011 đề thi hsg toán 9 huyện tam dương 2018 2019

3,0 điểm Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O.. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE CM.. 2,0 điểm Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín 1 tam giá

ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018-2019

ĐỀ THI MÔN : TOÁN

Câu 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức

4

P

x



Tìm x để P có giá trị bằng 2

Câu 2 (2,0 điểm) Chứng minh rằng nếu , ,a b c là các số thực thỏa mãn:

1 1 1

2

a b c   và

a b c abc   thì 2 2 2

2

a b c 

Câu 3 (2,0 điểm) Tính tổng:

Câu 4 (2,0 điểm) Giải phương trình: x2  x 12 x 1 36

Câu 5 (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:

3n 2n 3n 2 10n

Câu 6 (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên:

x xy x y 

Câu 7 (1,0 điểm) Cho ,m n là các số tự nhiên và p là số nguyên tố thỏa mãn:

1





 Chứng minh rằng khi đó n  là một số chính phương.2

Câu 8 (2,0 điểm) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn

b  a c Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức 2 2

a b c b P

a b c b

Câu 9 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O Gọi M là điểm bất kỳ

thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy

điểm E sao cho BE CM .

a) Chứng minh rằng: OEM vuông cân

b) Chứng minh: ME song song với BN

c) Từ C kẻ CH vuông góc với BN tại H Chứng minh ba điểm , , O M H thẳng hàng

Câu 10 (2,0 điểm) Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để

phủ kín 1 tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa?

ĐÁP ÁN Câu 1.

Biểu thức có nghĩa khi x0;x4

4

2

P

x

x







Do đó

3

2

x

x



Câu 2.

Từ

2

2 a b c 4(*)

 

a b c

a b c abc

abc

 

Câu 3.

Với    ta có: n *  

1

2

2

1

1

1

n n

n n

 



Suy ra 1n2 n12  1 n n 1

(do 1 n n 10  n *)

Áp dụng kết quả trên với n 1;2; ;2019ta có:

S           

Câu 4 Điều kiện x 1

Đặt t x1,DK t:  0 x t 2 1

Phương trình đã cho trở thành: t4  t212t 36 0

2

4

2

2

2( )

6 0 3( )

t t

t tm

t t





 



Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x 3

Câu 5.

Ta có:

3 10 2 10 10 3 2 10( )



Câu 6.

Ta có : x2 xy 2017x 2018y 2019 0

Nên có 2 trường hợp xảy ra:

2018 1 2019

1:

2 :

TH

TH





Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên x y ;   2019; 2019 ; 2018; 2019     

Câu 7.

1





Vì ,m n là các số tự nhiên nên m n m   1

Mặt khác p là số nguyên tố nên chỉ có 2 trường hợp: p2 1.p2 p p.

Do đó suy ra

2

2

Vì p là số nguyên tố nên n  là số chính phương Vậy có điều phải chứng minh 2

Câu 8.

Vì

b  a c nên

2ac

b

a c





Do đó:

2 2

2

2

ac a

ac

a c





Và:

2 2

2

2

ac c

ac

a c



 Suy ra :

4

P

Vậy P  với mọi , ,4 a b c thỏa mãn đề bài Dấu bằng xảy ra khi a b c 

Vậy GTNN của P là 4 khi a b c 

H N

E

O

C D

M

a) Xét OEB và OMC,ta có: OB OC (vì ABCD là hình vuông)

B C  BE CM gt  OEBOMC c g c( )

OE OM

  và O1 O 3

Lại có O 2 O 3 BOC 900(vì tứ giác ABCD là hình vuông)

     kết hợp với OE OM  OEMvuông cân tại O

(theo định lý Talet) (*)

Mà BE CM gt ( )và AB BC  AE BM thay vào (*) ta có:

/ /

ME BN

MN EB  (Theo định lý Talet đảo)

c) Gọi 'H là giao điểm của OM và BN

Từ ME/ /BN  OME OH B  ' (cặp góc đồng vị)

Mà OME  450vì OEM vuông cân tại O

1

, '

kết hợp với OMB CMH  '(hai góc đối đỉnh)

Vậy BH C BH M MH C'  '  ' 900 CH'BN tại 'H

Mà CH BNtại H H H'hay ba điểm , ,O M H thẳng hàng (đpcm)

Câu 10.

I

J A

K

Giả sử ABC là tam giác đều có cạnh bằng 3 Chia mỗi cạnh tam giác ABC thành ba phần bằng nhau Nối các điểm chia bởi các đoạn thẳng song song với các cạnh Tam giác ABC được chia thành 9 tam giác đều có cạnh bằng

1 như hình vẽ

Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm trên các cạnh

BC, CA, AB sao cho BI CJ AK  Ba 1. đường tròn bán kính 1, tâm tương ứng I, J, K

sẽ phủ kín được tam giác ABC (mỗi hình tròn

sẽ phủ kín được 3 tam giác đều cạnh 1) Như vậy dùng ba tấm bìa hình tròn bán kính 1 sẽ phủ kín được tam giác ABC.

*Số tấm bìa ít nhất phải dùng là 3, vì nếu ngược lại sẽ có hai trong ba đỉnh của tam giác

ABC cùng thuộc một hình tròn bán kính 1 Điều này không thể xảy ra do cạnh của tam giác ABC bằng 3