022 đề thi hsg toán 9 tỉnh quảng trị 2018 2019

và tứ giác EFHC nội tiếp b Chứng minh rằng HD là tia phân giác của EHF c Chứng minh rằng F là trung điểm của MN Câu 5.

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019

MÔN: TOÁN

Câu 1 Cho a  4 10 2 5  4 10 2 5

a) Chứng minh rằng a là nghiệm của phương trình a2  2a 4 0

b) Tính giá trị của

2

2 12

P



Câu 2 a) Giải hệ phương trình

3 3 8





b) Giải phương trình x1 x2 x3 2 x4 x5 360

Câu 3.

a) Chứng min rằng a2 b2 c2 ab bc ca  với mọi số thực , ,a b c

b) Cho , ,a b c  và 1 ab ac bc   Tìm GTNN và GTLN của 9 P a 2 b2 c2

Câu 4 Cho ABC vuông tại A AC AB .Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC,

D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH (D khác , ) A H Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C

bán kính CA tại E và F ( F nằm giữa B và D), M là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho

ACF  BFM , MF cắt AH tại N

a) Chứng minh rằng BH BC BE BF.  . và tứ giác EFHC nội tiếp

b) Chứng minh rằng HD là tia phân giác của EHF

c) Chứng minh rằng F là trung điểm của MN

Câu 5 Cho các số nguyên , ,a b c thỏa mãn

2

a b  a c b c Chứng minh rằng bc

là một số chính phương

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) Ta có:

   

2

a

Nên a là nghiệm của phương trình a2  2a 4 0

b) Ta có:

2

2

2 4 16

P



Câu 2.

a) Hệ phương trình



x y a

xy b







 với a2 4b

Ta có:



 



2

Vì 2a2 7a  vô nghiệm, nên 8 0 a 2 b Hệ có nghiệm 0 x y ;   0;2 ; 2;0   

b) Phương trình : x2 6x5 x2 6x8 x2 6x9 360

Đặt x2 6x  , ta có:5 t

 3  4 360 0 3 7 2 12 360 0  5  2 12 72 0

Vì t2 12t72 0 vô nghiệm nên

6

x

x





      

 Vậy S 0; 6 

Câu 3.

a) Ta có : 2a2 b2 c2 2ab bc ca    0 a b 2 b c 2c a 2 0 Dấu " " xảy ra khi a b c 

b) Vì , ,a b c  nên1

1

c a ca



Vậy GTLN của P là 18, đạt được khi a b c là các hoán vị của ; ;  1;1;4

Mặt khác a2 b2 c2 ab bc ca   nên GTNN của P là 9 Đạt được khi9

3

a b c  

Câu 4.

K

N

E

F

H

B

D

M

a) Ta có:

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì BA2 BH BC.  BH BC BE BF.  .

nên tứ giác EFHC nội tiếp

b) Ta có BHF BEC CFE CHE   mà AHB AHC 900nên AHF AHE HDlà tia phân giác của EHF

c) Gọi K là giao điểm của AH với (C) , chứng minh được BK là tiếp tuyến của đường tròn

(C) , ta có 2BFM ACF 2AEF

(1)

Do đó AFN FAE 1800

180

Hay

Từ (1) và (2) ta có:

2 2

Câu 5.

Ta có:

2

0

2 2

2 2

0

Xét a2  bc 0 bc a 2là số chính phương Xét b c thì bc c là số chính phương.2