Bài 1 2 các phép biến đổi lượng giác cd lời giải

CÔNG THỨC CỘNG -Trong trường hợp tổng quát, với các góc lượng giác a b, , ta có các công thức sau thường được gọi chung là công thức cộng đối với sin: sina b sin co a sbcos sina b

BÀI 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I CÔNG THỨC CỘNG

-Trong trường hợp tổng quát, với các góc lượng giác a b, , ta có các công thức sau (thường được gọi

chung là công thức cộng đối với sin):

sin(a b ) sin co a sbcos sina b sin(a b )sin cosa b c so asinb

- Trong trường hợp tổng quát, với các góc lượng giác a b, ,ta có các công thức sau (thường được goi

chung là công thức cộng đối với côsin):

cos(a b ) cos cos a b sin sina b cos(a b ) cos cos a bsin sina b

- Trong trường hợp tổng quát, với các góc lượng giác a b, , ta có các công thức sau (thường được gọi

chung là công thức cộng đối với tang):

tan tan tan( )

II CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

-Tổng quát, ta có các công thức sau (thường gọi là công thức nhân đôi):

sin2 2sin cos

cos2 cos sin

1 tan

a a

a



 (khi các biếu thức đều có nghĩa)

(thường gọi là công thúc hạ bậc)

III CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Trong trường hợp tổng quát, ta có các công thức sau (thường gọi là công thức biến đổi tích thành

IV CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

Trong trường hợp tổng quát, ta có các công thức sau (thường gọi là công thức biến đổi tổng thành

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Sử dụng công thức cộng

1 Phương pháp giải.

 cosa b  cos cosa bsin sina b

 cosa b  cos cosa b sin sina b

 sina b  sin cosa b cos sina b

 sina b  sin cosa bcos sina b

 tan  tan tan

cos cos cos cos cos cos

sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos

cos cos cos cos cos cos

  tan b  tan b  tan c  tan c  tan a 0

Ví dụ 5: Không dùng MTCT, tính các giá trị lượng giác sau: cos 7950

7, tan12



c) C tan 90tan 810 tan 270tan 630

0 0 0 0 0 0 0 0

sin 9 cos81 sin 81 cos9 sin 27 cos 63 sin 63 cos 27

cos9 cos81 cos 27 cos 63

Ví dụ 8: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) A sin32cos32.cos16.cos8

Suy ra

0 0

2

   

và

6cos cos

2

  

Tính cos     và sin    

sin sin cos cos 2sin sin 2cos cos 2

2 2 sin sin cos cos 2 2cos 0

   

3sin cos sin cos sin cos sin cos

 sin 2a2sin cosa a

 cos 2acos2a sin2a2 cos2a1 1 2sin  2a

sin cos sin cos

3sin cos sin cos 3sin cos sin cos

sin cos cot

2 tan 1 tan 1 tan

Vì 540360 900nên sin 540 cos 360

Mà cos360 cos 2.18 0  1 2sin 182 0

Lời giải

7tan  cot  sin  cos  

sin sin 1 cos cos 1

7sin cos

sin cos 1 7 sin cos

sin cos 2sin cos 1 7sin cos

Từ (1) và (2) ta được

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a)

2sin sin

5 15

2cos cos

sin sin cos

tancos sin sin

1 sin 2 sin cos 2sin cos

1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos

2 1 sin

2 2 1 cos 1 cos 1 1 cos

cos 2 cos 2 cos 3

sin sin 2 sin 3

c) Ccosacos(a b ) cos( a2 ) cos(b   a nb ) (n N)

4 sin 2 sin 2 4 sin 2 sin 2

2 sin 2 2 sin 2 4 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2

Ta có sin 2asin 2b2sina b cosa b 

Mà sina b  2cosa b  sin2a b 4cos2a b 

2sin cos cos 2 sin

2sin 1 sin 1 2sin sin

- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết

- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc

- Sử dụng kết quả sina £ 1, cosa £ 1

với mọi số thực a

cos sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2

sin sin 2 sin 2sin cos

cos 02

Bất đẳng thức tương đương với

2cos 2 12 2 1 cos 2 3 2 cos 2  2sin 3 2 1 2sin 2 

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:

a) Asinxcosx b) Bsin4xcos4x

Lời giải

a) Ta có A2 sinxcosx2 sin2xcos2 x2sin cosx x 1 sin 2x

Vì sin 2x  nên 1 A2  1 sin 2x  1 1 2 suy ra  2 A 2

Ta có A 2 2sinx 1 2sin 2 x 2sin2x 2sinx1

Đặt tsin ,x t  khi đó biểu thức trở thành 1 2

y 5 1

12

Từ bảng biến thiên suy ra maxA  khi 5 t  hay sin1 x  1

t 

hay

1sin

)sin sin sin 2(1 cos cos cos )

)sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sin

Ví dụ 2: Chứng minh trong mọi tam giác ABC không vuông ta đều có:

a) tanAtanBtanCtan tan tanA B C

b) cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1

Lời giải

a) Đẳng thức tương đương với tanAtanBtan tan tanA B C tanC

   tanA tanB tanC tan tanA B 1 *

Suy ra  * tan tan tan tan tan tan tan  tan

tan tan 1 1 tan tan

1 1 tan tan cot cot cot cot 1cot

Hay cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A ĐPCM.1

Ví dụ 3: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a)

3cos cos cos

2

b)

3 3sin sin sin

3

c) tan tan tanA B C 3 3 với ABC là tam giác nhọn.

sin cos sin

3

ĐPCM

c) Vì ABC là tam giác nhọn nên tanA0, tanB0, tanC0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tanAtanBtanC3 tan tan tan3 A B C

Theo ví dụ 2 ta có tanAtanBtanC tan tan tanA B C nên

Ví dụ 4: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) sin sin sin cos cos cos

Công vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta được

sin sin sin cos cos cos

cos cos cosA B C  Mà 0 sin 2sin 2sin 2 0

Do các vế đều không âm nên nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

cos cos  cos cos  cos cos  sin2 sin2 sin2

  2

4sin cos

Công vế với vế và rút gọn ta được

tan tan tan cot cot cot

+ Để chứng minh xyz abc với x y z a b c, , , , , không âm ta đi chứng minh xy a 2(hoặc b c ) rồi xây 2, 2

dựng bất đẳng thức tương tự nhân vế với vế suy ra đpcm

Ví dụ 5: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

5

a a

sin 17 cos 13 sin 13 cos 17 ;

2 2

5 55

sin 2sin cos cos 1

2sin cos sin cos 1

2

11

11

a



.3

tana 

Bài 7 Cho

1cos2

sin sin2 sin3

cos cos2 cos3

sin3 sin sin2

cos3 cos cos2

2sin2 cos sin2

2cos2 cos cos2

sin2 2cos 1

cos2 2cos 1

sin2 do

2cos 1 0cos2

a) Tính tan , ở đó  là góc giữa hai sợi cáp trên

b) Tìm góc  (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ)

Lời giải

a) Xét DAOH vuông tại H , ta có:

14tan

15

AH HO

  

.Đặt BOH 

Xét DBOH vuông tại H , ta có:

12 4tan

15 5

BH HO

 

, để tìm số đo góc a, ta sử dụng máy tính cầm tay ấn lần lượt các nút:

Ta được kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ là 4o

Vậy  4 o

Bài 10 Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (Hình 18) Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất) Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ)

8 2

BN CN

;

Xét ΔBCNACM vuông tại M có:

20 10tan

26 13

AM CM

;

M 

C

1.4

M 

D M 0.Lời giải

Chọn B

Ta có M cos 154 o sin 154 o cos 152 o 2 sin 152 o2

cos 152 o sin 152 o cos 152 o sin 152 o

M 

C

1.4

M 

D M 0.Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức nhân đôi cos2a sin2acos 2a

Ta có M cos 154 o sin 154 o  cos 152 o sin 152 o

M 

C

1.4

M 

D

15 3.32

M 

Lời giải Chọn D

cos sin cos sin cos cos sin sin

cos 2 cos sin cos sin

1cos 2 1 sin 2



C

3

1.2

Lời giải Chọn A

2

3.2

Lời giải Chọn A

1.3



Lời giải Chọn C

A

1

1

1

1.16

Lời giải Chọn D

Áp dụng công thức sin 2a2.sin cos ,a a ta có

1sin cos cos cos cos sin cos cos cos

cos1016

M 

B

01

cos102

M 

C

01

cos104

M 

D

01

cos108

M 

Lời giải Chọn D

Vì sin100 0 nên suy ra

0 0

sin16016sin10

 M 

0 0

sin 2016sin10 

0

2sin10 cos1016sin10 

01

M 

C M 1 D M 2

Lời giải

M 

Câu 11: Công thức nào sau đây sai?

A cosa b  sin sina bcos cos a b

B cosa b  sin sina b cos cos a b

C sina b  sin cosa b cos sin a b

D sina b sin cosa bcos sin a b

Lời giải Chọn B

Ta có cosa b  cos cosa b sin sina b

Câu 12: Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin 2018 a 2018sin cos a a

B sin 2018 a 2018sin 1009 cos 1009  a  a

C sin 2018 a 2sin cos a a

D sin 2018 a 2sin 1009 cos 1009  a  a

Lời giải Chọn D

Áp dụng công thức sin 2 2sin cos  ta được

sin 2018a 2sin 1009 cos 1009a a

Câu 13: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A cos 6acos 32 a sin 3 2 a B cos 6a 1 2sin 3 2 a

C cos 6a 1 6sin 2a D cos 6a2 cos 32 a1.

Lời giải Chọn C

Áp dụng công thức cos 2 cos2 sin2 2 cos21 1 2sin  2, ta được

cos 6acos 3a sin 3a2 cos 3a1 1 2sin 3  a

Câu 14: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

Lời giải Chọn D

Ta có cos3x4cos3x 3cosx

Câu 15: Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A sina cosa 2 sin a 4 .

Câu 16: Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?

1) cosx sinx 2 sin x 4 .

Câu 17: Công thức nào sau đây đúng?

A cos3a3cosa 4cos 3a B cos 3a4cos3a 3cos a

C cos3a3cos3a 4cos a D cos 3a4cosa 3cos 3a

Lời giải Chọn B

Câu 18: Công thức nào sau đây đúng?

A sin 3a3sina 4sin 3a B sin 3a4sin3a 3sin a

C sin 3a3sin3a 4sin a D sin 3a4sina 3sin 3a

Lời giải Chọn A

Câu 19: Nếu cosa b   thì khẳng định nào sau đây đúng?0

Áp dụng công thức sina b sin cosa bsin cosb a

, ta được

Câu 22: Rút gọn M cosa b cosa b  sina b sina b 

A M  1 2cos 2a B M  1 2sin 2a C M cos 4 a D M sin 4 a

Lời giải Chọn B

Áp dụng công thức cos cosx y sin sinx ycosx y , ta được

Câu 23: Rút gọn M cosa b cosa b sina b sin a b    

A M  1 2sin 2b B M  1 2sin 2b C M cos 4 b D M sin 4 b

Lời giải Chọn A

Áp dụng công thức cos cosx ysin sinx ycosx y , ta được

A 18  B 30  C 36  D 45 

Lời giải Chọn A

Áp dụng công thức cos cosa b sin sina bcosa b , ta được

sin 2 sin 3x xcos 2 cos3x x cos 2 cos3x x sin 2 sin 3x x0

Câu 26: Chọn công thức đúng trong các công thức sau:

A sin sin 1 cos  cos 

a



 D cos 2asin2a cos 2a

Lời giải Chọn B

Áp dụng công thức cos cos 2sin 2 .sin 2

sin sin sin 2

5

A 

và

5cos

56.65



C

16

33.65

Lời giải Chọn C

Ta có

1 1tan tan 2 5 7tan

Câu 30: Cho A B C, , là các góc của tam giác ABC Khi đó PsinAsinBsinC tương đương với:

A 4cos cos cos 2 2 2

Câu 31: Cho A B C, , là các góc của tam giác ABC

Khi đó tan tan2 2 tan tan2 2 tan tan2 2

B

A

C  thì ABC là tam giác có tính chất nào sau đây?

A Cân tại B B Cân tại A C Cân tại C D Vuông tại B

Lời giải Chọn A

Ta có sin 2cos sin 2sin cos sin  sin 

Câu 33: Trong ABC , nếu

2 2

tan sintan sin

C  C thì ABC là tam giác gì?

A Tam giác vuông B Tam giác cân

C Tam giác đều D Tam giác vuông hoặc cân

Lời giải Chọn D

5

  Tính Psin 2  

A

24.25

P 

B

24.25

P 

C

12.25

P 

D

12.25

P 

Lời giải Chọn A

Ta có Psin 2   sin 2 2 sin 2 2sin cos 

Từ hệ thức sin2cos2 1, suy ra

5

 

và

3cos

3

  Tính

1 sin2 cos2sin cos

P 

B

3.2

P 

C

3.2

P 

D

2 5.3

P 

Lời giải Chọn D

Ta có

2sin cos 2cos

   Psin  

A

3.5

P 

B

3.5

P 

C

4 3 3

.10

D

4 3 3

.10

Lời giải Chọn C



  

nên ta chọn

4cos

5

  Tính

P 

B

11.100

P 

C

7.25

P 

D

10.11

P 

Lời giải Chọn A

Áp dụng công thức sin sin 1 cos  cos 

2

, ta được1

P 

B

527.625

P 

C

524.625

P 

D

524.625

P 

Lời giải Chọn B

5

 

và

34



 

 

Tính Psin cos

A

3.5

P 

B

3.5

P 

C

5.3

P 

D

5.3

P 

Lời giải Chọn A

Vì

34

 nên sin cos  0

Ta có sin cos 2 1 sin 2 1 4 9

5 5

       

Suy ra

3sin cos

5

   

Vậy

3.5

P 

Câu 40: Cho góc  thỏa mãn

2sin 2

3

 Tính Psin4cos4

17.81

P 

C

7.9

P 

D

9.7

P 

Lời giải Chọn C

P 

B

119.120

P 

C

120.119

P 

D

119.120

P 

Lời giải Chọn C

13

 

và

5cos

13

 

vào P, ta được

120119

P 

Câu 42: Cho góc  thỏa mãn

2cos 2

P 

C P 6. D P 21.

B

3 21

.8

C

3 3 7

.8

D

3 3 7

.8

Lời giải Chọn B

4

 

và

3cos

4

  vào P, ta được

5

 

và

32

P 

B

1.7

P 

C P 7. D P 7.Lời giải

Chọn A

Ta có

tan 1tan



  

nên ta chọn

3sin

5

 

Suy ra

sin 3tan

4

  vào P, ta được

17

P 

Câu 45: Cho góc  thỏa mãn

4cos 2

A

2.10

P 

B

2.10

P 

C

1.5

P 

D

1.5

P 

Lời giải Chọn B

Ta có cos 2 2cos 2 sin 2 

5

 

Thay

3sin 2

5

 

và

4cos 2

5

 

vào P, ta được

210

P 

Câu 46: Cho góc  thỏa mãn

4cos

5

 

và

32



  

Tính

3sin cos

P 

B

49.50

P 

C

49.50

P 

D

39.50

P 

Lời giải Chọn D

Ta có sin cos3 1sin 2 sin  1sin 2 cos 1



  

nên ta chọn

3sin

5

 

và

4cos

5

 

vào P, ta được

39.50

P 

B

1.2

P 

C P 3. D P 4.Lời giải

Chọn C

Ta có

tan tan tan 1

4tan

4 1 tan tan 1 tan

Thay tan  vào 2 P, ta được P 3.

Câu 48: Cho góc  thỏa mãn cot 15. Tính Psin 2 

A

11.113

P 

B

13.113

P 

C

15.113

P 

D

17.113

P 

Lời giải Chọn C

Ta có

coscot 15 15 cos 15sin

P 

D

5.5

P 

Lời giải Chọn C

Vì

3

; 22



  

  nên ta chọn

4sin

5

 

vào P , ta được 2

2 15

P 

Suy ra

55

P 

Câu 51: Cho góc  thỏa mãn tan  Tính 2

sin 2cos 4 1

P 

B

9.10

P 

C

10.9

P 

D

9.10

P 

Lời giải Chọn C

sin 2 sin 2cos 4 1 2cos 2

1

t t

 

 và

2 2

1cos 2

1

t t

  



2 tan 4sin 2

1 tan 3cos 2

5

 

và

3cos 2

5

 

vào P, ta được

109

P 

Câu 52: Cho góc  thỏa mãn tancot 0 và

1sin

5

  Tính Psin 2

A

4 6.25

P 

B

4 6.25

P 

C

2 6.25

P 

D

2 6.25

P 

Lời giải Chọn B

Ta có Asin 2 2sin cos 

5

 

và

2 6cos

P 

B

2 6.5

P 

C

24.25

P 

D

2 6.5

P 

Lời giải

  (do sin  ).0

63

33.65



D 0

Lời giải Chọn C



C

18

18.65



Lời giải Chọn B

Ta có

5sin

5

  với 0 2

Vậy cos  cos cos sin sin 12 3 5 4 16.



B

115.144



C

117.144



D

119.144



Lời giải Chọn D

Ta có Pcosa b .cosa b   cos cosa bsin sina b cos cosa b sin sina b

cos cosa b2 sin sina b2 cos cos2a 2b 1 cos2a  1 cos2b



B

7 2 6

.18



C

7 4 6

.18



D

7 4 6

.18



Lời giải Chọn D

2 2

1 2 2cos 1 sin 1

7

 ,

3tan

4

  Góc  có giá trị bằng

Ta có

1 3tan tan 7 4

Ta có

3 1 1cot cot 1 4 7

3 1cot cot



 

Lời giải Chọn C

Ta có tan.sincos sin.sincos.cos 

A

10.10



B

10

5.5



D

5.5

Lời giải Chọn A

Ta có

2 2

2 2

11

cos 2

12

a a

B

20

24

24.7



Lời giải Chọn C

Ta có sin cos 1 sin cos 2 1 1 sin 2 1 sin 2 24



B

11

13.27



D

13.27

Lời giải Chọn A

Ta có sin cos  sin sin

cot cot 2 cot cot 1 2 cot cot 3.

p

p q



2.1

p q

2.1

p q





Lời giải Chọn A

Vì tan , tan  là hai nghiệm của phương trình x2px q  nên theo định lí Viet, ta có0tan tan

.tan tan

p q

Câu 67: Nếu tan ; tan là hai nghiệm của phương trình x2 px q 0 p q. 0 Và cot ; cot

là hai nghiệm của phương trình x2 rx s 0 thì tích P rs bằng

p

Lời giải Chọn B

Theo định lí Viet, ta có

tan tantan tan

p q

r s

Khi đó cot cot .cot cot 1 1 1 1

tan tan tan tan

p q

Câu 68: Nếu tan và tan là hai nghiệm của phương trình x2 px q 0 q0 thì giá trị biểu

thức Pcos2 psin.cos qsin2

bằng:

p q

Lời giải Chọn C

Vì tan , tan  là hai nghiệm của phương trình x2 px q  nên theo định lí Viet, ta có0

2 2

1 tan

11

p q

x y M

x y M

Ta có

sinsin sin sin cos cos sin

y x M

Ta có :

sin cos cos sin sin cos cos sinsin sin sin sin sin

.sincos cos

cot cotsin sin

Ta có: M cosxcos 2xcos3xcosxcos3xcos 2x

Ta có: 2

sin 3 sin 2cos 2 sin

2sin2cos 1 cos 2

Ta có:

2 2

1 cos 2 cos cos3 2cos 2cos 2 cos

cos cos 22cos 1 cos

sin cos sin cos sin cos

cos sin sin cos

Ta có :

2 2

1 2sin 2 2sin 2 cos 2

2sin 2 (s

cos 4 sin 4cos

in 2 cos 2 )

tan 22cos 2 (sin 2 cos 2 )

cos 2 1 2sin ;cos 4 2cos 2 1 2 1 2sin 1