Ứng dụng tính đơn điệu, tính liên tục của hàm số trong dãy số và phương trình hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM——————————– HOÀNG VĂN HOAN ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRONG DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

HOÀNG VĂN HOAN

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRONG DÃY SỐ VÀ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

HOÀNG VĂN HOAN

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRONG DÃY SỐ VÀ

PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lê Hoàng Trí

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Ánh xạ 4

1.2 Hàm số 5

1.3 Dãy số 6

1.4 Phương trình hàm 9

CHƯƠNG 2 ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÃY SỐ 11

2.1 Một số định lý và phương pháp 11

2.1.1 Một số định lý 11

2.1.2 Phương pháp 20

2.2 Bài tập 21

CHƯƠNG 3 ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ

PHƯƠNG TRÌNH HÀM 34

3.1 Phương pháp 34

3.2 Bài tập 34

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Angel đã chỉ rõ :" Đối tượng của toán học thuần túy là những quan

hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan Do đó toánhọc là một khoa học rất thực tiễn ” Trong thực tiễn, Toán học có tácdụng mạnh mẽ đối với đời sống, sản xuất và các ngành khoa học kỹ thuậtkhác, mở ra con đường mới giúp cho khoa học đạt tới mức độ chính xác,nhất quán cao Trong nhà trường, việc làm quen với con số và giải nhữngbài tập Toán từ đơn giản đến phức tạp luyện tập cho các em học sinh khảnăng nhạy bén, tư duy logic

Từ thực tiễn giảng dạy bộ môn toán bậc THPT, đa số các em họcsinh chỉ được tiếp xúc với tính đơn điệu, tính liên tục của hàm số vào nămhọc cuối cấp Trong khi đó việc ôn thi học sinh giỏi toán, các cuộc thi tốtnghiệp, đại học thì các dạng toán liên quan đến tính đơn điệu, tínhliên tục của hàm số xuất hiện với mật độ thường xuyên Xuất phát từ nhucầu thực tiễn trong việc dạy và học toán, chúng tôi chọn đề tài "Áp dụngtính đơn điệu, tính liên tục của hàm số để giải một số bài dãy

số và phương trình hàm" làm đề tài nghiên cứu của mình, qua đó gópphần cung cấp thêm tài liệu, nội dung chuyên sâu về ý nghĩa và hiệu quảcủa việc ứng dụng tính đơn điệu và tính liên tục của hàm số, giúp ngườihọc và quá trình giảng dạy trở nên dễ dàng hơn.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Khai thác tính chất đơn điệu, tính liên tục của hàm số trong dãy số

và phương trình hàm Thể hiện được ý nghĩa của tính ứng dụng của toáncao cấp trong việc giải các bài toán sơ cấp

Nâng cao năng lực giải các bài toán bằng phương pháp hàm số.Xây dựng hệ thống phương pháp để giải các bài toán dãy số và phươngtrình hàm

Soạn bài giảng, hệ thống bài tập phục vụ trong công tác dạy và họctrong nhà trường Phát huy niềm đam mê, kỹ năng tư duy toán học trongđối tượng học sinh và giáo viên giảng dạy bộ môn

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là của tính đơn điệu, tính liên tụccủa hàm số

Phạm vi nghiên cứu: tính đơn điệu, tính liên tục của hàm số và ứngdụng trong giải các bài toán dãy số và phương trình hàm

4 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp dữ liệu nhằmchắt lọc dữ liệu quan trọng để rút ra các suy luận logic

Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết nhằm sắp xếp cáctài liệu khoa học thành hệ thống logic của từng vấn đề, tổng hợp các tàiliệu nghiên cứu thành một lý thuyết hoàn chỉnh, giúp hiểu biết đối tượngđược đầy đủ và sâu sắc hơn

5 Bố cục luận văn

Ngoài phần MỞ ĐẦU, KẾT LUẬN và TÀI LIỆU THAM KHẢO, nộidung của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Áp dụng tính đơn điệu, tính liên tục của hàm số để giảimột số bài dãy số

Chương 3: Áp dụng tính đơn điệu, tính liên tục để giải một số phươngtrình hàm

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, trình bày một số định nghĩa, định lý, tính chất vềánh xạ, hàm số, dãy số và phương trình hàm liên quan đến luận văn

Trong chương này chúng tôi xét trên không gian các số thực R vàcác tập X, Y là tập con của R

Các nội dung trong chương này dựa trên các tài liệu [1], [2], [6], [13],[14]

1.1 Ánh xạ

Định nghĩa 1.1.1 Cho hai tập hợp X và Y Một ánh xạ f đi từ X đến

Y là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử xcủa X một phần tử xácđịnh, ký hiệu f (x) của Y, ta viết f : X −→ Y Tập hợp X gọi là nguồnhay miền xác định và tập hợp Y gọi là đích hay miền giá trị của ánh xạ f.Định nghĩa 1.1.2 Ánh xạf : X −→ Y được gọi là đơn ánh nếu với mọi

x1, x2 thuộc X mà x1 6= x2 kéo theo f (x1) 6= f (x2), hay f (x1) = f (x2)kéo theo x1 = x2, hay với mọi y ∈ Y có nhiều nhất một x ∈ X sao cho

y = f (x)

Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là toàn ánh nếu vớimọi y ∈ Y có ít nhất một x ∈ X sao cho y = f (x).

Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là song ánh nếu nóvừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh

1.2 Hàm số

Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ f : D −→ R được gọi là hàm số xác địnhtrên tập số thực (gọi tắt là hàm số) nếu D là tập con khác rỗng của R.Tập D gọi là tập xác định của hàm số f Tập f (D) gọi là tập giá trịcủa hàm số f

Định nghĩa 1.2.2 Xét hàm số y = f (x) có tập xác định D và tập hợpcon khác rỗng M của D

Hàm số f được gọi là đồng biến (hay tăng) trên M nếu với hai sốthực x1, x2 bất kỳ thuộc M thoả mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) ≤ f (x2).Hàm số f được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên M nếu với hai sốthực x1, x2 bất kỳ thuộc M thoả mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) ≥ f (x2).Hàm số f được gọi là tăng thực sự trên M nếu với hai số thực x1, x2

bất kỳ thuộc M thoả mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) < f (x2)

Hàm số f được gọi là giảm thực sự trên M nếu với hai số thực x1, x2bất kỳ thuộc M thoả mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) > f (x2)

Định nghĩa 1.2.3 Hàm số f : D −→ R liên tục tại x0 thuộc D nếu

lim

x→x0f (x) = f (x0)

Tính chất 1.1 Nếu hàm số f đơn ánh và liên tục trên một khoảng nào

đó thì nó đơn điệu trên khoảng đó

Nếu hàm số f xác định và liên tục trên đoạn [a; b] thì nó có giá trịnhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên [a; b]

Định nghĩa 1.2.4 ChoX vàY là hai tập con của R Hàm sốf : X → Y

là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L ≥ 0 sao cho với mọi x1, x2 ∈ Xthì |f (x1) − f (x2)| ≤ L|x1 − x2|

Cho công thức số hạng tổng quát xn.

Dãy số cho bởi theo công thức truy hồi

Dãy số xác định theo cách miêu tả

Phương pháp phương trình đặc trưng.

Định nghĩa 1.3.5 Dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn làa khi ndần tới vôcùng nếu với mọi  > 0 thì tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n > n0

ta có |xn− a| < 

Ta viết: lim

n→∞xn = a ⇔ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0, |xn − a| < .Định nghĩa 1.3.6 Dãy số {xn} có giới hạn là ∞ khi n dần tới vô cùngnếu với mọi số dương M lớn tùy ý thì tồn tại số tự nhiên n0 sao cho vớimọi n > n0 ta có |xn| > M

Ta viết: lim

n→∞xn = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0, |xn| > M.Định nghĩa 1.3.7 Dãy số {xn} hội tụ khi và chỉ khi nó có giới hạn hữuhạn

Định lí 1.3.8 (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ)

Nếu dãy {xn}, {yn} là các dãy hội tụ và có giới hạn lần lượt là a, b.Khi đó các dãy số {xn+ yn}, {xn− yn}, {xn.yn},

nxn

yn

ocũng hội tụ và có

giới hạn tương ứng là a + b, a − b, a.b,a

b (Trong trường hợp dãy số thương

ta giả sử yn 6= 0, ∀n ∈ N∗ và b 6= 0)

Định lí 1.3.9 (Sự hội tụ của dãy đơn điệu)

* Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ

* Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

Tức là ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀m, n > n0, |xn− xm| < 

1.4 Phương trình hàm

Định nghĩa 1.4.1 Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm

số, giải phương trình hàm tức là tìm các hàm số chưa biết đó

Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phầnchính:

* Miền xác định và miền giá trị

* Phương trình hoặc hệ phương trình hàm

* Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn, liên tục, khảvi, )

Người ta phân loại phương trình hàm theo hai yếu tố chính: miền giátrị và số biến tự do

Phân loại Có thể chia thành các loại phương trình hàm như sau:

* Phương trình hàm trên N,Z,Q,R

* Phương trình hàm một biến tự do, hai biến tự do,

* Phương trình hàm trên lớp hàm đơn điệu, lớp hàm liên tục, lớp hàm đathức,

ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI

TOÁN DÃY SỐ

Trong chương này trình bày một số định lý, hệ quả của nguyên lý ánh

xạ co về dãy số Trong phần 2.1 trình bày một số định lý, hệ quả và phươngpháp Trong phần 2.2 trình bày một số bài toán điển hình

Các nội dung trong chương này dựa trên các tài liệu [1], [3], [4], [5], [7],

x = f (x) Như là một mở rộng tự nhiên, chúng tôi quan tâm xem xét sự

hội tụ của dãy truy hồi

x1 ∈ R, xn+1 = f (anxn+ bn) (n ≥ 1), (2.2)

x1 ∈ R, xn+1 = f (anxn+ bn) + g(cnxn + dn) (n ≥ 1), (2.3)

x1 ∈ R, xn+1 = anf (xn) + bng(xn) (n ≥ 1) (2.4)và

x1 ∈ R, xn+1 = f (anxn+ bn)g(cnxn + dn) (n ≥ 1), (2.5)

và các dãy truy hồi phi tuyến cấp hai có dạng:

y1, y2 ∈ R, yn+2 = f (anyn+1+ bn) + g(cnyn + dn) (n ≥ 1), (2.6)

y1, y2 ∈ R, yn+2 = anf (yn+1) + bng(yn) (n ≥ 1) (2.7)và

y1, y2 ∈ R, yn+2 = f (anyn+1+ bn)g(cnyn + dn) (n ≥ 1) (2.8)trong đó (an)∞n=1 và (bn)∞n=1 là hai dãy số hội tụ, các hàm sốf : R → R và

g :R →R là hai hàm số Lipschitz.

Định lí 2.1.1 Cho (an)∞n=1 và (bn)∞n=1 là các dãy số thực hội tụ lần lượtđến a và b Xét hàm số Lipschitz f : R →R với hằng số Lipschitz L thỏamãn |La| < 1 Nếu phương trình x = f (ax + b) có nghiệm thì nghiệm đóduy nhất và dãy truy hồi (xn)∞n=1 cho bởi (2.2) hội tụ đến nghiệm duy nhấtcủa phương trình x = f (ax + b)

Chứng minh Theo giả thiết, phương trình x = f (ax + b) có nghiệm.Giả sử α và β là hai nghiệm của phương trình này Khi đó,

|α − β| = |f (aα + b) − f (aβ + b)| ≤ |La||α − β|

Vì |La| < 1, bất đẳng thức ở trên chỉ xảy ra khi α = β, nghĩa là phươngtrình x = f (ax + b) có nghiệm duy nhất

Ta gọi nghiệm duy nhất này là α

Cố định q sao cho |La| < q < 1 Vì lim

n→∞|Lan| = |La| < q nên tồn tại

n1 ∈ N sao cho |Lan| < q với mọi n ≥ n1 Theo giả thiết

un+1 ≤ qun+ vn (n ≥ n1) (2.9)

Ta chứng minh dãy (un)∞n=1 hội tụ về 0 và do đó dãy (xn)∞n=1 hội tụ đến αnhư yêu cầu

Liên tiếp áp dụng bất đẳng thức (2.9) ta thu được

Với mọi  > 0, vì lim

n→∞qn+1−n1un1 = 0 nên tồn tại n2 ∈ N sao cho

qn < 3M (n3 − n1)với mọi n ≥ n4 Đặt n5 = max {N3, N4}, khi đó

un+1 < 

với mọi n ≥ n0 Do đó lim

n→∞un = 0.Vậy lim

n→∞un = 0 Hay lim

n→∞xn = α

Hệ quả 2.1.2 Cho các dãy số thực (an)∞n=1, (bn)∞n=1, (cn)∞n=1 và (dn)∞n=1hội tụ lần lượt đến a, b, c và d Xét hai hàm số Lipschitz f, g : R → Rvới hằng số Lipschitz L, N thỏa mãn |aL| + |cN | < 1 Nếu phương trình

x = f (ax + b) + g(cx + d) có nghiệm thì nghiệm đó duy nhất và dãy số(xn)∞n=1 được cho bởi (2.3) hội tụ đến nghiệm duy nhất của phương trình

Hệ quả 2.1.3 Cho các dãy số thực (an)∞n=1 và (bn)∞n=1 hội tụ lần lượt đến

a và b Xét hai hàm số Lipschitz f, g : R → R với hằng số Lipschitz L, Nthỏa mãn |aL + bN | < 1 Nếu phương trình x = af (x) + bg(x) có nghiệmthì nghiệm đó duy nhất và dãy số (xn)∞n=1 được cho bởi (2.4) hội tụ đếnnghiệm duy nhất của phương trình này

Hệ quả 2.1.4 Cho các dãy số thực (an)∞n=1, (bn)∞n=1, (cn)∞n=1 và (dn)∞n=1hội tụ lần lượt đến a, b, c và d

Xét hai hàm số Lipschitz f, g : R → R với hằng số Lipschitz L, N thỏamãn |g(x)||aL| < 1, |f (x)||cN | < 1 với mọi x ∈ R Nếu phương trình

x = f (ax + b)g(cx + d) có nghiệm thì nghiệm đó duy nhất và dãy số(xn)∞n=1 được cho bởi (2.5) hội tụ đến nghiệm duy nhất của phương trìnhđó

Định lí 2.1.5 Cho các dãy số thực (an)∞n=1, (bn)∞n=1, (cn)∞n=1 và (dn)∞n=1hội tụ lần lượt đến a, b, c và d Xét các hàm số Lipschitz f, g : R →R vớihằng số Lipschitz L, N thỏa mãn |aL| + |cN | < 1

Nếu phương trình x = f (ax + b) + g(cx + d) có nghiệm thì nghiệm đó duynhất và dãy số (yn)∞n=1 được cho bởi (2.6) hội tụ về nghiệm duy nhất củaphương trình này

Với mọi  > 0, do lim

n→∞Sn = 0 nên tồn tại n1 để cho với mọi n ≥ n1 ta có

n ≥ n0 ta có

un+2 < 

Vì lẽ đó, lim

n→∞un = 0 Bổ đề này được hoàn tất

Nhận xét 2.1 Phương trình x2 − λ1x − λ = 0 có hai nghiệm p, q thỏa

mãn Bổ đề 2.1.6 nếu λ1, λ2 ∈ (0, 1) và λ1 + λ2 < 1.

Nghĩa là mọi dãy truy hồi (xn)∞n=1 thỏa mãn xn+2 ≤ λ1xn+1 + λ2xn+ vn

có thể được viết dưới dạng (2.14)

Chứng minh Định lý 2.1.5

Theo giả thuyết phương trình x = f (ax + b) + g(cx + d) có nghiệm Giả

sử α, β là hai nghiệm của phương trình này Khi đó,

Ký hiệu xn = |yn − α| và

vn = |αL||an − a| + L|bn− b| + |αN ||cn − c| + N |dn − d|

với n ≥ M Khi đó (xn)∞n=1 và (vn)∞n=1 là dãy các số không âm mà theo

nhận xét 2.1 thỏa mãn (2.14) Vì vậy theo Bổ đề 2.1.6 ta có lim

tụ về nghiệm duy nhất này

Chứng minh tương tự chúng tôi có kết quả sau

Định lí 2.1.8 Cho các dãy số thực (an)∞n=1, (bn)∞n=1, (cn)∞n=1 và (dn)∞n=1hội tụ lần lượt đến a, b, c và d Xét các hàm số Lipschitz f, g : R →R vớihằng số Lipschitz L, N thỏa mãn |g(x)||aL| + |f (y)||cN | < 1 với mọi x, y.Nếu phương trình x = f (ax + b).g(cx + d) có nghiệm thì nghiệm đó duynhất và dãy số (yn)∞n=1 được cho bởi (2.8) hội tụ về nghiệm duy nhất này.2.1.2 Phương pháp

Phương pháp 1: Sử dụng các định lý, hệ quả trên

Phương pháp 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

n + 1 xn+

1

4 (n ≥ 1).

1) Khi a = 5 chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn đó

2) Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số đã cho xác định và có giới hạn

≥

2n + 2

n + 1r

x1 = a, x2 ≥ 1

2, x3 ≥ 1, x4 ≥ 2, xn+1 = f (anxn) (n ≥ 4)

Ta có f là hàm số có hằng số Lipschitz L = 1

3 và n→∞lim an = 2 nên áp

dụng Định lý 2.1.1 ta suy ra (xn)∞n=1 hội tụ với mọi giá trị a để dãy số xácđịnh.

4,giải hệ trên ta được α = 3, suy ra lim

2k

k .Lời giải

Ký hiệu xn = n + 1

2n+1

Pn k=1

2k

k , an =

n + 22(n + 1) và f (x) = x Ta được

x1 = 1, xn+1 = f (anxn + an) (n ≥ 1)

Hơn nữaf là hàm số Lipschitz với hằng số LipschitzL = 1 và lim

n→∞an = 1

2thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1.1

Suy ra dãy (xn)∞n=1 hội tụ về nghiệm của phương trình:

α = 1

2α +

1

2.Giải phương trình này ta được α = 1 Do đó:

Hơn nữa f là hàm số Lipschitz với hằng số Lipschitz L = 1 và các

dãy số an và bn hội tụ lần lượt về 1

3 và

2

3 Vì vậy sử dụng Định lý 2.1.1 tasuy ra (xn)∞n=1 hội tụ về nghiệm của phương trình

x = 1

3x +

2

3.Giải phương trình này ta được x = 1, do đó lim

n→∞xn = 1

Bài toán 2.2.4 (Mở rộng bài toán VMO 2015) Xét dãy số (xn)∞n=1

được xác định theo công thức:

Với a ≥ 0 bất kỳ, chứng minh rằng lim

n→∞xn = 1.Lời giải

hội tụ về nghiệm không âm của phương trình:

x = 14

√

x2 + 3 > 0 với mọi x > 0.

Suy ra hàm số f (x) đồng biến trên (0; +∞)

Từ công thức truy hồi ta suy ra với mọi n thì un > 0 và un+1 = f (un)

Hơn nữa u2 = 3

2 +

√3

2 < u1 nên bằng quy nạp ta suy ra (un) là dãygiảm

Do đó ta suy ra (un) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên dãy có giớihạn hữu hạn

Với n = 2 thì (∗) đúng.

Giả sử (∗) đúng với n = k, k ≥ 1 nghĩa là ta có yk ≥ 1 − 2

n.Suy ra:

1

2yn +

n24n2 + a + 1

trong đó n ∈ N∗

1 Với a = 3, chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới

Vậy lim xn = 4.

2 Từ bảng biến thiên ở trên ta suy ra nếu x ∈ [−2; 6] thì f (x) ∈ [0; 4]

Do đó tồn tại giới hạn của dãy số.

Trường hợp 4 Nếua ∈ (0; 4) thì x2 = f (a) ∈ (0; 4), x3 = f (x2) ∈ (0; 4)

Do đó xn ∈ (0; 4), ∀n ≥ 3

Tương tự trường hợp 3 ta suy ra dãy số có giới hạn

Trường hợp 5 Nếua ∈ (4; 6) thì x2 = f (a) ∈ (0; 4), x3 = f (x2) ∈ (0; 4)

Do đó xn ∈ (0; 4), ∀n ≥ 3

Tương tự trường hợp 3 ta suy ra dãy số có giới hạn

Bài toán 2.2.6 (VMO 2018) Xét dãy số (xn)∞n=1 được xác định theo

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.