081 đề thi hsg toán 7 trường hồng đà 2015 2016

PHÒNG GD&ĐT TAM NÔNG

TRƯỜNG THCS HỒNG ĐÀ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7

NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi : TOÁN Câu 1 (3 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức:

2 13 2 65 3 11 3 5

 b) Cho A  3 32 33  3 2015

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2 A  3 3n

Câu 2 (5 điểm)

a) Tìm các số , ,x y z biết rằng

 

b) Tìm :x

2012 2013 2014 2015

x x x x

c) Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x2 2016x

Câu 3 (5 điểm)

a) Cho

1 3

x A

x





 Tìm số nguyên x để A là số nguyên

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

15 3

x B x





 c) Tìm số nguyên ,x y sao cho x 2xy y 0

Câu 4 (5 điểm) Cho tam giác ABC M là trung điểm của , BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME MA .Chứng minh rằng:

a) AC EB và AC/ /BE

b) Gọi I là một điểm trên AC K là một điểm trên EB sao cho ; AI EK Chứng minh

ba điểm , ,I M K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC H BC(  ).Biết HBE 50 ,0 MEB 250 Tính HEM và BME

Câu 5 (2 điểm)

Từ điểm I tùy ý trong tam giác ABC kẻ , ,, IM IN IP lần lượt vuông góc với

, ,

BC CA AB Chứng minh rằng: AN2 BP2 CM2 AP2 BM2 CN2

ĐÁP ÁN Câu 1.

a)

2 78 3 16

3 3 6

2 104 3 16

b) Tìm được n 2010

Câu 2.

a) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 

2

2

x y z

 

 

       

Vì x y z   0 x y z  0,5 Thay kết quả này vào đề bài ta có:

2

tức là

2

Vậy

x y z 

 

)

2012 2013 2014 2015

2012 2013 2014 2015

b

x

c) Ta có:

 

2014 2014

0

x

x

 





Câu 3 a)

1

A

Để Alà số nguyên thì x  là ước của 4, tức là 3 x     3  1; 2; 4

Vậy giá trị x cần tìm là: 1;4;16;25;49

b)

2

1

x

B



Ta có: x  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 0. x 0 x2   (2 vế dương)3 3

Vậy MaxB 5 x0

c) Từ : x 2xy y  0 1 2 y 2x 1 1

Vì ,x y là các số nguyên nên 1 2 y  và 2x  1là các số nguyên do đó ta có các trường

hợp sau:

Vậy có 2 cặp số ,x y như trên thỏa mãn điều kiện đầu bài

Câu 4.

K

H

E M

A

I

a) Xét AMC và EMB có: AM EM gt AMC EMB( );  (đối đỉnh);BM MC gt( ) Nên AMC EMB c g c( ) AC EB

Vì AMC EMB MAC MEB  (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE) AC/ /BE.

b) Xét AMI và EMK có: AM EM gt MAI MEK( );  (vì AMC EMB)

AI EK gt  AMI EMK c g c  AMI EMK

Mà AMI IME 1800(tính chất hai góc kề bù)

  1800 , ,

c) Trong tam giác vuông



BHE H 

có HBE 500

 900  900 500 400

HEM HEB MEB

Nên BME HEM MHE  150 900 1050(định lý góc ngoài của tam giác)

Câu 5.

M

N P

A

I

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông NIA và NIC ta có:

AN IA  IN CN IC  IN

 

Tương tự ta cũng có: AP2  BP2 IA2 IB2 2 ;MB2  CM2 IB2  IC2 3

Từ (1), (2), (3) ta có: AN2 BP2CM2 AP2 BM2 CN2