Đề ôn luyện hsg môn toán lớp 12 số 6 file word có lời giải chi tiết

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. a Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên.. b Viết phơng trình tiếp tuyến chung của E1 và P.. Cạnh SA vuông góc v

đề xuất ngân hàng đề

Đề thi Học sinh giỏi THPT - Môn Toán

-o0o -Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2

c) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5)

d) Trên đờng thẳng y = 9x – 4, tìm những điểm có thể kẻ đến (C) 3 tiếp tuyến

Câu 2: (3 điểm) Giải các phơng trình sau:

Câu 3: (4 điểm)

a) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất:

b) Tìm m để bất phơng trình sau đúng với mọi x

1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1

Câu 4: (2,5 điểm)

a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 0:

Câu 5: (2,5 điểm)

Cho 2 elíp (E1): , (E2): và parabol (P): y2 = 12x

a) Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên

b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung của (E1) và (P)

Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a (a>

0) Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = M là một điểm khác B trên SB sao cho

AM  MD Tính tỉ số

-Chú ý: + Đáp án gồm 5 trang.

+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho

điểm tối đa

Câ

u

1 1a - Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 6x = 0 

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -2) và (0;

+); hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0)

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 1) và đạt cực tiểu tại điểm (-2; 5)

+ Giới hạn:  đồ thị hàm số không có tiệm cận

+ Tính lồi lõm và điểm uốn: y’’ = 6x + 6 = 0  x = -1

 Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-; -1), lõm trên khoảng (-1; +) và có điểm uốn là (-1; 3)

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-3; 1), (-2;

5), (-1; 3), (0; 1) và (1; 5) Nhận điểm uốn (-1; 3) làm tâm đối xứng

0,25

0,25 0,25

0,25

0,25

0,25

1b Ta có: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1)

 x3 + 3x2 + 1 = m2 + 3m2 + 1 = a

 số nghiệm của phơng trình (1) chính là số giao

điểm của đồ thị (C) và đờng thẳng y = a, từ đồ thị

ở câu a ta có:

- Phơng trình (1) có 1 nghiệm nếu a > 5 hoặc a < 1

- Phơng trình (1) có 2 nghiệm nếu a = 5 hoặc a = 1

- Phơng trình (1) có 3 nghiệm nếu 1 < a < 5

Xét hàm số f(m) = m3 + 3m2 + 1  f(m) cũng có đồ

thị là (C), nên từ đồ thị ở câu a ta có:

- a > 5  m > 1; a = 5  m = 1 hoặc m = -2

- a < 1  m < -3; a = 1  m = -3 hoặc m = 1

- 1 < a < 5  -3 < m < 1

Vậy ta có:

+ Với m > 1 hoặc m < -3 thì phơng trình (1) có 1

nghiệm

+ Với m = -3 hoặc m = -2 hoặc m = 1 hoặc m = 2

thì phơng trình (1) có 2 nghiệm

+ Với -3 < m < 1 và m  -2, m  0 thì phơng trình

(1) có 3 nghiệm phân biệt

0,25 0,25

0,25

0,25

1c Gọi phơng trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (1; 5) có

dạng:

y = k(x – 1) + 5  y = kx + 5 – k

Vì là tiếp tuyến của (C) nên ta có:

 Có 2 tiếp tuyến của (C) đi qua điểm (1; 5) là:

y = 5 và y = 9x – 4

0,25

0,50 0,25

1d Gọi M (x0; 9x0 – 4) là điểm trên đờng thẳng y = 9x –

4

y 5

3

1 -3 -2 -1 0 1 x

Để có 3 tiếp tuyến qua M thì hệ trên cần có 3 nghiệm

 phơng trình sau cần có 3 nghiệm phân biệt:

(x – 1)[2x2 + (5 – 3x0)x + 5 – 9x0] = 0

Từ đó ta có điều kiện của x0 là:

Vậy các điểm M cần tìm có toạ độ (x; 9x – 4) với

điều kiện:

0,25 0,25

0,25

2 2a Tập xác định: D = R

Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:

Xét hàm số f(t) = , ta có f(t) đồng biến với mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x)  3cosx = 4cos3x

 cos3x = 0  x = , k  Z

0,25

0,50 0,50 0,25

2b Ta có: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) > 0

x2 – 3x + 1 = 2(x2 – x + 1) – (x2 + x + 1) Đặt , t > 0 Phơng trình trở thành:

 x = 1

0,25 0,25 0,50 0,25

0,25

3 3a Điều kiện: m > 0 và m  1, x2 + mx + 10  0.

Bất phơng trình đã cho tơng đơng với:

(*)

Đặt u = x2 + mx + 10, u  0

+ Với 0 < m < 1: (*)  f(u) = log7( + 4)log11(u + 2)

 1

Ta thấy f(9) = 1 và f(u) là hàm đồng biến nên ta có:

f(u)  f(9)  u  9  x2 + mx + 10  9  x2 + mx + 1

 0 Vì phơng trình trên có  = m2 – 4 < 0 với 0 < m < 1 nên phơng trình trên vô nghiệm  bất phơng trình

đã cho vô nghiệm

+ Với m > 1: Ta có: f(u)  1 = f(9)  0  u  9

Xét phơng trình x2 + mx + 1 = 0 có  = m2 – 4

Nếu 1 < m < 2   < 0  (2) vô nghiệm  bất

ph-ơng trình đã cho vô nghiệm

Nếu m > 2   > 0  phơng trình trên có 2 nghiệm

đều thoả mãn (1) và (2)  bất phơng trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm

Nếu m = 2  (2) có nghiệm duy nhất x = -1  bất phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1

Vậy giá trị cần tìm của m là: m = -2

0,50 0,50

0,50

0,50

3b Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx Bài toán trở

thành: tìm m sao cho maxf(x)  2m – 1

Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx

Đặt t = sinx + cosx, Ta có:

f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 22t2 + 2t – 1 với Xét sự biến thiên của g(t) ta có:

Vì f(x)  0 nên ta có:

maxf(x) =

0,25 0,25

0,25 0,75 0,25 0,25

Ta lại có:

Vậy hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi a = 6 và b = 1

0,50 0,25

0,25 0,25

4b Chứng minh đợc:

0,50

0,25

0,50

5 5a Toạ độ giao điểm của 2 elíp (E1) và (E2) là nghiệm

của hệ phơng trình:

Vậy đờng tròn đi qua các giao điểm của 2 elíp là:

0,50

0,50

5b Gọi đờng thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2  0), là

tiếp tuyến chung của (E1) và (P) Ta có:

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là:

1,0 0,50

6

Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ nh hình vẽ Suy

ra ta có: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a ) và

B = Suy ra phơng trình của SB là:

Gọi M(x0; y0; z0) thuộc cạnh SB, ta có:

Mặt khác AMDN 

 x0 – 2ax0 + y0 + z0 = 0

0,25

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,50

S H