Chính vì vậy giáo viên luôn phải tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, biết áp dụng các phương pháp dạy học hiện đại để từ đó tìm ra những b
Trang 1PHẦN I: MỞ ĐẦU 1
1 Lý do chọn đề tài 1
2 Nhiệm vụ đề tài 2
3 Mục đích nghiên cứu 2
4 Đối tượng, thời gian nghiên cứu 2
5 Phương pháp nghiên cứu 2
PHẦN II: NỘI DUNG 3
I Cơ sở lí luận 3
II Cơ sở thực tiễn .3
1 Thuận lợi 3
2 Khó khăn 3
III Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4
IV Một số phương pháp tính tổng các phân số viết theo quy luật 5
1 Phương pháp đặt thừa số chung để rút gọn 5
2 Phương pháp tách các số hạng để tạo ra dãy khử liên tiếp 6
3 Sử dụng nhân với một số, cộng, trừ biểu thức để tạo ra dãy khử liên tiếp 9
4 Các bài toán tổng hợp 9
V Kết quả thực hiện 12
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 14
1 Kết luận 14
2 Khuyến nghị 14
TÀI LIỆU THAM KHẢO 16
Trang 2PHẦN I: MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài:
Chúng ta đã biết toán học có nhiều lợi ích đối với giáo dục và cuộc sống tương lai Toán học chiếm một phần rất lớn trong cuộc sống hằng ngày của chúng ta Toán học có thể ứng dụng vào tất cả các môn khoa học cũng như công nghệ và nhiều khía cạnh khác trong cuộc sống Không phải ai cũng trở thành nhà một nhà toán học hay kĩ sư nhưng toán học chắc chắn sẽ mang lại cho trẻ khả năng phân tích suy luận và tìm ra giải pháp hiệu quả, từ đó xây dựng kĩ năng cần thiết để giải quyết nhiều vấn đề đa dạng trong cuộc sống
Học toán ở bậc THCS tiếp tục cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản thiết thực Hình thành kĩ năng tính toán, rèn luyện khả năng suy luận hợp lý
và hợp lôgic Đồng thời bồi dưỡng các phẩm chất đạo đức, tính độc lập linh hoạt
và sáng tạo Hoạt động trong học toán chủ yếu là ghi nhớ kiến thức cơ bản, hiểu
và vận dụng một cách linh hoạt và sáng tạo trong thực hành giải các dạng bài toán Mong muốn tự mình làm tốt các dạng bài toán là nguyện vọng của nhiều học sinh phổ thông và cũng là nhiệm vụ của giáo viên khi dạy học toán theo chương trình và sách giáo khoa mới Chính vì vậy giáo viên luôn phải tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, biết áp dụng các phương pháp dạy học hiện đại để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn toán
Qua nhiều năm giảng dạy tại trường THCS tôi thấy trong các đề thi học sinh năng khiếu khối 6, khối 7 thường gặp những bài toán tính tổng hữu hạn các phân số lập thành dãy số theo một quy luật nào đó mà trong chương trình học không có một bài học cụ thể nào về dạng này Khi gặp những bài toán dạng này thì hầu hết các em thường tỏ ra rất lúng túng và bối rối, làm bài còn nhầm lẫn dẫn đến kết quả sai, đó là do các em chưa hiểu rõ bản chất và nắm chắc phương pháp giải loại toán này Để giải các bài toán dạng này thông thường ta biến đổi
để làm xuất hiện các số hạng đối nhau để tạo ra dãy khử liên tiếp, sau khi thu gọn ta được một số ít số hạng mà ta dễ dàng tính được, hoặc tạo ra thừa số chung để rút gọn
Năm học này, tôi được nhà trường giao cho nhiệm vụ giảng dạy bộ môn toán tại lớp 6A2 là một trong hai lớp có nhiều học sinh khá giỏi của nhà trường Với mục đích nâng cao chất lượng dạy học, đổi mới phương pháp dạy học, trang
bị cho các em học sinh một số phương pháp và kĩ năng cơ bản khi tính tổng các phân số viết theo quy luật Chính vì vậy tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm:
Trang 3“Hướng dẫn học sinh áp dụng một số phương pháp tính tổng các phân số viết
theo quy luật”.
2 Nhiệm vụ của đề tài
- Nghiên cứu lí do chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh áp dụng một số phương pháp tính tổng các phân số viết theo quy luật”.
- Xây dựng hệ thống bài tập “Bài toán tính tổng các phân số viết theo quy luật” với các phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài
- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập “Bài toán tính tổng các phân số viết theo quy luật” trong giảng dạy.
- Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu
3 Mục đích nghiên cứu:
- Chia sẻ kinh nghiệm với giáo viên Toán THCS
- Giúp học sinh biết cách định hướng và giải bài tập một cách tốt nhất
- Phát huy trí lực, rèn luyện khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ
- Tạo cho học sinh lòng ham mê, yêu thích học tập, đặc biệt là học toán bằng cách phân loại và cung cấp phương pháp giải cho các dạng bài toán từ cơ bản, đơn giản phát triển thành các bài phức tạp
- Khuyến khích học sinh giỏi tìm ra nhiều cách giải cho một bài tập để cho học sinh nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó tìm ra nhiều cách giải hay và có thể phát triển bài toán mới
- Giúp học sinh tự tin, không bỡ ngỡ khi giải dạng bài toán này trong các kì thi khác nhau ở bậc học THCS
- Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập môn Toán THCS
4 Đối tượng và thời gian nghiên cứu
- Học sinh lớp 6A2 của Trường THCS Tả Thanh Oai học kỳ 2 năm học
2019 - 2020 và năm học 2020 - 2021
5 Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện sáng kiến này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:
5.1) Đọc tài liệu và sách tham khảo
5.2) Phương pháp khảo sát thực tiễn
5.3) Phương pháp quan sát sư phạm
5.4) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa
5.5) Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm
Trang 4PHẦN II: NỘI DUNG
I Cơ sở lí luận:
Trong chương trình số học ở trường THCS nói chung, số học 6 nói riêng, dạng toán tính tổng các phân số viết theo quy luật có vai trò quan trọng vì nó rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh rất nhiều, không những thế nó còn giúp học sinh học tốt dạng toán tìm x có chứa dãy số viết theo quy luật, dạng toán chứng minh bất đẳng thức mà một vế là tổng các phân số viết theo quy luật, so sánh, Ngoài ra nó còn vận dụng vào tính tổng các phân số viết theo quy luật và giải phương trình ở lớp 8 Tuy dạng toán tính tổng của các phân số viết theo quy luật không phải là dạng khó của phần số học song nhiều học sinh chưa nắm được và chưa làm thành thạo, mà trong khi đó dạng bài toán này lại xuất hiện nhiều trong các kì thi hết học kỳ 2, đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 ở các quận huyện Thế nhưng sách giáo khoa không đề cập đến một bài toán nào về tính tổng các phân số theo quy luật, sách bài tập chỉ có bài 87, 95 và một số bài
bổ sung Từ đó trong quá trình giảng dạy tôi xây dựng phương pháp và hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán tính tổng các phân số viết theo quy luật
II Cơ sở thực tiễn:
Năm học 2020 - 2021 tôi được phân công giảng dạy môn toán lớp 6A2 là một trong hai lớp có nhiều học sinh khá giỏi của trường gồm 49 học sinh, trong
đó có 26 nam và 23 nữ
1 Khó khăn:
- Sự tiếp thu bài của học sinh là không đồng đều
- Học sinh còn mải chơi và lười suy nghĩ
- Những gia đình buôn bán, làm tự do thì không có điều kiện quan tâm chăm sóc, ít quan tâm kiểm tra đôn đốc các em học hành Vì vậy các em chịu không ít thiệt thòi
2 Thuận lợi:
- Đa số các em đều là học sinh ngoan ngoãn lễ phép và yêu quý lớp học của mình
- Đa số phụ huynh quan tâm đến việc học của các con
- Phụ huynh rất tin tưởng gửi gắm con em mình cho thầy cô giáo và nhà trường
- Nhà trường tổ chức học bồi dưỡng cho học sinh vào một số buổi chiều trong tuần nên giáo viên có điều kiện bổ sung kiến thức bị hổng và rèn luyện thường xuyên cho học sinh về mọi mặt
- Đội ngũ giáo viên đều nhiệt tình, tâm huyết với nghề và đều có trình độ chuẩn và trên chuẩn
Trang 5III Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trước khi triển khai tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em học sinh lớp 6A2 trong việc giải một số bài toán về dãy phân số viết theo quy luật trong 10 phút đầu giờ hoặc cuối giờ qua một số bài tập sau
Bài 1: Tính : A 2 2 2 2
1.3 3.5 5.7 99.101
Bài 2: Tính: B 5 5 5 5
3.7 7.11 11.15 107.111
Bài 3: Tính:
1
59 117 271 C
5 10 15 2
59 117 271
Bài 4: Tính: 1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 28.29.30
D
* Thống kê kết quả:
Bài Sĩ số Điểm < 5đ 5đ - 6,4 đ 6,5đ - 7,9đ 8đ - 10đ
*Nhận xét:
Sau khi kiểm tra và chấm bài lớp 6A2 của trường tôi nhận thấy học sinh còn những tồn tại như sau:
- Học sinh có nhiều em còn chưa biết cách giải một số bài toán đơn giản về tính tổng dãy phân số dạng như bài kiểm tra
- Một số em biết làm nhưng lời giải trình bày còn dài dòng và rắc rối, nhầm lẫn, chưa biết cách tìm ra quy luật của dãy số
- Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới
* Trước thực trạng của lớp, vấn đề đặt ra cho tôi là làm thế nào để giúp học sinh của lớp tiếp thu được nội dung bài học Kích thích sự ham mê học toán và làm bài tập ở nhà Tôi nghĩ mình phải tìm tòi, hệ thống lại kiến thức rồi đưa ra các phương pháp giải các dạng toán từ dễ đến khó để học sinh nắm bắt được và làm tốt các bài toán tính tổng các phân số viết theo quy luật không chỉ trong các bài thi cuối kì mà trong cả các kì thi học sinh giỏi, học sinh năng khiếu
IV Một số phương pháp tính tổng các phân số viết theo quy luật:
Trang 6Hệ thống các dạng toán từ dễ đến khó, với mỗi dạng có phương pháp giải, công thức tổng quát dễ áp dụng, từ đó ra thành nhiều bài toán để học sinh có thể rèn luyện.
1. Phương pháp đặt thừa số chung để rút gọn:
1.1: Ví dụ: Tính nhanh:
189 271 123 291 a) A
189 271 123 291
6 9 12 3
187 293 731 b) B
2
187 293 731
*Phân tích bài toán: Đối với dạng toán này học sinh dễ dàng nhận ra đặc
điểm là các phân số trên tử và các phân số dưới mẫu của A và B có tử giống nhau hoặc có thừa số chung, mẫu của các phân số đó tương ứng nhau, từ đó tìm
ra cách giải đặt thừa số chung ra ngoài rồi rút gọn bài toán
*Giải:
5
189 271 123 291
189 271 123 291 a) A
7.
189 271 123 291 189 271 123 291
6 9 12 3 1
187 293 731 b) B
187 293 731 187 293 731
1.2: Phương pháp giải:
Biến đổi làm xuất hiện các thừa số chung trên tử và dưới mẫu, rồi đặt nhân tử chung và rút gọn
1.3: Bài tập mở rộng:
Từ việc học sinh nắm được đặc điểm của dạng toán này và phương pháp giải, tôi có thể đưa ra các bài toán dạng này trong các đề thi học sinh giỏi:
*Bài toán 1: Tính nhanh:
1, 4 1 0,875 0,7
9 11 6
(Đề khảo sát HSG thành phố Vinh năm 2020 - 2021)
*Bài toán 2:Tìm x, biết:
5 5
4 11 x
10,5 2,1
4 11
(Đề Olympic toán 6 huyện Quốc Oai năm 2020 - 2021)
2. Phương pháp tách các số hạng để tạo ra dãy khử liên tiếp:
Trang 72.1: Ví dụ: Tính tổng
) 1 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 49.50 50.51
b) B 1 1 1 1
25.27 27.29 29.31 73.75
) 1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 48.49.50
c C
* Phân tích bài toán:
Trong biểu thức A ta thấy dưới mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp, tử
là hiệu của hai thừa số dưới mẫu 1 = 2 - 1 = 3 - 2 = 4 - 3 = = 50 - 49 = 51 - 50
Do đó ta có thể biến đổi tổng A như sau:
2 1 3 2 4 3 50 49 51 50
1.2 2.3 3.4 49.50 50.51
1.2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 50.51 50.51
A
Trong biểu thức B ta thấy mẫu là tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp, tử chưa bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu, vậy ta phải nhân thêm cả hai vế với 2 để tạo ra quy luật và tách thành dãy khử liên tiếp
Trong biểu thức C ta thấy mẫu là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp và biến đổi để tử bằng hiệu của thừa số cuối và thừa số đầu trong mẫu, rồi tách thành dãy khử liên tiếp
Trong dạng toán này học sinh thường mắc sai lầm là chưa biến đổi để tử bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu đã tách mỗi số hạng thành hiệu hai phân số và trong hiệu được tách thì tử của phân số bị trừ và phân số trừ không là 1
Ví dụ HS thường tách sai như sau:
D 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
3.7 7.11 11.15 107.111 3 7 7 11 11 15 107 111
3.7 7.11 11.15 107.111 3 7 7 11 11 15 107 111
*Giải
a) Ta thấy: 1 = 2 - 1 = 3 - 2 = 4 - 3 = = 50 - 49 = 51 - 50
Do đó ta có thể biến đổi tổng trên như sau:
2 1 3 2 4 3 50 49 51 50
1.2 2.3 3.4 49.50 50.51
1.2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 50.51 50.51
A
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 49 50 50 51
1 1 51 1 50
1 51 51 51
Trang 81 1 1 1
25.27 27.29 29.31 73.75
25.27 27.29 29.31 73.75
25 27 27 29 29 31 73 75
25 75 75
c) 1 1 2 ; 1 1 2 ; ; 1 1 2
1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 48.49 49.50 48.49.50
Ta có:
1.2.3 2.3.4 3.4.5 48.49.50
1.2 2.3 2.3 3.4 48.49 49.50 1.2 49.50 1225
306
1225
A
A
A
Từ phần c, ta rút ra tổng quát:
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2)
2.2: Phương pháp giải:
Ta dùng công thức tổng quát sau để biến đổi mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau rồi khử liên tiếp, người ta gọi là phương pháp khử liên tiếp Còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng, lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng
a.(a 1) a a 1
b.(b m) b b m
b(b m)(b 2m) b(b m) (b m)(b 2m)
2.3: Bài tập mở rộng:
*Bài toán 1: Tính các tổng sau:
15.18 18.21 21.24 87.90
3.7 7.11 11.15 107.111
1.3 3.7 7.12 12.13 13.20 20.23 23.25
Trang 9*Bài toán 3: Tính nhanh: A 1 1 1 1 1
1.10 10.3 3.20 95.20
Ta thấy mẫu của các phân số là tích của hai số tự nhiên nhưng chưa tạo ra quy luật để tách theo dạng tổng quát phương pháp khử liên tiếp Từ đó ta nhân thêm cả tử và mẫu với 5 để tạo ra quy luật trên
*Bài toán 4: Tính nhanh
7 13 19 25 31 37
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 17.20
*Bài toán 5: Bài toán tổng quát cho các phân số có mẫu là tích của
nhiều số tự nhiên liên tiếp:
1
1
4 3 2
1
3 2 1
1
m n n
n n m
m
S n
Ta có ngay
1
3 2 1
1 1
3 2 1
1 1
1
m n n
n n m
m
S n
với m=2;3;4 n=1; 2; 3……
*Bài toán 6: Tính tổng
S n = 2 2 ( 1 )2
1 2
) 3 2 (
5 )
2 1 (
3
n n n
) 1 (
1 1
) 1 (
1 2
2 2
i i i
i
i
i = 1 ; 2 ; 3; ; n
1 1
3
1 2
1 ) 2
1
n
n = 1 - 2 ( 1 ) 2
) 2 ( ) 1 (
1
n n n
*Một số bài tập áp dụng:
Tính các tổng sau:
1 1 1 1 1 1 1
2 6 12 20 30 42 56
1.4 4.7 2002.2005
15.22 22.29 85.92
A
B
C
7 §S :
8 668 §S :
2005 11 §S :
460
1.3 3.5 2 1 2 1
D
n E
2
n §S :
2n 1 n §S :
H
(Đề HSNK khối 6 huyện Thanh Trì năm 2020 - 2021)
Trang 103 Phương pháp sử dụng nhân với một số, cộng, trừ biểu thức để tạo ra dãy khử liên tiếp:
3.1: Ví dụ: Tính tổng: A 1 12 13 1001
*Phân tích bài toán:
Ta thấy dạng toán này có mẫu là lũy thừa của cơ số 3 nên để tạo ra dãy khử liên tiếp ta tính 3A - A, rồi tính A
*Giải:
2 3 100
2 99
3A 1
3.2: Phương pháp giải:
Ta thấy dạng toán này có mẫu là lũy thừa của cùng một cơ số a Ta nhân
cả 2 vế của biểu thức đã cho với a ta được biểu thức mới Sau đó cộng hoặc trừ biểu thức mới với biểu thức đã cho để tạo ra dãy khử liên tiếp
Từ bài trên ta rút ra tổng quát:
n n 1 n 2 n
1
a B
a 1 a (a 1) a
3.3: Bài tập mở rộng:
*Bài toán 1: Tính tổng: 2 3 99 100
*Bài toán 2: Tính tổng: 3 5 201
*Bài toán 3: Tính tổng: C 4 42 43 2004
4 Các bài toán tổng hợp
4.1: Dạng 1: Tìm x:
*Bài toán 1: Tìm x nếu
1 1 1 . 2014 2014 2014 2014
1.2 3.4 99.100 51 52 99 100
Giải