045 đề thi hsg toán 9 tỉnh bình định 2018 20119

Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1.. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút Bài 1 (5,0 điểm)

1 Tính giá trị biểu thức A x 3 y3  3x y ,biết rằng:

2 Cho hai số thực ,m n khác 0 thỏa mãn

1 1 1

2

Chứng minh rằng phương trình x2 mx n x   2nx m  0

luôn có nghiệm

Bài 2 (5,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2 3

1

4 5

   





 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2xy  x y 1 x 2y xy

Bài 3 (3,0 điểm )

1 Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh

là các điểm đã cho không lớn hơn 1 Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1

2 Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn a b c   Chứng minh rằng:3

a b  b c  c a  

Bài 4 (7,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi D là trung điểm của cạnh BC Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD (M không trùng với A) Gọi , N P theo thứ tự là

hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB AC và H là hình chiếu vuông,

góc của N lên đường thẳng PD.

a) Chứng minh rằng AH BH

b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I

Chứng minh ba điểm , ,H N I thẳng hàng.

2 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O đường cao , AH Gọi M là

giao điểm của AO và BC Chứng minh rằng 2

HC  MC  AC Dấu bằng

xảy ra khi nào?

ĐÁP ÁN Câu 1.

1.Đặt x3 3 2 2 3 3 2 2   , khi đó:a b

3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2

Đặt y 317 12 2  317 12 2  c d, khi đó:

3 17 12 2 17 12 2 3 17 12 2 17 12 2

34 3 3 34(2)

Từ (1) và (2) suy ra A x 3 y3 3x y  x3 y3 3x 3y 6 34 40

2.Ta có:

2

1 1 1

2



Ta có:    

2

2

0 (1) 0

0 (2)

   

  

 Phương trình (1) là PT bậc hai có  1 m2  4n

Phương trình  2 là phương trình bạc hai có 2

2 n 4m

  

Do đó

                

Suy ra trong 1và 2có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 0

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm

Câu 2.

2

3

1 (1)

4 5 (2)

   





PT  1  x2xy y  1 0(3)

PT (3) là phương trình bậc hai ẩn x có  y2  4y 4 y 22 0

Do đó có hai nghiệm    

Thay y  x vào phương trình (2) ta có:1

 

 

2 3

2

3

2 3

2 3

1 1

1 0

1

1

x x

x

x

x x

           

  







Vậy hệ phương trình có nghiệm x y ;  1;0

2.2xy2  x y 1 x2 2y2 xy  x2  x2y2  y12y2 y 1 0 (1)

Đặt 2y2  y  khi đó PT (1) trở thành: 1 a, x2  ax a  2 0(2)

Phương trình (2) có  a2  4a 8 a 22 4

Phương trình (1) có nghiệm nguyên nên phương trình (2) có nghiệm nguyên

  là số chính phương

Đặt a 22  4 k k2  k2  a 22  4 k a  2 k a 2 4

Vì k a  2+k a 2 2klà số chẵn và có tích cũng là số chẵn nên

k a  2và k a 2là số chẵn

     

     

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm :

2

2

2 2

2

2 2

0

x

x







Ta có

1( )

( ) 2







        

 

 Vậy nghiệm nguyên của phương trình x y ;   2;1 ; 0;1   

Câu 3.

1.Gọi A A i jlà hai điểm xa nhau nhất trong các điểm thuộc tập hợp 8073 điểm đã

cho Giả sử A klà điểm cách xa đoạn thẳng A A i jnhất Khi đó:

Tam giác A A A i j k

là tam giác lớn nhất và có diện tích không lớn hơn 1,

Vẽ các đường thẳng đi qua các điểm A A A i, ,j klần lượt song song với các cạnh của

A A A



Ta được 4 tam giác nhỏ bằng nhau và một tam giác lớn chứa cả 4 tam giác nhỏ Tam giác lớn có diện tích không quá 4 đơn vị Do đó, tam giác lớn chứa tất cả

8073 điểm đã cho

Ta có 8073 chia 4 được 2018 và dư là 1 nên theo nguyên lý Dirichle suy ra có ít nhất 1 trong 4 tam giác chứa 2019 trong 8073 điểm đã cho

2 Đặt P a b 3 1 b c3  1 c a3 1suy ra:

Không mất tính tổng quát , ta giả sử b c a  ta có:

b a c c b    abc b c ab  bc  ab bc ca abc b c ca 

a b a b

 2

4

a b c

Do đó 2P10 P Dấu " "5.  xảy ra

0, 1, 2 2

2

c a b



 





Câu 4.

1

I

H

P N

A

B

M

a) Ta có ADBC tại D(vì ABC vuông cân tại A)

ANM APM  nên AMNP là tứ giác nội tiếp (1)

  900

Từ (1) và (2) suy ra , , , ,N A P H M cùng thuộc một đường tròn

Ta có APC MDC 900nên AMNP là tứ giác nội tiếp

Suy ra MPH MCD  mà MCD MBD  (vì AD là trung trực của BC)

MBD MPD

Ta có AMB ADB MBD  900 MBD mà MBD MPD 

Suy ra

Do đó , ,B M H thẳng hàng nên AH BH

b) Ta có: IBA BAD 45 (0 vì BI / /AD)

  45 0

   Do đó IBA IDA  45  A I B D, , ,

cùng thuộc một đường tròn (3)

Ta có : AHB ADB 900nên , , ,A H D B cùng thuộc một đường tròn (4)

Từ (3) và (4) suy ra , , , ,A H D B I cùng thuộc một đường tròn

  1800  900

Do đó , ,H N I thẳng hàng

2

M H

O A

Kẻ AD là đường kính của đường tròn (O)

Xét 2 tam giác vuông HBA và CDA có : ABC ADC (vì nội tiếp cùng chắn

 )

Tương tự ( ) . .

Do đó : . (1)

Ta có: AMB CMD g g  MB AB MB CD MD AB

MC BD AC MD

Ta có:

Dấu " " xảy ra  DB DC  AB AC  ABCcân tại A