Bài 1 4 phương trình lượng giác cơ bản cd đề bài

-Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Hai phương trình cùng ẩn được gọi là tuơng đuơng nếu chúng có cùng tập nghiệm.. PHƯƠNG TRÌNH sin x m  Trong trường hợp tổng quát, ta c

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Phương trình với ẩn x có dạng f x g x   1 , trong đó vế trái f x  và vế phải g x  là hai biểu thức của cùng một biến x Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số x để

 

f x và g x  có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được) Đó là điều kiện xác định của

phuơng trình (hay gọi tắt là điều kiện của phuơng trình).

-Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tuơng đuơng nếu chúng có cùng tập nghiệm

Nếu phương trình f x1  g x1  tương đương với phương trình f x2 g x2  thì ta viết

       

f x g x  f x g x

-Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của

nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0

II PHƯƠNG TRÌNH sin x m 

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình sinx m như sau:

Với m 1, phương trình sinx m vô nghiệm

Với m 1, gọi  là số thực thuộc đoạn

;

2 2

 



  sao cho sin  Khi đó, ta có:m

2

2



 



  



Z

Chú ý

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình sinx m :

2

x  x k  kZ

2

x  x  k  kZ

2 sin 0

2

x k









 



Z

b) Ta có

2 sin sin

2





Z

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho sinxsina o như sau:

360

o o

o o

o

o

  



Z

III PHƯƠNG TRÌNH cosx=m

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình cos x m như sau:

Với m 1, phương trình cosx m vô nghiệm

Với m 1, gọi  là số thực thuộc đoạn 0; sao cho  cos m Khi đó, ta có:

2

2



 



 



Z

Chú ý

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cosx m :

cosx 1 x k 2 kZ

cosx 1 x  k2 kZ

cos 0

2

x  x k kZ

b) Ta có

2 cos cos

2







Z c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho

cosxcosa

như sau:

360 cos cos

360

  

 





IV PHƯƠNG TRÌNH tanx=m

Trong trường hợp tổng quát, ta có cách giải phương trình tan x m như sau:

Gọi  là số thực thuộc khoảng

;

2 2

 



  sao cho tan   Khi đó với mọi m  R , ta có: m

tanx m  tanxtan  x  k kZ .

Chú ý:

Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho tanxtana như sau:

tanxtana  x a k180 kZ

V PHƯƠNG TRÌNH cotx=m

Trong trường hợp tổng quát, ta có cách giải phương trình cot x m như sau:

Gọi  là số thực thuộc khoảng 0; sao cho cot   Khi đó với mọi m  R , ta có: m

cotx m  cotxcot  x  k kZ

Chú ý:

Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cotxcota như sau:

cotxcota  x a k180 kZ

VI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Có thể sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải các phương trình lượng giác cơ bản

Chú ý

Để giải phương trình cotx a a  0

bằng MTCT, ta đưa về giải phương trình

1

tanx a



B CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

Ví dụ 1 Giải các phương trình

a)

6

3

5

  

 

d)

3

x

2 4

  

6

Ví dụ 2 Giải phương trình

a)

 

1

sin 3x 1

2



1

2



c)

x



Ví dụ 3 Giải phương trình

a)

sin 4x sin x

3

 ; b) cot g x  300 cot g x

2

4



Ví dụ 4 Tìm m để phương trình 2 sin x 4 m

  

  có nghiệm x 0;2

  

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau:

a)



cot 4x cot ;

7 b) cot 3x2; c)

 o  1 cot(2 x 10 )

3

Ví dụ 6 Giải phương trình

a) sin 2x sin 2x cos x 0 1 ;    b) sin x cos 2x sin 2x cos3x 2   

C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 Giải phương trình:

a)

3 sin 2

 

1 sin 3

 

3 cos

x 

d) 2cos3x   ;5 3 e) 3tanx  3; g) cotx 3 3 1 cot  x

Bài 2 Giải phương trình:

a)

sin 2 sin

4

cos 2 cos

6

x x 

Bài 3 Dùng đồ thị hàm số ysin ,x ycosx để xác định số nghiệm của phương trình:

a) 3sinx   trên khoảng 2 0

5 5

;

2 2

 

b) cosx  trên đoạn 0

5 5

;

2 2

 



Bài 4 Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ40Bắc trong ngày thứ t của một năm

không nhuận được cho bởi hàm số

  3sin  80 12

182

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020)

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Bài 5 Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 39) Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h m từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu

diễn qua thời gian t  s

(với t  ) bởi hệ thức 0 hd với 3cos 2 1

3

  , trong đó ta quy ước d  khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và 0 d  trong trường hợp ngược lại 0

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020) Vào thời gian t nào thì khoảng

cách h là 3 m;0 m ?

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Nghiệm của phương trình sinx  là:1

A x 2 k2





 

B x 2 k





 

C x k D x 2 k2





 

Câu 2: Nghiệm của phương trình sinx  là:1

A x 2 k





 

B x 2 k2





 

C x k D

3 2

x  k

Câu 3: Nghiệm của phương trình

1 sin

2

x 

là:

A x 3 k2





 

B x 6 k





 

C x k D x 6 k2





 

Câu 4: Nghiệm của phương trình cosx  là:1

A x k  B x 2 k2





 

C x k 2 D x 2 k





 

Câu 5: Nghiệm của phương trình cosx  là:1

A x  k B x 2 k2





 

C x  k2 D

3 2

x  k

Câu 6: Nghiệm của phương trình

1 cos

2

x 

là:

A x 3 k2





 

B x 6 k2





 

C x 4 k2





 

D x 2 k2





 

Câu 7: Nghiệm của phương trình

1 cos

2

x 

là:

A x 3 k2





 

B x 6 k2





 

C

2 2 3

D x 6 k





 

Câu 8: Nghiệm của phương trình 3 3tan x là:0

A x 3 k





 

B x 2 k2





 

C x 6 k





 

D x 2 k





 

Câu 9: Nghiệm của phương trình cotx  3 0 là:

A x 3 k2





 

B x 6 k





 





 

D x 3 k





 

Câu 10: Nghiệm của phương trình

1 sin –

2

x 

là:

A





  2 3







  2 6

C





  2 6

D





5 

2 6

Câu 11: Tập nghiệm của phương trình sin 2xsinx là

A

π 2π; 2π 3

π 2π 2π;

k

C

π

3

  D S k2π; πk2π k 

Câu 12: Nghiệm của phương trình

2sin 4 1 0

3

  

A

7

x k x  k k 

7

x k  x  k  k 

7

x k x  k k  

Câu 13: Phương trình sin 2xcosx có nghiệm là

A

6 3 2 2

k x

k







 







  





6 3 2 3

k x

k







 







  





C

2 6 2 2

k











 







  





2

2 2

k x

k







 







  





Câu 14: Giải phương trình 3 tan 2x   3 0

x k k 

3

x k k 

x k k 

6

x k k 

Câu 15: Phương trình

3 cos

2

x 

có tập nghiệm là

A

; 6

5

2 ; 6

C

; 3

2 ; 3

Câu 16: Phương trình 2 cosx  1 0 có một nghiệm là

A x 6





2 3





5 6

Câu 17: Biểu diễn họ nghiệm của phương trình sin 2x  trên đường tròn đơn vị ta được bao nhiêu1

điểm?

Câu 18: Phương trình sinxsin có nghiệm là

A x  k x,   kk  B x  k2 , xk2k 

C x  k2 , x   k2k  D x  k x,  kk 

Câu 19: Phương trình

2 cos

2

x 

có tập nghiệm là

A

2 ; 3

; 4

C

3

2 ; 4

; 3

Câu 20: Tập nghiệm của phương trình 2sin 2x  1 0 là

A

7

S    k  k k  

7

2 , 2 ,

S    k   k  k 

C

7

2 , 2 ,

S    k   k  k 

7

S    k  k k  

Câu 21: Nghiệm của phương trình cos2x  là:0

A x 2 k





 

B x 2 k2





 

C x 4 k.2

 

D x 2 k2





 

Câu 22: Với giá trị nào của m thì phương trình sinx m  có nghiệm là:1

A 0m1 B m 0 C m 1 D 2m0

Câu 23: Phương trình lượng giác 3cotx  3 0 có nghiệm là:

A x 6 k





 





 

C x 3 k2





 

D Vô nghiệm

Câu 24: Phương trình lượng giác 2cosx  2 0 có nghiệm là:

A

2 4 3 2 4











 





  

3 2 4 3 2 4

















5 2 4 5 2 4

















4 2 4

k











 







  

Câu 25: Phương trình lượng giác 3 tanx   có nghiệm là:3 0

A x 3 k





 

B x 3 k2





 

C x 6 k





 





 

Câu 26: Phương trình cosx m 0 vô nghiệm khi m là:

A

1 1

m m

 



 

Câu 27: Nghiệm của phương trình sin 2x 1 là





 





 





 

k

x 

Câu 28: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng

A cosx 1 x 2 k





   





C cosx 1 x 2 k2





   





Câu 29: Phương trình lượng giác: cos 3x cos12o có nghiệm là:

A x 15 k2





 

B

2

45 3

k

C

2

45 3

k

D

2

45 3

k

Câu 30: Giải phương trình lượng giác: 2 cos2 3 0

x

có nghiệm là:

A

5 2 3

B

5 2 6

C

5 4 6

D

5 4 3

Câu 31: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai

A sinx 1 x 2 k2





   

B sinx 0 x k 

C sinx 0 x k 2 D sinx 1 x 2 k2





   

Câu 32: Phương trình lượng giác: 3.tanx  3 0 có nghiệm là:

A x 3 k





 

B x 3 k2





 

C x 6 k





 





 

A tanx 2018 B sin x C

2017 cos

2018

x 

D sinxcosx 2

Câu 34: Tập nghiệm của phương trình sinx sin 30 là

A S 30 k2 | k  150 k2 | k 

B S     30 k2 | k 

C S    30 k360 | k 

D S 30 360 | k  150 360 | k  

Câu 35: Phương trình cosx 1 có nghiệm là

A x k 2 B x 2 k





 





 

Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x m có nghiệm

A m 1 B m 1 C    1 m 1 D m 1

Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x m  vô nghiệm.0

A m     ; 1  1;

B m 1;

C m   1;1

Câu 38: Nghiệm của phương trình sinx 1 là

A 2 k





 

, k   B 2 k







, k   C 2 k2





 

, k   D 2 k2







, k  

Câu 39: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos sin x  1

trên 0;2 bằng: