phần tử của D,

khác a, nghĩa là

Ve > 0, (oc — e',OL + e) n (D \ {a}) 0

• ŨC E D là điểm cô lập của D nếu tồn tại ô — lân cận của ŨC sao cho mọi

điểm thuộc lân cận này không thuộc D, ngoại trừ a, nghĩa là

Trang 23 1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM số

• 4 là điểmcô lập của D vì

\ {4} = 0

Mệnh đề 1.1 (Đặc trưng của điểm tụ), số thực a là điểm tụ của D nếu và chỉ

nếu có một dãy (xn ) trong D \ {ít} sao cho xn — > oc.

Định nghĩa 1.19 (Giới hạn của hàm số) Cho hàm số f(x) xác định trên(đ;b) chứa cc, có thể không xác định tại (X. Ta nói số thực p là giới hạn của

f(x) khi X tiến tới ít nếu với mọi € > 0, tồn tại ô > 0 sao cho với mọi

X e (a;b) \ {ít} nếu khoảng cách giữa X và ítnhỏ hơn ô thì khoảng cách giữa

f(x) và nhỏhơn e Khi đó, ta viết

Trang 24 Chương 1 Gĩớĩ HẠN VÀ LIÊN TỤC

b) Với e > cho trước, ta cần tìm ỗ > 0 sao cho với mọi X,

Định lý 1.11. Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) chứa DC, có thể không xác định tại DC Khi đó, lim f(x) = B nếu và chỉ nếu

V(x„) c ((a;b) \ {a}), (xn DC => /(xn) P).

Ví dụ 1.20. Hàm số /(x) = X2 4- 2x 4- 3 có giới hạn tại X = 0bằng bao nhiêu?

Giải Miền xác định của /(x) là Df = R Với dãy (xn) c (Df \ {0}), x n —> 0,

ta có

f (%n ) = Xyi “I- 2xn 4- 3 —> o2 4- 2.0 4- 3 = 3

Vậy, lim(x2 4- 2x 4- 3) =3

‘ x->0

Ví dụ 1.21 Hàm số /(x) = sin ị có giới hạn tại X = 0?

Giải Miền xác định của f(x) là Df = R \ {0} Trong Df, có hai dãy: (xn),

xn = * 2H7T 0 và (x n)' x 'n = ĩbĩ 0 nhưng khi n -> 4-OO, thì

1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM sỗ Trang 25

1.4.2 Các quy tắc tính giới hạn của hàm số

Từ Định lý 1.11 và tính chất của dãy số hội tụ, ta có

Định lý 1.12 (Tính duy nhất). Nếu hàm f(x) có giới hạn tại số thực X thì giới

lim(x2 — 3x + 4) = lim X 2 — 3 lim X + lim 4

Trang 26 Chương 1 GĨỚĨ HẠN VÀ LIÊN TỤC

lim X 4 + lim(—X 2 ) + lim 3

Nhận xét 1.1 Ví dụ trên minh họa chohai kết quả tổng quát hơn như sau:

• Nếu p(x) — anxn + flfl-ix”-1 + • • • + í?0, đa thức bậc n, thì

1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM số Trang 27

1.4.4 Giới hạn của hàm hợp

Định lý 1.15 Cho Dỵ, D2 là hai tập con khác rỗng của R, và a là điểm tụ của D-[.

Nếu hàm số f xác định trên Di có miền giá trị là Dz, có lim /(x) = /3, và hàm số

g xác định trên D2 có lim g(y) = 7 thì

■

limg[/(x)] =7

Ví dụ 1.26. Tính lim sin

Trang 28 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Giải Nếu xem/(x) = x 2X Ĩ^Ĩ* và g(y) = siny thì

Khi đó, ta viết limx^a- f(x) = hay y(íY—) = /3

/(x) khi X tiến tới a bằng /3 nếu

Điều này đúng nếu ỏ = e hoặc ỏ là một số dương nhỏ hơn e

b) Với e > cho trước, ta cần tìm ô > 0 sao cho với mọi X,

Ồ < a — X < ỏ |c — c| <e

Điều này đúng với mọi ỏ > 0

Tương tự, ta cũng chứng tỏ được c) và d)

1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM số Trang 29

Ví dụ 1.28 Cho hàm số/(x) = —.Tính lim /(x), lim f(x)

Định lý 1.16. Hàm số f(x) có giới hạn tại oc khỉ và chỉ khi tồn tại giới hạn bên trái,

giới hạn bên phải tại oc và hai giới hạn này bằng nhau Vậy,

Ví dụ 1.29 Cho hàm số y = /(x) có đồ thị như Hình 1.17 Tìm các giới hạn

limx^_1+ /(%), limx^i/(%), limx^2Ị{x), limx^3 /(x)

Hình 1.17

Chú ý 1.2 Định lý 1.13, về các quy tắc tính giới hạn, Định lý 1.14 và Định lý1.15 vẫn còn đúng khi các giới hạn trong định lý được thay bởi các giớihạn

một phía

1.4.6 Mở rộng khái niệm giới hạn

cùng, giới hạn tại điểm hữu hạn bằng vô cùng, và giới hạn tại vô cùng bằng

■ Giới hạn hữu hạn ở vô cùng

Định nghĩa 1.21 Cho hàm số /(%) xác định trên («; +oo) Ta nói:

• số thực f> là giới hạn của f(x) khi X tiến tới +oonếu

Ve > 0,> 0, Vx e (a; +oo), (x > ô => \f(x) — f\ < e)

Khi đó, ta viết lim fix) — 6.

x^r+oo

Trang 30 Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

• số thực /ỉ là giới hạn của f(x) khi X tiến tới — oo nếu

Ve > 0,> 0, Vx E (a; +oo), (% < — ô => \f(x) — Ịỉ\ < e)

Khi đó, ta viết lim /(%) = 8.

a) Ta chứng tỏ lim - — 0, giới hạn còn lại được chứng tỏ tương tự Với

e > 0 cho trước, ta cần tìm ỗ > 0 sao cho với mọi X > 0,

Điều này đúng với mọi ỗ > 0

Chú ý 1.3 Định lý kẹp 1.14 vẫn còn đúng khi các giới hạn trong định lýđược thay bởi các giới hạn hữu hạn ở vô cùng

1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM số Trang 31

Hình 1.19: Giới hạn tại số thực bằngvô cùng

■ Giới hạn tại số thực bằng vô cùng

Định nghĩa 1.22 Cho hàm số /(x) xác định trên («; b) chứa (X, có thểkhông

xác định tại OL Ta nói:

• Hàm số f(x) tiến tới 4-00 khi X tiến tới ữ. nếu

được định nghĩa tương tự

Ví dụ 1.31 Chứng minh răng lim — = 4-00

Trang 32 Chương 1 GĨỚĨ HẠN VÀ LIÊN TỤC

Hình 1.20: Giới hạn ở vôcùng,bằngvô cùng

Định nghĩa 1.23 Cho hàm số f(x) xác định trên (a;+oo) Ta nói: