Bài 4 đường trung bình của tam giác, của hình thang

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được các định nghĩa, định lí về đường trung bình của tam giác.. + Chứng minh các đường thẳng song song dựa vào tí

CHUYÊN ĐỀ BÀI 4 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được các định nghĩa, định lí về đường trung bình của tam giác

+ Nắm được các định lí, định nghĩa về đường trung bình của hình thang

 Kĩ năng

+ Tính độ dài đoạn thẳng thông qua tính chất đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang

+ Chứng minh các đường thẳng song song dựa vào tính chất của đường trung bình tam giác và đường trung bình của hình thang

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Đường trung bình của tam giác

- Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối

trung điểm hai cạnh của tam giác

- Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam

giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh

thứ ba

- Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với

cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

Đường trung bình của hình thang

- Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn nối

trung điểm hai cạnh bên của hình thang

- Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của

hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh

bên thứ hai

- Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với

hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Đường trung bình

MN là đường trung bình

MN là đường trung bình

MN là đường trung bình

MN là đường trung bình

Định nghĩa

Tính chất

Độ dài

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của tam giác để chứng minh tính chất hình học

Phương pháp giải

Bước 1 Chứng minh đường trung bình.

Bước 2 Sử dụng tính chất về độ dài của đường

trung bình

Ví dụ: Tính độ dài đoạn thẳng BC trên hình sau

Hướng dẫn giải

Xét ABC, ta có: AE EC, AD DB 

 DE là đường trung bình của tam giác ABC (Theo định nghĩa của đường trung bình)

1

2

  (Theo định lí 2)

  6

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình vẽ sau Chứng minh rằng D là trung điểm của AB.

Hướng dẫn giải

Xét ABC ta có:

AE = EC (Giả thiết)

DE / /BC do AED ACB

Theo định lí 1 ta có

DE là đường trung bình của ABC

 D là trung điểm của AB

Ví dụ 2 Cho ABC, BD là đường trung tuyến, E là trung điểm của đoạn thẳng AD, F là trung điểm của

đoạn thẳng DC, M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm của cạnh BC Chứng minh rằng:

a) ME / /NF

b) ME NF.

Hướng dẫn giải

a) Xét ABD, ta có:

M, E lần lượt là trung điểm của AB, AD

 ME là đường trung bình của ABD

 

ME / /BD 1



Tương tự đối với CBD, ta có: NF / /BD 2  

Từ (1) và (2), ta suy ra: ME / /NF (vì cùng song song với BD)

b) Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác (theo định lí 2) thì

Vậy ME NF.

Ví dụ 3 Cho ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của đường cao AH D là giao điểm của CM và AB.

a) Gọi N là trung điểm của BD chứng minh rằng HN // DC

b) Chứng minh rằng AD 1AB

3



Hướng dẫn giải

a) Ta có ABC là tam giác cân tại A nên đường cao AH cũng là

đường trung tuyến, hay H là trung điểm của BC

Xét BCD, ta có: H, N lần lượt là trung điểm của BC và BD nên

HN là đường trung bình của BCD

HN / /DC



b) Ta có HN / /DC (chứng minh câu a)

HN / /MD



Xét AHN, ta có:

M là trung điểm của AH,

DM / /HN

 DM là đường trung bình của AHN

 D là trung điểm của AN

1

3

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Chọn câu sai.

A Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

B Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua

trung điểm cạnh thứ ba

C Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng cạnh ấy.

D Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. 

Câu 2: Cho ABC có E là trung điểm của AC, DE // BC,

AD 6cm, DB x.  Tham khảo hình vẽ Giá trị của x là

A x 3cm.

B x 4cm.

C x 5cm.

D x 6cm.

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi I là trung điểm của đường cao AH D là giao điểm của CI và

AB

a) Gọi N là trung điểm của BD Chứng minh rằng HN // DC

b) Chứng minh AD 1AB

3



Câu 4: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng với BC Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho

AD DE EB.  Đoạn CD cắt AM tại I Chứng minh:

a) EM song song với DC

b) I là trung điểm của AM.

c) DC 4DI.

Dạng 2: Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình thang để chứng minh tính chất hình học

Phương pháp giải

Cách 1 Sử dụng định nghĩa đường trung bình của

hình thang

Cách 2 Sử dụng định lí 3, định lí 4.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD,

AB // EF // GH // CD, AB 4cm,GH 8cm.  Tìm

x, y

Hướng dẫn giải

+) Hình thang ABHG có: E, F lần lượt là trung điểm của AG và BH

Theo định nghĩa đường trung bình của hình thang

ta có EF là đường trung bình của hình thang ABHG

AB HG EF

2



  (theo định lí 4)

 

4 8

2



+) Xét hình thang EFCD, ta có:

G, H lần lượt là trung điểm của ED và FC

Theo định nghĩa đường trung bình của hình thang

ta có GH là đường trung bình của hình thang EFCD

EF CD GH

2



  (theo định lí 4)

 

CD 2GH EF y 2.8 6 10 cm

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Trên cạnh AD lấy hai điểm I và K sao cho AI IK KD. 

Từ I và K kẻ các đường thẳng song song với hai đáy cắt BC theo thứ tự tại F và H

a) Chứng minh: BF FH HC. 

b) Cho CD 8cm; IF 6cm.  Tính AB và HK

Hướng dẫn giải

a) Dễ thấy ABHK, IFCD cũng là các hình thang

Ta có I là trung điểm của AK (giả thiết) và IF//AB (giả thiết)

 IF là đường trung bình của hình thang ABHK

 F là trung điểm của BH hay BF FH.

Tương tự trong hình thang IFCD ta có KH là đường trung bình nên FH HC.

BF FH HC

b) Xét tứ giác IFCD, ta có: KH IF CD

2



 (KH là đường trung bình của hình thang IFCD)

 

6 8

2



Trong hình thang ABKH, IF là đường trung bình nên IF AB HK

2





  2IF AB HK 2.6 AB 7 AB 5 cm

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Chọn câu sai

A Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

B Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua

trung điểm cạnh bên thứ hai

C Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

D Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy.

Câu 2: Cho hình thang ABCD như hình vẽ Giá trị của x là

C 5 cm D 4 cm.

Câu 3: Độ dài đường trung bình của hình thang là 8cm và hiệu hai đáy là 4cm Vậy độ dài hai đáy hình

thang là A

A 10 cm và 6 cm B 10 cm và 8 cm C 10cm và 4cm D 8cm và 6cm.

Câu 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Trên cạnh AD lấy hai điểm I và K sao cho AI IK KD.  Từ

I và K kẻ các đường thẳng song song với hai đáy cắt BC theo thứ tự tại F và H

a) Chứng minh: BF FH HC. 

b) Cho CD 8cm; IF 6cm.  Tính AB và HK

Câu 5: Cho hình thang vuông ABCB tại A và D Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC Chứng

minh:

a) AFD cân tại F

b) BAF CDF.

Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Trên cạnh AD lấy hai điểm I và K sao cho AI = IK = KD Từ

I và K kẻ các đường thẳng song song với hai đáy cắt BC theo thứ tự tại F và H

a) Chứng minh: BH 2HC.

b) Cho KH 6cm;IF 4cm.  Tính AB và CD

Dạng 3: Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang để chứng minh tính chất hình học

Phương pháp giải

Cách 1 Sử dụng định nghĩa đường trung bình của

tam giác

Cách 2 Sử dụng định nghĩa đường trung bình của

hình thang

Cách 3 Sử dụng các định lí 1, 2, 3, 4 để suy ra điều

cần chứng minh

Ví dụ: Cho tam giác ABC có BC = 8cm, các trung

tuyến BD, CE Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của

BE, CD Gọi giao điểm của MN với BD, CE theo thứ

tự là I, K

a) Tính độ dài MN

b) Chứng minh rằng MI IK KN. 

Hướng dẫn giải

a) Xét ABC có: E, D lần lượt là trung điểm của

AB, AC ED BC 8 4 cm  

+) Xét tứ giác EDCB có: ED // BC nên EDCB là hình thang

Mặt khác, ta lại có M, N lần lượt là trung điểm của

EB, DC nên MN là đường trung bình của hình thang EDCB

 

b) Xét BED có: M là trung điểm của BE, MI // ED suy ra MI là đường trung bình của BED

 

ED 4

Tương tự, ta cũng có NK là đường trung bình của

CDE NK ED 4 2 cm  

Ta lại có

 

MI IK NK MN    2 IK 2 6    IK 2 cm  Vậy MI IK KN 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho ABC có ba góc nhọn, các đường cao BH, CK Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của B và

C lên đường thẳng HK Gọi M là trung điểm của BC

a) Chứng minh MKH cân

b) Chứng minh DK HE.

Hướng dẫn giải

a) Ta có MH và MK là các đường trung tuyến của hai tam giác vuông BHC và BKC có cùng cạnh huyền BC

MK MH

 MHK cân tại M

b) Kẻ MIDE tại I

+) Xét hình thang vuông BCED, ta có:

M là trung điểm của BC, MIDEnên

I là trung điểm của DE

Mặt khác MHK cân tại M nên I là

trung điểm của HK

DK HE

a) Sử dụng tính chất trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

b) Kẻ MIDE

Chứng minh MI là đường trung bình của hình thang vuông DBCE.

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Gọi M, N, L lần lượt là

trung điểm của AB, AD và AC Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt AC tại H

Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác MNL

Câu 2: Cho tam giác ABC, M và N là trung điểm của hai cạnh AB và AC Nối M với N, trên tia đối của

tia NM xác định điểm P sao cho NP = MN Nối P với C

a) Chứng minh MP BC.

b) Chứng minh CP // AB

c) Chứng minh MP CP.

Câu 3: Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (CA > CB) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ các tam

giác đều AMC và BCD Gọi E, F, I và K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng MC, MB, CD và AD

a) EFIK là hình gì?

b) Chứng minh KF 1MD

2



Câu 4: Cho hình thang ABCD AB // CD và AB < CD Gọi O là giao điểm của AC và BD và OCD đều

a) Chứng minh: ABCD là hình thang cân

b) Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của OA, OD, BC Chứng minh PQR đều

ĐÁP ÁN Dạng 1 Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của tam giác để chứng minh tính chất hình học

1 - C 2 - D

Câu 3.

a) Ta có ABC là tam giác cân tại A

Vì vậy AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

 H là trung điểm của BC

+) Xét BDC có H và N lần lượt là trung điểm của BA và BC

 HN là đường trung bình của tam giác BDC

 HN // DC

b) Theo câu a) ta có: HN // CD  HN // DI

+) Xét ANH ta có I là trung điểm của AH, DI // NH

 D là trung điểm của AN

1

3

Câu 4.

a) Xét BCD, ta có M, E lần lượt là trung điểm của BC và DE

 EM là đường trung bình của BCD

EM // DC



b) Theo câu a) ta có EM // CD EM // DI

+) Xét AEM có D là trung điểm của AE; DI // EM

 I là trung điểm của AM

c) Theo câu b) ta có DI là đường trung bình của AEM DI 1EM 1 

2

Theo câu a) ta có EM là đường trung bình BCD EM 1CD 2 

2

Từ (1) và (2), suy ra: CD 4DI.

Dạng 2 Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình thang để chứng minh tính chất hình học

1 - D 2 - B 3 - A

Câu 4.

a) Xét hình thang ABHK (do AB // KH), ta có: IA IK, IF // KH.

 F là trung điểm của BH

BF FH

Tương tự, với hình thang IFCD (do IF // CD), ta có: HF HC.

Vậy BF FH HC. 

+) Xét hình thang IFCD có KH là đường trung bình của hình thang IFCD

 

IF CD 6 8

+) Xét hình thang ABHK, ta có:

IF là đường trung bình của hình thang ABKH

 

AB HK

2



Câu 5.

a) Xét hình thang vuông ABCD có EF là đường trung bình của hình thang

EF // AB // CD EF AD

+) Xét AFD có EF vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

 AFD là tam giác cân tại F

b) Theo câu a) ta có AFD cân tại F

FAD FDA

  (hai góc tương ứng)

Ta lại có: FAD BAF 90 và FDA FDC 90      

BAF CDF

Câu 6.

a) Ta có AB // KH (giả thiết) nên ABHK là hình thang

+) Xét hình thang ABHK có I là trung điểm của AK; IF // KH

 

FB FH 1

Chứng minh tương tự đối với hình thang IFCD, ta có:

 

HF HC 2

Từ (1) và (2), ta suy ra BH = 2HC

b) Theo câu a) ta có IF là đường trung bình của hình thang ABHK

 

AB HK

2



Theo câu a) ta có KH là đường trung bình của hình thang IFCD

 

IF CD

2



Dạng 3 Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang để chứng minh tính chất hình học

Câu 1.

+) Xét ABD có: MN là đường trung bình của ABD

MN / / BD LH MN do LH BD

+) Tương tự, ta cũng có:

NL là đường trung bình của ACD

NL // DC NL MH

 H là trực tâm của MNL

Câu 2.

a) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình của tam giác ABC

BC

2

Mà ta lại có MN 1MP gt  MP BC

2

b) Ta xét hai tam giác ANM và CNP, ta có:

MN NP; AN NC; ANM CNP  

(hai góc đối đỉnh)

ANM CNP c.g.c

MAN PCN

  (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên CP // AB

c) Theo câu b) Ta có CP = AM (hai cạnh tương ứng)

Mà MA = MB suy ra MB = CP

Câu 3.

c) Xét MCB có EF là đường trung bình của MCB

 

EF // CB 1



+) Xét DAC có KI là đường trung bình của DAC

 

KI // AC 2



Từ (1) và (2), ta suy ra EFIK là hình thang

+) Gọi N là trung điểm của BC, khi đó FN // MC

(FN là đường trung bình của BCM)

Ta dễ dàng chứng minh được MC // BD FN // BD

Mặt khác ta lại có: IN // BD (IN là đường trung bình của CDB)

 F, I, N thẳng hàng

FIK B 60

Chứng minh tương tự, ta cũng có EKI A 60   o

Do đó EFIK là hình thang cân

b) Theo câu a) ta có EFIK là hình thang cân nên EI KF.

Ta lại có EI là đường trung bình của MCD KF EI MD

2

Câu 4.

a) Xét AOB, ta có:

 

ABO ODC 60   (hai góc so le trong)

AOB COD 60   (hai góc đối đỉnh)

 AOB là tam giác đều

AO OB

Mặt khác, ta có: OD OC (vì DOC đều)

AC BD

Xét hình thang ABCD có AC = BD nên ABCD là hình thang cân

b) Xét AOD có PQ là đường trung bình của tam giác AOD

 

Trong ABO có BP vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên BOPC

Xét BPC có BPC 90 ,  PR là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

 

BC

2

Chứng minh tương tự đối với BQC có QR BC 3 

2



Từ (1), (2) và (3), ta suy ra PQR đều