(Skkn mới nhất) góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp

Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các bài toán về góc trong hình học không gian tổng hợp môn Toán lớp 11 Trang 10 2.1.. Góp phần phát t

1

MỤC LỤC Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 3

1.1 Lý do chọn đề tài Trang 3 1.2 Mục đích của đề tài Trang 4 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 4 1.4 Giới hạn của đề tài Trang 4 1.5 Nhiệm vụ của đề tài Trang 4 1.6 Phương pháp nghiên cứu Trang 4 1.7 Bố cục của đề tài Trang 4

Phần II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Trang 6

Chương 1 Cơ sở lý thuyết và thực tiễn Trang 6 1.1 Khái niệm Trang 6 1.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực Trang 6 1.3 Thực trạng của đề tài Trang 6 1.4 Cơ sở lý thuyết Trang 7 1.5 Cơ sở thực tiễn Trang 7 1.6 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất …… Trang 7 Chương 2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

cho học sinh thông qua các bài toán về góc trong hình học không gian

tổng hợp môn Toán lớp 11

Trang 10 2.1 Một số kiến thức cơ bản Trang 10 2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học

sinh lớp 11 thông qua các bài toán về góc giữa hai đường thẳng trong hình học không gian tổng hợp ………

Trang 18

2.3 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua các bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học không gian tổng hợp ………

Trang 24

2.4 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng trong hình học không gian tổng hợp ………

Trang 34

2

2.5 Hướng dẫn học sinh xây dựng và giải một số bài toán có nội dung thực tiễn, một số hoạt động trải nghiệm thực tế về góc trong hình học không gian tổng hợp ………

Trang 42

Chương 3 Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu Trang 47

Phần III KẾT LUẬN Trang 49 PHỤ LỤC Trang 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 57

Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày

26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh

những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố

cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công

cụ và phương tiện toán học” Trong số những năng lực chung, giải quyết vấn đề là

năng lực hết sức quan trọng cần được hình thành cho học sinh để giải các bài toán bậc THPT Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể cũng chỉ ra: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”

Trong suốt quá trình dạy học, tôi nhận thấy rằng đa số các học sinh đặc biệt

là học sinh trung bình - yếu rất sợ học các chủ đề của hình học không gian tổng hợp trong đó có chủ đề góc và theo thời gian các em sẽ dần lãng quyên rồi không học hình học không gian tổng hợp Là một giáo viên giảng dạy môn Toán tôi luôn băn khoăn trăn trở để tìm các biện pháp nhằm giúp các em tích cực tiếp cận và tìm được nhiều cách giải cho các bài toán về góc trong hình học không gian tổng hợp qua đó tạo sự hứng thú và say mê học tập cho học sinh

Qua thực tiễn dạy học cũng cho thấy sau khi học xong một chủ đề, học sinh vẫn còn gặp khá nhiều khó khăn khi trả lời câu hỏi “Học xong chủ đề này em sẽ giải quyết được những vấn đề nào thường gặp trong thực tiễn?” hay là việc tìm tòi lời giải cho các bài toán thực tiễn liên quan đến các chủ đề đã học Do đó trong quá trình dạy học người giáo viên cần chú trọng thiết kế và tổ chức các hoạt động giáo dục toán học gắn với thực tiễn theo quan điểm học đi đôi với hành, lí luận gắn liền với thực tiễn; thể hiện mức độ cao nhất về sự chiếm lĩnh các kiến thức của người học mà mọi quá trình giáo dục đều hướng tới

Chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 sẽ được áp dụng cho lớp 11 năm học 2023 - 2024 Giáo viên là nòng cốt quyết định cho chất lượng giáo dục, vì thế

sự thay đổi chất lượng giáo dục phải bắt nguồn từ sự thay đổi của chính đội ngũ

4

chung của môn Toán là một trong những giải pháp đầu tiên nhằm thực hiện hóa mục tiêu giáo dục trong giai đoạn đổi mới

Với những lí do nêu trên tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển năng

lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp”

1.2 Mục đích của đề tài

- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

- Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 11

- Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học, thi HSG cấp trường khối 11, thi HSG cấp tỉnh khối 12

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

1.4 Giới hạn của đề tài

Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề góc trong không gian, qua đó góp phần phát triển năng lực giải

quyết vấn đề và khả năng sáng tạo cho học sinh lớp 11

1.5 Nhiệm vụ của đề tài

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giải quyết vấn đề

- Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp thuộc chương trình môn Toán lớp 11 hiện hành

- Định hướng cho học sinh kỹ năng giải các bài toán về góc trong hình học không gian tổng hợp bằng cách vận dụng các kiến thức chương 3 môn hình học lớp 11 chương trình hiện hành, từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

- Hướng dẫn học sinh xây dựng và giải một số bài toán có nội dung thực tiễn bằng cách vận dụng các kiến thức chương 3 môn hình học lớp 11, góp phần phát triển khả năng sáng tạo cho học sinh

1.6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp điều tra quan sát

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

1.7 Bố cục của đề tài

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương

5

Chương 1 Cở sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho

học sinh thông qua các bài toán về góc trong hình học không gian tổng hợp thuộc chương trình môn Toán lớp 11

Chương 3 Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu

6

Phần II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1 Cở sở lí luận và thực tiễn 1.1 Khái niệm

- Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động

nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.”

- Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng

1.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực

- Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau:

+ Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

+ Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm

mĩ, năng lực thể chất

- Theo chương trình GDPT môn Toán năm 2018, yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù là: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học;

năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

1.3 Thực trạng của đề tài

Trong suốt quá trình dạy học, tôi nhận thấy rằng đa số các học sinh đặc biệt

là học sinh trung bình - yếu rất sợ học các chủ đề của hình học không gian tổng hợp trong đó có chủ đề góc Là một giáo viên giảng dạy môn Toán tôi luôn băn khoăn trăn trở để tìm các biện pháp nhằm giúp các em tích cực tiếp cận và tìm

Nội dung của đề tài sẽ tập trung giải quyết các thực trạng đã nêu ở trên

1.4 Cơ sở lý thuyết 1.4.1 Kiến thức cơ bản về chương 3 hình học lớp 11 chương trình hiện

hành: Quan hệ vuông góc trong không gian

1.4.2 Một số bài toán có nội dung thực tiễn

1.5 Cơ sở thực tiễn

Qua khảo sát thực tế của học sinh trường THPT Lê Lợi, hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo Các bài toán có nội dung thực tiễn, liên môn thường ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Để giải được lớp bài toán này học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước chuyển đổi

Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, chúng tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải Cụ thể tháng 4 năm 2021, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Chúng tôi cho học sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau:

HS

Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5

SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 11A1 42 4 9,52% 18 42,86% 18 42,86% 2 4,76%

11A2 42 1 2,38% 12 28,57% 17 40,48% 12 28,57%

1.6 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất

1.6.1 Mục đích khảo sát: Tìm hiểu sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất

1.6.2 Nội dung và phương pháp khảo sát:

Không cấp thiết (không khả thi: 1 điểm

Ít cấp thiết (ít khả thi): 2 điểm Cấp thiết (khả thi): 3 điểm Rất cấp thiết (rất khả thi): 4 điểm

Tính điểm trung bình X theo Excel

1.6.3 Đối tượng khảo sát: 23 giáo viên môn toán bậc THPT 1.6.4 Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất:

a Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đề xuất

2

Quan điểm của Thầy (Cô) về tính khả thi của việc dạy học định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp

3

Quan điểm của Thầy (Cô) về tính khả thi của việc hướng dẫn học xây dựng và giải một số bài toán có nội dung thực tiễn chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp

Từ bảng số liệu trên chúng ta thấy rằng các giải pháp đề xuất trong sáng kiến được đồng nghiệp đánh giá có tính khả thi ở mức khá cao

2.1.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

a Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng a và b

trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a  và b  cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b Ta kí

hiệu:  a b ;    a b   ; 

b Một số chú ý

- Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian

ta có thể lấy điểm O thuộc một trong

hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường

thẳng qua O và song song với đường

thẳng còn lại

- Nếu u v , lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng a và b

trong không gian Khi đó cos  a b ;   cos   u v ;

2

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng    thì góc

giữa d và hình chiếu d  của nó trên    gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt

phẳng   

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng    được kí hiệu là  d ;    

c Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng    cắt nhau:

Bước 1: Tìm giao điểm I của d

b) Tính cosin của góc giữa cạnh SC và mặt phẳng  SAB 

c) Tính sin của góc giữa đường thẳng SM với mặt phẳng  SBC  , trong đó

M là trung điểm của cạnh AC

SK SA AK CSK

;

3 3 4

a a

   

  ;     a b ; 

c Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau    và    :

Bước 1: Xác định giao tuyến d

của    và   

Bước 2: Từ một điểm I bất kỳ trên đường thẳng c ta dựng trong   

đường thẳng a vuông góc với c và

dựng trong    đường thẳng b vuông góc với c Khi đó       ;     a b ; 

Nhận xét:

Để xác định các đường thẳng , a b trong bước 2 ta có thể thực hiện như sau:

+ Dựng mặt phẳng    vuông góc với đường thẳng c

+ Khi đó , a b lần lượt là giao tuyến của    và hai mặt phẳng      , 

d Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau trong các trường hợp thường gặp:

Bài toán gốc 1: Cho hình chóp S ABC có

SA  ABC Dựng góc giữa hai mặt phẳng  SBC 

và  ABC  (chúng ta thường gọi trường hợp này là xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy khi biết đường cao của hình chóp)

Lời giải

Ta có BC   SBC    ABC 

Trong mặt phẳng  ABC  kẻ AH  BC Khi đó BC   SAH   BC  SH

suy ra   SBC   ; ABC     AH SH ;   SHA

Chú ý các trường hợp đặc biệt trong bài toán gốc 1:

+ Nếu tam giác ABC vuông tại B thì H   B   SBC   ; ABC    SBA

+ Nếu tam giác ABC vuông tại C thì H   C   SBC   ; ABC    SCA

+ Nếu tam giác ABC cân tại A thì H là trung điểm của cạnh BC

Do AB CD nên giao tuyến của //

hai mặt phẳng  SAB  và  SCD  là đường thẳng d đi qua đỉnh S và song song với AB

Trong các mặt phẳng  SAB  và  SCD  lần lượt kẻ các đường thẳng , a b đi qua S vuông góc với các đường thẳng AB CD Khi đó ,   SAB   ; SCD     a b ; 

Bài toán gốc 3: Cho tứ diện ABCD có

BC  AHD  BC  HD Suy ra   ABC   ; DBC     AH DH ; 

Bài toán gốc 4: Cho tứ diện ABCD có

e Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng thông qua diện tích hình chiếu của một đa giác:

Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng    có diện tích S và H’ là hình chiếu

vuông góc của H trên mặt phẳng    và H’ có diện tích S  , góc giữa hai mặt

H K lần lượt là hình chiếu của A trên

;

d A AH

Lời giải

a) Áp dụng bài toán gốc 1 ta có góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  là

góc SBA Trong tam giác SBA ta có:

2 2

2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua các bài toán về góc giữa hai đường thẳng trong hình học không gian tổng hợp

Ví dụ 2.1 (Sáng tác) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  2 , a BC  a ; SAB  SCB  90 0 ; M là trung điểm của AB , biết góc giữa đường thẳng SA và  ABC  bằng 45 0 Tính cosin của góc giữa hai đường

thẳng SB và CM

Lời giải

Gọi D là hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng  ABCD  Khi đó:

Để tính góc giữa hai đường thẳng SB và CM giáo viên có thể hướng dẫn

học sinh thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1: Đưa về bài toán tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau:

Gọi N là trung điểm của cạnh SA Khi đó

Ví dụ 2.2 (Sáng tác) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  2 , a BC  a ; SAB  SCB  90 0 ; N là trung điểm của SA , biết

20

góc giữa đường thẳng SA và  ABC  bằng 45 0 Tính sin của góc giữa hai đường

thẳng CN và mặt phẳng  SDK  , trong đó K là trung điểm của cạnh BC

thẳng CN và CM

Gọi  là góc giữa đường thẳng

CN và  SDK  Khi đó sin   cos 

5 sin cos

NC MC MN

NC MC

Ví dụ 2.3 (Sáng tác) Cho hình lập phương ABCD A B C D     , điểm M

thuộc cạnh AB thỏa mãn MB  2 MA , N là trung điểm của cạnh DD 

a) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và AC 

b) Tính tan của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng  CB D   

21

Cách 2 : (Đưa về góc giữa hai đường thẳng cắt nhau) :

Dựng hình bình hành AMNQ Khi đó MN AQ //   AC MN  ;    AC AQ  ;  Xét tam giác AQC  , ta có :

Ví dụ 2.4 (Sáng tác) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có

A A   A B   A C  ; tam giác ABC vuông tại A, AB  1, AC  3 Tính chiều cao

của hình chóp biết cosin của góc giữa hai đường thẳng A B  và B C  bằng 35

14

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của A  trên  ABC 

Do A A   A B   A C  nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  mà tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của cạnh BC

Đặt A H    x 0 Gọi M N , lần lượt là trung điểm của các cạnh BB A B    , Khi đó:

MN A B MH B C   Do đó góc giữa hai

đường thẳng A B  và B C  bằng góc giữa hai

đường thẳng MN và MH Xét tam giác MNH , ta có:

4

NH  A H   A N   x 

x x

a) Chứng minh rằng MO   ABCD  b) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và SC Chứng minh rằng cos BC

23

Do đó H  O , vì vậy MO   ABCD 

Vì AB / / CD nên góc giữa hai đường thẳng

AB và SC là góc giữa hai đường thẳng CD và ,

cos   cos SCD  1 sin  SCD (*)

Gọi điểm I là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng  SCD 

2

MD  MC  SA nên  SDA vuông tại D Mặt khác lại có MS  MD  MC suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp  SCD Khi đó sin

Ví dụ 3.1 (Sáng tác) Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 Gọi M N , lần lượt là trung điểm của các cạnh C D 1 1 và A D 1 1 Gọi M N , lần lượt là trung điểm của các cạnh C D A D 1 1 , 1 1 Tính cosin của góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau :

Ví dụ 3.2 (Sáng tác): Cho hình chóp S ABCD có SD   ABCD  ; ABCD

là hình thang vuông tại A và B ; AD  2 AB  2 BC  2 a Góc giữa cạnh SA và

mặt đáy bằng 45 0 Gọi M N , lần lượt là trung điểm của các cạnh SA BC Tính , cosin của góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:

Gọi E là trung điểm của cạnh

AD Khi đó ABCE là hình vuông suy

ra CE  AD Do  SAD    ABCD  suy

ra CE   SAD  suy ra hình chiếu của

SC trên  SAD  là SE Do đó góc giữa

28

Ví dụ 3.3 (Sáng tác): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi

cạnh a ABC ,  60 0 , SA   ABCD  ; góc giữa SC và mặt đáy bằng 45 0 Điểm M thuộc cạnh SB thỏa mãn SM  2 MB , G là trọng tâm của ABD  Tính cosin của các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:

 SAB    ABCD  nên ta có: DH   SAB  suy ra SH là hình chiếu của SD trên

 SAB  suy ra góc giữa SD và  SAB  là góc DSH

Ta có sin DSH DH

SD

 , trong đó:

3 sin