tổng hợp một số bài toán cấp THPT có lời giải

đây là tài liệu về các bài toán liên quan đến đồ thị và dãy số, hình học có kèm lời giải và hình vẽ chi tiết trong chương trình trung học phổ thông ôn thi trung học phổ thông quốc gia và một số vấn đề toán học có liên quan

PH†N I:

a V³ h¼nh ph¯ng

B i 1: Tø iºm M n¬m ngo i ÷íng trán (O; R) k´ hai ti¸p tuy¸n MA v  MB vîi ÷íng trán (A v 

B l  hai ti¸p iºm)

1) Chùng minh tù gi¡c MAOB nëi ti¸p

2) V³ tia Mx n¬m giúa hai tia MA v  MO Tia Mx c­t ÷íng trán (O; R) t¤i iºm C v  iºm D(iºm C n¬m giúa hai iºm M v  D Chùng minh hai tam gi¡c MAC v  MDA çng d¤ng rçi tø

â suy ra M C

M D =

 ACAD

2

3) Gåi H l  giao iºm cõa OM v  AB K´ DK vuæng gâc vîi AB t¤i K, OP vuæng gâc vîi CD t¤i

P, OQ vuæng gâc vèi HD t¤i Q Chùng minh tù gi¡c HKP Q l  h¼nh thang c¥n

Líi gi£i

O

M

A B

D

C H

K P

1) Chùng minh tù gi¡c MAOB nëi ti¸p

M A l  ti¸p tuy¸n ÷íng trán (O) → \OAM = 90◦ (T½nh ch§t ti¸p tuy¸n cõa ÷íng trán)

M B l  ti¸p tuy¸n ÷íng trán (O) → \OBM = 90◦ (T½nh ch§t ti¸p tuy¸n cõa ÷íng trán)

Tù gi¡c MAOB câ \OAM + \OBM = 90◦+ 90◦ = 180◦ m  hai gâc n y èi nhau

Suy ra MAOB l  tù gi¡c nëi ti¸p

2) Chùng minh hai tam gi¡c MAC v  MDA çng d¤ng rçi tø â suy ra MC

MD =

 ACAD

Suy ra M C

M D =

 ACAD

2

3) Chùng minh HKPQ l  h¼nh thang c¥n

+) Ta câ:

OA = OB(= R)n¶n O thuëc trung trüc AB

M A = M B (t½nh ch§t hai ti¸p tuy¸n c­t nhau) n¶n M thuëc trung trüc AB

→ OM l  trung trüc cõa AB → OM⊥AB t¤i H X²t tam gi¡c OAM vuæng t¤i A, ÷íng cao AH câ:

OA2 = OH.OM (h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng)

m  OA = OD → OD2 = OH.OM → OH

OD =

ODOMX²t △ODH v  △OMD câ:

→ \OHD = \ODM (2 gâc t÷ìng ùng)

→ 90◦− \OHD = 90◦− \ODM → \AHD = \DOP (1)

X²t tù gi¡c ODP Q câ \OP D = \OQD = 90◦ (gt)

m  hai gâc n y câ ¿nh k· nhau còng nh¼n c¤nh OD

→ ODP Ql  tù gi¡c nëi ti¸p (d§u hi»u nhªn bi¸t)

→ \DOP = \DQP (2 gâc nëi ti¸p còng ch­n cung) (2)

Tø (1) v  (2) → \AHD = \DQP, m  hai gâc n y ð và tr½ çng và

→ P Q ∥ HK → HKP Q l  h¼nh thang (d§u hi»u nhªn bi¸t)

+) Ta câ: MC.MD = MA2(cmt), MH.MO = MA2 (h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng OAM)

→ M C.M D = M H.M O → M C

M H =

M O

M DX²t △MCH v  △MOD câ:

→ HK çng thíi l  ÷íng trung tuy¸n → K l  trung iºm cõa DE

m  P l  trung iºm DC (do OP ⊥ CD - quan h» vuæng gâc giúa ÷íng k½nh v  d¥y cung) → KP l 

÷íng trung b¼nh cõa △DCE (ành ngh¾a)

B i 2: Cho tam gi¡c ABC câ ba gâc nhån nëi ti¸p ÷íng trán (O) C¡c ÷íng cao AD, BE, CFc­t nhau t¤i H v  c­t ÷íng tron (O) l¦n l÷ñt t¤i M, N, P Chùng minh r¬ng:

1 Tù gi¡c CEHD nëi ti¸p

M D H

N

P

E

F

1 Tù gi¡c CEHD nëi ti¸p

X²t tù gi¡c CEHD câ:

∠CEH = 90◦ (V¼ BE l  ÷íng cao)

∠CDH = 90◦ (V¼ AD l  ÷íng cao)

→ ∠CEH + ∠CDH = 180◦ m  hai gâc n y ð và tr½ èi nhau cõa tù gi¡c CEHD

→ CEHD l  tù gi¡c nëi ti¸p

3.AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

X²t △AEH v  △ADC ta câ:

Ta câ ∠BAM = ∠BCM (hai gâc nëi ti¸p còng ch­n cung BC)

X²t △BAD câ ∠ADB = 90◦

1 AC + BD = CD

Ta câ: - CA = CM (T½nh ch§t hai ti¸p tuy¸n c­t nhau)

- DB = DM (T½nh ch§t hai ti¸p tuy¸n c­t nhau)

m  DM + CM = CD

→ AC + BD = CD

2 ∠COD = 90◦

Theo t½nh ch§t hai ti¸p tuy¸n c­t nhau câ:

- OC l  tia ph¥n gi¡c ∠AOM

5.AB l  ti¸p tuy¸n cõa ÷íng trán ÷íng k½nh CD

Gåi I l  trung iºm CD → I l  t¥m ÷íng trán ÷íng k½nh CD

Câ AC l  ti¸p tuy¸n cõa ÷íng trán (O) t¤i iºm A → AC ⊥ AB

BD l  ti¸p tuy¸n cõa ÷íng trán (O) t¤i iºm B → BD ⊥ AB

→ AC∥BD → ABDC l  h¼nh thang

X²t h¼nh thang ABDC câ:

B i 4 (3 iºm) Cho tam gi¡c ABC nhån nëi ti¸p (O) Gåi I l  t¥m nëi ti¸p tam gi¡c ABC Tia

AI c­t BC t¤i J v  c­t (O) t¤i M kh¡c A

1 Chùng minh r¬ng: MI2 = M J.M A

2 K´ ÷íng k½nh MN cõa (O) ÷íng th¯ng AN c­t tia ph¥n gi¡c trong gâc [ABC v  [ACB t¤i P

v  Q t÷ìng ùng Chùng minh iºm N l  trung iºm o¤n P Q

3 L§y iºm E thuëc cung nhä MC cõa (O)(E kh¡c M)) Gåi F l  iºm èi xùng vîi iºm I qua

iºm E Gåi R l  giao iºm cõa hai ÷íng th¯ng P C v  QB Chùng minh 4 iºm P, Q, R, F còngthuëc mët ÷íng trán

Trong tam gi¡c IAB câ gâc ngo i \M IB = [IAB + [IBA

Tø gi£ thi¸t ta câ: [IAB = [IAC = \CBM; [IBA = [IBC n¶n \M IB = \CBM + [IBC = \M BI

→ M B = M I

Theo chùng minh [IAB = \CM B n¶n △BMJ ∼ △AMB(g.g),

Suy ra: MB2 = M J.M A = M I2(d.p.c.m)

2 N l  trung iºm o¤n PQ

V¼ MN l  ÷íng k½nh cõa (O) n¶n AM⊥AN

L¤i câ: AM l  ph¥n gi¡c trong cõa [BAC suy ra AN l  ph¥n gi¡c ngo i cõa [BAC.

Ta câ: I l  giao hai ph¥n gi¡c trong gâc [ABC v  [ACB

Do â P, Q l  t¥m ÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡c ABC

Vªy \P BQ = [P CQ = 90◦ n¶n tù gi¡c P QBC nëi ti¸p ÷íng trán ÷íng k½nh P Q, câ t¥m thuëc

P Qv  c¡ch ·u B v  C V¼ iºm N thuëc ÷íng th¯ng P Q v  NB = NC n¶n N l  t¥m ÷íngtrán i qua 4 iºm P, Q, R, F , tùc l  N l  trung iºm P Q (.p.c.m)

Do â tù gi¡c P QRF nëi ti¸p (.p.c.m)

B i 5: Cho ÷íng trán t¥m (O), tø iºm M ð b¶n ngo i ÷íng trán (O) k´ c¡c ti¸p tuy¸n MA, MB(A, B

l  c¡c ti¸p iºm), k´ c¡t tuy¸n MCD khæng i qua t¥m O(C n¬m giúa M v  D; O v  B n¬m v· haiph½a so vîi c¡t tuy¸n MCD)

1 Chùng minh tù gi¡c MAOB nëi ti¸p

2 Chùng minh MB2 = M C.M D

3 Gåi H l  giao iºm cõa AB v  OM Chùng minh AB l  ph¥n gi¡c cõa \CHD

O M

A

B

D C

H

Líi gi£i:

1.Tù gi¡c MAOB nëi ti¸p

Ta câ \OAM = \OBM = 90◦ (Do MA, MB l  ti¸p tuy¸n cõa ÷íng trán (O))

X²t tù gi¡c OAMB câ:

3.AB l  ph¥n gi¡c cõa \CHD

Gåi H l  giao iºm cõa AB v  OM.Chùng minh AB l  ph¥n gi¡c cõa CHD

Ta câ MA = MB(t½nh ch§t hai ti¸p tuy¸n c­t nhau)→ M thuëc trung trüc AB;

OA = OB = R → O thuëc trung trüc cõa AB;

→ OM l  trung trüc cõa AB → OM⊥AB

X²t tam gi¡c vuæng OMB câ MB2 = M H.M O (h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng)

→Tù gi¡c OHCD l  tù gi¡c nëi ti¸p (Tù gi¡c câ têng hai gâc èi b¬ng 180◦)

→ \OHD = \OCD (hai gâc nëi ti¸p còng ch­n cungOD⌢ ) (2)

M  \OCD = \ODC = \M DO(tam gi¡c OCD c¥n t¤i O) (3);

Tø (1),(2) v  (3) → \M HC = \OHD

→ 90◦− \M HC = 90◦− \OHD → \CHB = \BHD

Vªy HB l  tia ph¥n gi¡c cõa gâc CHD hay AB l  tia ph¥n gi¡c cõa gâc CHD

b V³ h¼nh tåa ë

→ Vªy ç thà h m sè giao tröc Ox t¤i hai iºm B(1; 0), C(−3; 0)

ç thà h m sè nhªn ÷íng th¯ng x = −1 l m tröc èi xùng v  h÷îng b· lãm xuèng d÷îi

D l  iºm èi xùng vîi A qua tröc x = 1 → D(−2; 3)

−2

−1

12345

x

y

O

IA

BC

D

2 T¼m m º ç thà h m sè tr¶n c­t ÷íng th¯ng y = m t¤i hai iºm ph¥n bi»t

÷íng th¯ng y = m song song ho°c tròng vîi tröc ho nh do â düa v o ç thà ta câ

Vîi m < 4 ÷íng th¯ng y = m v  paraboly = −x2− 2x + 3 c­t nhau t¤i hai iºm ph¥n bi»t

B i 2 Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v  v³ ç thà (C) cõa h m sè: y = −x3+ 3x2− 4

H m sè nghàch bi¸n tr¶n c¡c kho£ng (−∞; 0) v  (2; +∞) , çng bi¸n tr¶n kho£ng (0; 2)

H m sè ¤t cüc ¤i t¤i iºm x = 2, gi¡ trà cüc ¤i cõa h m sè l  y(2) = 0

H m sè ¤t cüc tiºu t¤i iºm x = 0, gi¡ trà cüc tiºu cõa h m sè l  y(0) = −4

Giîi h¤n cõa h m sè t¤i væ cüc: lim

H m sè ¤t cüc ¤i t¤i x = 0, yCD = y(0) = −3

H m sè ¤t cüc tiºu t¤i x = −1 v  x = 1, yCT = y(±1) = −4

+ Giîi h¤n t¤i væ cüc lim

B i 4: Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v  v³ ç thà (C) cõa h m sè: y = 2x + 1

x + 1Líi gi£i

1 + 1x

Giao vîi Ox t¤i A(−1

2; 0) ; Giao vîi Oy t¤i B(0; 1)

B i 5 H¼nh b¶n l  ç thà cõa ba h m sè y = ax, y = bx, y = cx ÷ñc v³ tr¶n còng mët h» tröc tåa

ë Kh¯ng ành n o sau ¥y l  kh¯ng ành óng?

PH†N II:

a Giîi h¤n d¢y sè

C¥u 1: Cho d¢y sè un câ sè h¤ng têng qu¡t un= (13 +

√3)n− (13 −√3)n

2√3T½nh 5 sè h¤ng ¦u ti¶n cõa d¢y sè v  v³ ç thà h m sè kh£o s¡t sü hëi tö hay ph¥n ký cõa d¢y sè â

Líi gi£i:

ˆ 5 sè h¤ng ¦u cõa d¢y sè

un 1 26 510 8944 147884

ˆ V³ ç thà h m sè kh£o s¡t sü hëi tö hay ph¥n ký cõa d¢y sè

→Quan s¡t ç thà th§y d¢y sè ph¥n ký

C¥u 2: Cho d¢y sè thüc (xn) thäa m¢n: x1 = 1

6, xn+1 =

3xn2xn+ 1 vîi måi n nguy¶n d÷ìng

T½nh 10 sè h¤ng ¦u cõa d¢y sè V³ ç thà h m sè kh£o s¡t sü hëi tö hay ph¥n ký cõa d¢y sè â

Líi gi£i:

ˆ 10 sè h¤ng ¦u cõa d¢y sè

0.167 0.375 0.643 0.844 0.942 0.98 0.993 0.998 0.9992 0.9997

ˆ V³ ç thà h m sè kh£o s¡t sü hëi tö hay ph¥n ký cõa d¢y sè

→ Quan s¡t d¢y sè th§y d¢y sè hëi tö

C¥u 3: Cho d¢y sè

Líi gi£i:

ˆ 10 sè h¤ng ti¸p cõa d¢y sè

un 2.5 3.25 3.625 3.8125 3.90625 3.953125 3.9765625 3.9882812 3.9941406 3.9970703

ˆ V³ ç thà h m sè kh£o s¡t sü hëi tö hay ph¥n ký cõa d¢y sè

→ Quan s¡t d¢y sè th§y d¢y sè hëi tö

C¥u 4: T½nh 7 gi¡ trà ¦u ti¶n cõa d¢y sè x¡c ành bði un=



1 + 1n

C¥u 5: T½nh 7 ph¦n tû ¦u cõa d¢y sè x¡c ành bði: un = 1 + 1

1! +

12! + +

1n!∀n = 1, 2, 3 Líi gi£i:

ˆ 7 gi¡ trà ¦u cõa d¢y sè

un 2 2.5 2.667 2.708 2.717 2.718 2.7182

→Quan s¡t ç thà th§y d¢y sè hëi tö

b V³ ç thà 5 h m sè

1 y = −x2− 2x + 3

2 y = −x3+ 3x2− 4

3 y = x4− 2x2− 3

4 y = 2x + 1

x + 1

5 H m mô

PH†N III: CC B€I TON V— NGHI›M CÕA A THÙC

B i 1: Cho a thùc P (x) = 1 + x2+ x9+ xn 1+ + xn s+ x2022 Vîi n1, n2, , ns l  c¡c sè tü nhi¶n thäam¢n 9 < n1 < n2 < < ns < 1992

Chùng minh r¬ng nghi»m cõa a thùc P (x) (n¸u câ) khæng thº lîn hìn 1 −

√5

2 Líi gi£i

Vîi x ≥ 0 th¼ P (x) ≥ 1 > 0 Ta s³ chùng minh P (x) > 0∀x ∈ (1 −

√5

2 ; 0) th¼ 1 − x2 > 0; −x2023 > 0; 1 − x2+ x > 0 n¶n P (x) > 0∀x ∈ (1 −

√5

2 ; 0)

⇛ P (x) > 0∀x ∈ (1 −

√5

2 ; +∞).(i·u ph£i chùng minh)

B i 2: Cho a thùc Pk(x), k = 1, 2, 3, x¡c àn bði: P1(x) = x2− 2, Pn+1(x) = P1(Pn(x))∀n = 1, 2, 3, Chùng minh r¬ng vîi méi sè nguy¶n d÷ìng n, Pn(x) = x câ 2n nghi»m thüc ph¥n bi»t nhau

Líi gi£iVîi n = 1, P1(x) = x2− 2 Ph÷ìng tr¼nh x2− 2 = x câ hai thüc nghi»m ph¥n bi»t l  2, −1

a thùc Pn(x) câ bªc l  2n Ta s³ t¼m c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n trong kho£ng (−2; 2) v  ch¿

ra â l  t§t c£ c¡c nghi»m cõa a thùc Pn(x)

°t x = 2cost t ∈ (0, π) ⇒ P1(2cost) = 2cos(2t) ⇒ P2(2cost) = P1(P1(2cost) = P1(2cos2t) = 2cos4t =2cos(22t)

B¬ng quy n¤p, ta chùng minh ÷ñc Pn(2cost) = 2cos2nt Ph÷ìng tr¼nh P (x) = x trð th nh:

2cos2nt = 2cost ⇔ cos2nt = cost ⇔  2nt = t + 2kπ

2nt = −t + 2kπ (k ∈ Z)Vªy ta ÷ñc 2n nghi»m

Ngo¤i nghi»m chung t = 0 th¼ méi

tr÷íng hñp cho ta 2n−1− 1 v  2n−1 nghi»m cán l¤i ph¥n bi»t Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ û 2n nghi»m(i·u ph£i chùng minh)

B i 3: Cho a thùc P (x) = x(x2− 1)(x2− a) − 1 vîi a ≥ 5

a) Chùng minh r¬ng P (x) luæn câ 5 nghi»m thüc ph¥n bi»t K½ hi»u l  x1, x2, x3, x4, x5

Líi gi£ia) Ta câ P (x) l  h m sè li¶n töc v  lim

thùc P (x) câ c¡c nghi»m ph¥n bi»t trong (1; 2), (2; 3), (3; 4) Gåi c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho

l  a, b, c (a > b > c)

Theo ành l½ Viete th¼ a + b + c = 8 Do a l  sè lîn nh§t n¶n a ∈ (3; 4) ⇒ b + c = 8 − a > 4 > a hay

a, b, c l  ë d i ba c¤nh mët tam gi¡c

Gâc tò n¸u câ ph£i l  gâc èi di»n vîi c¤nh lîn nh§t tùc º ch¿ ra tam gi¡c câ mët gâc lîn hìn 120o ta

(a − 2)2 > 241

80 ⇔ a > 2 +

r24180

b)Bê ·: Cho tam gi¡c ABC câ BC > CA > AB th¼ ba ÷íng trung tuy¸n t÷ìng ùng AD, BE, CF

s³ lªp th nh ë d i ba c¤nh mët tam gi¡c mîi vîi CF > BE > AD

EF

M°t kh¡c, düng h¼nh b¼nh h nh ADBK ⇒ F l  trung iºm KD v  BK = AD

DF l  ÷íng trung b¼nh tam gi¡c ABC n¶n−DF =→ 1

º chùng minh tam gi¡c tò, ta c¦n chùng minh m2

b) Gåi c¡c nghi»m d÷ìng cõa P (x) v  Q(x) l¦n l÷ñt l  p v  q Chùng minh r¬ng √p −√

q = 1.Líi gi£i

a) Ta câ P′

(x) = 3x2+ 4x − 7 = 0 ⇔

" x = 1

x = −73

Q′(x) = 3x2+ 6x + 8 > 0, ∀x ∈ Rv  Q(0) = −4, lim

x→+∞Q(x) = +∞ M  Q(x) li¶n töc tr¶n R n¶n Q(x)

câ nghi»m d÷ìng duy nh§t

b) Do p l  nghi»m d÷ìng cõa P (x) n¶n √ps³ l  nghi»m cõa a thùc P (x2) = x6+ 2x4− 7x2− 16

1n¶n chóng ch¿ câ duy nh§t mët nghi»m d÷ìng.

B i 6: Cho d¢y sè: an= u

n− vn

u − v ; n ≥ 1, u, v l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh: x2− x − 1 = 0.H¢y t¼m t§t c£ c¡c c°p sè nguy¶n d÷ìng (a; b) trong â a < b thäa m¢n: an− 2n.an b vîi måi n nguy¶nd÷ìng

Do a1 = 1 ⇒ 1 − 2a b ⇒ b l  sè l´, hìn núa b > a n¶n ta ph£i câ b = 2a − 1

Tø â, k¸t hñp vîi (1) ⇒ (n + 2)an+2− (n + 1)an+1− nan b ∀n ∈ N∗

(a, b) = (a, 2a − 1) = 1 ⇒ (an, b) = 1 ⇒ (n + 2)a2− (n + 1)a − n b

Thay n bði n + 1 ⇒ (n + 3)a2− (n + 2)a − n b ⇒ a2− a − 1 b ⇒ a2− a − 1 2a−1 ⇒ 2a2− 2a − 2 2a−1

⇒ 2a(2a − 1) − a − 2 2a − 1 ⇒ a + 2 2a − 1 ⇒ 2a + 4 2a − 1 ⇒ 5 2a − 1

Vªy ta ÷ñc a = 1, b = 1a = 3, b = 5

Do a < b n¶n a = 3, b = 5 Ta c¦n chùng minh an− 2n.3n 5 ∀n ∈ N∗

D¹ d ng kiºm tra nhªn x²t óng vîi n = 1; n = 2

B¬ng quy n¤p ta s³ ch¿ ra nhªn x²t óng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n Gi£ sû óng tîi n = k (k ≥ 2)

b) Gåi α, β l  2 nghi»m lîn nh§t cõa P (x), Q(x) Chùng minh α2+ 3β2 = 4.

4 Cho n l  sè nguy¶n d÷ìng Chùng minh r¬ng: tçn t¤i c¡c sè thüc d÷ìng a1, a2, , an sao cho vîiméi c¡ch chån d§u th¼ a thùc: P (x) = ±anxn±an−1xn−1± ±a1x±a0 = 0·u câ óng n nghi»m thüc