Bài 5 ba trường hợp đồng dạng của tam giác

BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được ba trường hợp đồng dạng của tam giác..  Kĩ năng + Vận dụng được khái niệm và tính chất của các trường hợp đồng dạng

BÀI 5 BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được ba trường hợp đồng dạng của tam giác

 Kĩ năng

+ Vận dụng được khái niệm và tính chất của các trường hợp đồng dạng của tam giác để giải

quyết bài toán

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Trường hợp đồng dạng thứ nhất Trường hợp 1:

' ' ' ' ' ' ' ' '

ABC A B C

A B B C C A   ” 

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam

giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

Trường hợp đồng dạng thứ hai

Trường hợp 2:

 

' ' ' '

A B B C    ” 

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam

giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau,

thì hai tam giác đồng dạng

Trường hợp đồng dạng thứ ba

Trường hợp 3:

  ',  ' ' ' '

A A B B   ABC” A B C

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của

tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải

Sử dụng ba trường hợp đồng dạng của tam giác

để chứng minh hai tam giác đồng dạng

- Trường hợp đồng dạng thứ nhất

- Trường hợp đồng dạng thứ hai

- Trường hợp đồng dạng thứ ba

Ví dụ 1 Cho tứ giác ABCD có AB2cm AD, 3cm,

BD cm BC  cm CD cm Chứng minh rằng

ABCD là hình thang.

Hướng dẫn giải

Xét hai tam giác ABD và BDC, ta có:

Theo trường hợp đồng dạng thứ nhất, ta suy ra:

ABD BDC

  (hai góc tương ứng)

/ /

AB DC



Vậy ABCD là hình thang.

Ví dụ 2 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là chân

đường vuông góc kẻ từ A đến BD Lấy điểm E trên DH,

điểm K trên CB sao cho DE CK

DH CB . Chứng minh rằng: ADE ” ACK .

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD Các tam giác

,

OAD OBC cân tại O có góc ở đỉnh bằng nhau nên

 

1 1

D C Xét ADH và ACB ta có: H  B 90 , D 1C1

Do đó ADH ” ACB (theo trường hợp thứ ba).

 1

 

Theo giả thiết, DE CK

DH CB nên DE DH 2 

 

Từ (1) và (2) suy ra AD DE

AC CK .

Xét ADE và ACK ta có: D1 C1,AD DE

  ”  (theo trường hợp đồng dạng thứ hai)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của

các đoạn thẳng OA, OB, OC.

a) Chứng minh PQR ” ABC.

b) Cho biết tam giác ABC có chu vi bằng 54 cm Tính chu vi tam giác PQR.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác OAB, OAC, OBC, ta có:

Vậy PQR” ABC c c c .

b) Ta có PQR ” ABC (chứng minh trên) 1

2

PQR ABC

C C

 

Suy ra 54 27 

2

PQR

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC nhọn Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H Chứng minh rằng:

a) AB AF AC AE

b) AEF” ABC.

Hướng dẫn giải

a) Xét ABE và ACF , ta có: A chung,  AEB AFC 90

 

ABE ACF g g

AB AF AC AE

  

”

b) Xét AEF và ABC , ta có: A chung; AE AB AC AF (chứng minh câu a)

Suy ra AEF” ABC c g c 

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho ABC AB AC   có đường phân giác trong AD Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho

ACI BDA Chứng minh:

a) ABD” AIC

b) ABD” CID

Câu 2: Cho O là một điểm nằm trong tam giác ABC Trên OA lấy một điểm D sao cho 1

3

OD OA Qua

D vẽ một đường thẳng song song với AB cắt OB tại E Qua E vẽ một đường thẳng song song với BC cắt

OC tại F Chứng minh rằng DEF ” ABC và xác định tỉ số đồng dạng.

Dạng 2: Tính độ dài các cạnh, chứng minh các góc bằng nhau, tính số đo góc

Phương pháp giải

- Nếu hai tam giác đồng dạng thì ta có các kết quả

sau: Các cặp góc tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh

tương ứng tỉ lệ, tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số

đồng dạng,…

- Để chứng minh hai góc bằng nhau hay các cặp đoạn

thẳng tỉ lệ bằng phương pháp tam giác đồng dạng ta

có thể làm theo các bước sau:

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC và tam giác DEF

đồng dạng với nhau, biết AB6cm DE, 9cm, 3

EF  cm Tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Do DEF ” ABC (giả thiết) nên ta có:

2 9

Bước 1 Xét hai tam giác có chứa hai góc đó hay

chứa các cặp đoạn thẳng ấy

Bước 2 Chứng minh hai tam giác đó đồng dạng.

Bước 3 Suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau,

cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

Ví dụ 2 Cho hình thang ABCD có đáy

AB cm DC cm và BD6cm Tính số đo

ABC biết  ADB   45

Hướng dẫn giải

Xét ABD và BDC ta có:

+ ABD BDC (hai góc so le trong);

3

BD DC  .

 

45

ABD BDC c g c ABD BCD

  

”

Mà ta lại có: ABC C 180 Vậy ABC 180  45 135

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình thang ABCD (AB, CD là đáy), biết AB9cm BD, 12cm DC, 16cm

a) Chứng minh ABD ” BDC

b) Cho  A110 ; ADB40 Tính các góc còn lại của hình thang ABCD.

c) Tia phân giác của góc DAB cắt BD tại M Kẻ tia phân giác của góc DBC cắt DC tại N Chứng

minh: MD ND MB NC 

Hướng dẫn giải

a) Xét ABD và BDC, ta có:

+ ABD BDC (hai góc so le trong);

4

BD DC  .

Vậy ABD” BDC c g c 

b) Theo câu a) ta có: ABD” BDC ADB BCD 40 (hai góc tương ứng)

Mà ABC BCD 180  ABC 180  40 140

Ta lại có: BAD ADC 180  ADC180 110 70

c) Theo câu a) ta có: ABD ” BDC

  (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mặt khác: AM và BN lần lượt là đường phân giác của góc BAD và góc DBC, nên ta có:

;

AD MD BC NC .

 

Vậy MD ND MB NC 

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho xOy Trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D sao cho: OA4cm,

OC cm OB cm OD cm Chứng minh: OAB ODC

Câu 2: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD tại M, tia DE cắt

đường thẳng AB tại N Chứng minh rằng:

a) NBC” BCM .

b) BM CN

Câu 3: Cho ABC nhọn, có AD là đường cao D BC , H là trực tâm, BC a không đổi

a) Chứng minh rằng: ADB ” CDH .

b) Tính giá trị lớn nhất của tích DA DH

ĐÁP ÁN Dạng 1 Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Câu 1:

a) Xét ABD và AIC có: BAD IAC BDA ICA ,  (giả thiết)

Suy ra ABD” AIC g g 

b) Xét ABD và CID có:

+ ABD AIC DIC  (do ABD ” AIC);

+ BDA IDC (đối đỉnh)

Suy ra ABD” CID g g 

Câu 2:

+ Xét OAB, ta có: / / 1

3

  

+ Tương tự với tam giác OAC và OBC, ta có: 1; 1

AC  BC  .

+ Xét DEF và ABC có: 1

3

AB AC BC 

Suy ra DEF” ABC c c c 

+ Tỉ số đồng dạng là 1

3.

Dạng 2 Tính độ dài các cạnh, chứng minh các góc bằng nhau, tính số đo góc

Câu 1:

Xét OAB và ODC, ta có:

+ O là góc chung,

5

OD OC  .

 

OAB ODC c g c

  ” 

Suy ra OAB ODC (hai góc tương ứng)

Câu 2:

a) Theo giả thiết ta có:

+ AB CM/ / AB EB;  1

 

+ BN CD/ / BN EB  2

 

Từ (1) và (2), suy ra AB BN  3

Mặt khác, AB BC CD  nên từ (3) suy ra BC BN

CM CB .

Xét NBC và BCM có B C 90 ; BC BN

    nên NBC” BCM c g c .

b) Theo phần a) ta có: NBC” BCM  BCN BMC (hai góc tương ứng)

Gọi O là giao điểm của BM và CN.

Xét OCM có M MCO BCN MCO   90

Suy ra BM CN

Câu 3:

a) Xét ADB và CDH, ta có:

+ BAD HCD (cùng phụ với ˆB );

+ ADB HDC 90

Suy ra ADB” CDH g g 

b) Ta có: ADB~CDH (theo câu a))

  (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

AD DH DB CD

Ta lại có:  2 2

Suy ra

2

4

a

DA DH 

Giá trị lớn nhất của DA DH bằng

2

4

a

khi và chỉ khi DB DC , khi đó tam giác ABC cân tại A.