016 đề thi hsg toán 9 huyện lai vung 2018 2019

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: An dự định đi từ A đến B bằng xe đạp điện trong khoảng thời gian nhất định.. Tính quãng đường AB và thời gian dự/ định đi lúc đầu của An Câu

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN LAI VUNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Câu 1 (4,0 điểm)

1 Tính A  8 3 2 2 5   2 10 0,2 

2 Tìm các số tự nhiên n sao cho B n 2 2n18là số chính phương

3 Với ,a b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2 và b

chia cho 13 dư 3 thì a2 b2chia hết cho 13

Câu 2 (4,0 điểm)

1 Cho biểu thức

x

C



định và rút gọn C

2 a) Chứng minh 4 1  2 

17

với mọi số thực x Dấu đẳng thức xảy

ra khi nào ?

b) Cho ,a b là các số thực thỏa mãn 2 2

1 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D a4  1 b4 1

Câu 3 (4,0 điểm)

1 Giải các phương trình sau:

a) x4 2x3 4x4

b) 2

2 Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

An dự định đi từ A đến B bằng xe đạp điện trong khoảng thời gian nhất định Nếu An đi với vận tốc 20km h thì đến B sớm 12phút Nếu Anđi với /

vận tốc 12km h thì đến B trễ 20 phút Tính quãng đường AB và thời gian dự/

định đi lúc đầu của An

Câu 4 (4,0 điểm)

1 Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC M khác B, C) Một (

đường thẳng đi qua A và vuông góc với AM cắt CD tại N

a) Chứng minh BM DN

b) Tính tỉ số

AM MN

2 Cho tam giác ABC đường cao , AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D sao cho.

AD BC Tại B kẻ BEAB sao cho BEAB(E và C thuộc hai nửa mặt

phẳng đối nhau từ bờ là AB) Tại C kẻ CF AC sao cho CF AC(F và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau từ bờ AC Chứng minh ba đường thẳng).

,

DH BF và CE đồng quy

Câu 5 (4,0 điểm)

Cho đường tròn O R và một điểm Aở ngoài đường tròn Từ một điểm M; 

di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến ME MF với, đường tròn  O ,( ,E F là các tiếp điểm) Đường thẳng chứa đường kính của đường

tròn song song với EF cắt ME MF lần lượt tại C và D Dây EF cắt OM tại H, cắt,

OA tại B

1 Chứng minh rằng: OA OB không đổi.

2 Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d

3 Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích của HBO lớn nhất

ĐÁP ÁN Câu 1.

20 2 18

2) Đặt n2 2n18a2

 2    

Vì a,n a n 1  a n  1 ;17 là số nguyên tố Suy ra a n  1 17(*)và a n  1 1  a n 2

Thay a n  vào (*) tính được 2 n 7

3) Do a chia cho 13 dư 2 nên a13x2x 

b chia cho 13 dư 3 nên b13y3 y 

   

Vậy a2 b2chia hết cho 13 dfcm 

Câu 2.

1 Điều kiện xác định: x0,x9

2

1

C

x







17

Mà 17x4 1  x2 42 4x2  12 0

với mọi x

Vậy 17x4 1  x2 42

17

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

1 2

x 

2b) Áp dụng kết quả câu 2 )a ta có:  

1

8 17

Mà

Vậy GTNN của D là

17

2 khi

1 2

a b 

Câu 3.

1a) x4 2x3 4x4 (1)

 

   

 

 

2

2 2



Vậy S   2

1b) 2

Điều kiện xác định

x

x x







 

   

 

 

2

2

2

2

1

1

x

x x

VN do DK







 Vậy S  1

2) Gọi x (giờ) là thời gian dự định đi lúc đầu ( x 0)

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy thời gian dự định là 1 giờ, quãng đường AB dài

1

Câu 4.

M

1) a) ABM và ADN có:

nên ABM ADN g c g( ) BM DN

b) Vì ABM ADN  AM AN  AMN vuông cân tai A

Do đó

2 2 2

2 1

I

F E

H

A

D

2) DAC và BCF có:

Nên DAC BCF  ACD F

Mà ACD DCF  900  F DCF 900

Gọi I là giao điểm của BF và DC Trong CIF có F DCF  900

 900

CIF

Chứng minh tương tự ta được: DB CE

Trong DBC có DH CE BF là các đường cao nên chúng đồng quy, ,

Câu 5.

NK B

H

D

C

F

E

O A

M

1 Ta có

 

OM

ME MF







EOM

 vuông tại E, đường cao EH nên OE2 OH OM. (2)

Từ (1), (2) suy ra OA OB OE.  2 R2(không đổi)

2 Vì

2 2

OA

mà R không đổi do đó OB không đổi mà O cố định nên B cố định

Vậy khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d thì EF luôn đi qua điểm cố định B

3 Gọi K là trung điểm của OB , mà BHO vuông tại H nên 2

BO

HK 

Do OB không đổi nên HK không đổi

Kẻ HN BO, ta có:

2

BHO

HN BO

Vì BO không đổi, nên S HBOlớn nhất  HNlớn nhất

Mà HN HK ,dấu " " xảy ra  N K

Vậy S HBOlớn nhất  HBO vuông cân tại H  MO tạo với OA một góc 450