057B đề vào 10 toán 21 22 tỉnh đại học khoa học huế

1,0 điểm Một xe máy và một xe ô tô cùng khởi hành đi từ Ađến.. Hãy tính quãng đường AB?. Câu 4.. Trên xy lấy điểm Anằm ngoài đoạn , EF vẽ hai tiếp tuyến ABvà AC với  O Gọi H là... OI O

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề gồm 02 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2021

Khóa ngày 31 tháng 5 năm 2021 Môn thi TOÁN (VÒNG 1) Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức A  7 4 3  7 4 3

b) Giải phương trình : 3x2  14x 5 0

c) Giải hệ phương trình :







Câu 2 (1,5 điểm) Cho đường thẳng  d có phương trình y m2  2m4x3

a) Vẽ đường thẳng  d khi m 1

b) Tìm m để đường thẳng  d song song với đường thẳng y 4x m 1

c) Tìm m để đường thẳng  d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn nhất

Câu 3 (1,0 điểm) Một xe máy và một xe ô tô cùng khởi hành đi từ Ađến B Xe máy

đi với vận tốc 40km h xe ô tô đi với vận tốc 60 / / , km h Sau khi mỗi xe đi được

1 2 quãng đường thì xe ô tô nghỉ 40 phút rồi chạy tiếp đến ;B xe máy trên

1

2 quãng đường còn lại đã tăng vận tốc thêm 10km/h nhưng vẫn chậm hơn xe ô tô

1

2 giờ Hãy tính quãng đường AB?

Câu 4 (2,0 điểm) Cho phương trình x2  2a 1x2a 5 0  1

a) Chứng minh rằng, phương trình  1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a

b) Tìm giá trị của a để phương trình  1 có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện 2 2

x x  c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1, 2không phụ thuộc vào a

Câu 5 (3,0 điểm) Cho đường tròn O R Một cát tuyến xy cắt ;   O tại E và F Trên

xy lấy điểm Anằm ngoài đoạn , EF vẽ hai tiếp tuyến ABvà AC với  O Gọi H là

trung điểm EF

a) Chứng tỏ 5 điểm , , , ,A B C O H cùng nằm trên một đường tròn

b) Đường thẳng BC cắt OA và OH lần lượt tại I và K Chứng minh

OI OA OH OK R 

c) Chứng minh KE KF là hai tiếp tuyến của đường tròn (O),

ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN – THPT

CHUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC 2021 Câu 1.

a) Tính giá trị của biểu thức A  7 4 3  7 4 3

Ta có:

VậyA 2 3

b) Giải phương trình : 3x2  14x 5 0

Ta có:   '  72  3 5  64 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

2

5 3

x

x









Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

1 5;

3

S   

c) Giải hệ phương trình







Ta có :

25 100

3

4

x

x





 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y ;  4;3

Câu 2.

a) Vẽ đường thẳng  d khi m 1

Với m  ta có 1  d :y 3x3

Ta có bảng giá trị

x



Vậy với m  thì đồ thị hàm số 1  d :y3x là đường thẳng đi qua hai điểm3

0;3 ; 1;0  

b) Tìm m để đường thẳng  d song song với đường thẳng y 4x m 1 Đường thẳng  d :ym2  2m4x3

song song với đường thẳng y 4x m 1

0 2

2

m

m m

m

 

 Vậy m  thỏa mãn bài toán 0

c) Tìm m để đường thẳng  d tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích

lớn nhất

Xét đường thẳng  d :ym2  2m4x3

Ta có m2  2m 4 m2  2m  1 3 m 12   (với mọi m)3 0

 d

 là đường thẳng luôn cắt hai trục tọa độ với mọi m

Gọi ,A B lần lượt là giao điểm của  d với , Ox Oy

Với x 0 y 3 B0;3

Khi đó ta có: Tam giác tạo bởi đường thẳng  d với hai trục tọa độ là OAB

2

2 2

2

OAB

m m

AOB

S

 lớn nhất  2

1

m



  lớn nhất  m 12  nhỏ nhất3

Ta có: m  12   (với mọi )3 3 m

Dấu " " xảy ra  m 1 0  m1

Vậy m  thỏa mãn bài toán 1

Câu 3.

Gọi độ dài quãng đường AB là x km DK x    : 0

Đổi 40 phút

2

3h



Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB (tính cả thời gian nghỉ) là 2 

60 3

x

h



Thời gian xe máy đi

1

2 quãng đường đầu là : 2: 40 80 

h



Thời gian xe máy đi hết

1

2 quãng đường còn lại là : 2: 50 100 

h



Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là 9  

80 100 400

h

Vì xe máy vẫn đến B chậm hơn xe ô tô là

1

2 giờ nên ta có phương trình:

200( )



Vậy độ dài quãng đường AB là 200km

Câu 4.

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của a

Ta có :  ' a 12  1 2 a 5 a2 2a 1 2a 5 a2 4a 6 a 22  2 0

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a

b) Tìm giá trị của a để phương trình (1) có hai ngiệm thỏa x12 x22 6

Theo câu a, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a

Áp dụng hệ thức Vi et ,ta có:

 

 

1 2





 Theo đề bài ta có : x12 x22 6

2

2

2

2

2

1

a

a





 Vậy a2,a thỏa mãn yêu cầu bài toán 1

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1; 2không phụ thuộc vào a

Theo câu a) với mọi giá trị của a thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta có :x x1 2 2a 5 2a x x 1 2 5

Thay 2a x x 1 2 5vào x1x2 2a 1ta có :

3 0

Vậy hệ thức liên hệ giữa x x1; 2không phụ thuộc vào a là x1x2  x x1 2  3 0

Câu 5.

I

H

C

B

O E

F

A

a) Chứng tỏ 5 điểm , , , ,A B C O H cùng nằm trên một đường tròn

Vì AB AC là các tiếp tuyến của ,  O tại , B C nên OBAOCA90 gt

90 90 180

OBAC

 là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OA (1)

Ta có H là trung điểm của EF gt   OH EF(tính chất đường kính dây cung)

90

     thuộc đường tròn đường kính OA  2

Từ  1 và  2 suy ra 5 điểm , , , ,A B C O H cùng nằm trên một đường tròn

b) Đường thẳng BC cắt OA và OH lần lượt tại I và K Chứng minh

2

OI OA OH OA R 

Ta có : OB OC R   O thuộc đường trung trực của BC

AB AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) A thuộc đường trung trực của BC

OA

 là trung trực của BC OA BC tại I

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB ta có :

 

OI OA OB R

Xét OIK và OHA có :

90 ;

  ∽   

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

 

OI OA OH OK

Từ    3 , 4  OI OA OH OK  R dfcm2 

c) Chứng minh KE KF là hai tiếp tuyến của đường tròn ,  O

Theo ý b, ta có :

Xét OEH và OKE có : EOK chung, OH OEcmt

OE OK

  ∽      (2 góc tương ứng)

KE

 là tiếp tuyến của  O tại E

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có

Xét OFH và OKF có : FOK chung, OH OF cmt

OF OK

  ∽      (2 góc tương ứng)

KF

 là tiếp tuyến của  O tại F

Vậy KE KF là hai tiếp tuyến của đường tròn ,  O dfcm( )