Bài 10 đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

Hoàn thành các phát biểu sau a Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng a cố định một khoảng bằng 5cm là… b Tập hợp các điểm cách điểm A cố định một khoảng không đổi 3cm là… c Tập hợp các đ

BÀI 10 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm : khoảng cách từ một điểm đến một

đường thẳng

+ Hiểu được tính chất của các điểm cách đều đường thẳng

cho trước

 Kĩ năng

+ Vẽ được các đường thẳng song song

+ Chứng minh được các đoạn thẳng bằng nhau

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách

từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia

h là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b

Tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước.

Tính chất: Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với d và cách b một khoảng là h

Đường thẳng song song và cách đều

Định lí:

- Nếu các đường thẳng song song cách đều một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau

- Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phát biểu tập hợp điểm (không chứng minh)

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất để chỉ ra hình dạng của tập hợp các điểm cùng thỏa mãn một điều kiện nào đó Lưu ý đến tính chất đặc trưng của các điểm nằm trên đường đặc biệt

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Hoàn thành các phát biểu sau

a) Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng a cố định một khoảng bằng 5cm là…

b) Tập hợp các điểm cách điểm A cố định một khoảng không đổi 3cm là…

c) Tập hợp các điểm … là đường trung trực của đoạn CD

d) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh (có thể kéo dài) của góc xOy là…

e) Tập hợp các điểm A của tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC cố định là…

f) Tập hợp giao điểm O của hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD với cạnh CD cố định là…

Hướng dẫn giải

a) Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng a cố định một khoảng bằng 5cm là hai đường thẳng song song với a, cách a một khoảng 5cm

b) Tập hợp các điểm cách điểm A cố định một khoảng không đổi 3cm là đường tròn tâm A, bán kính 3cm

c) Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng CD cố định là đường trung trực của đoạn CD d) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh (có thể kéo dài) của góc xOy là hai đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc xOy

e) Tập hợp các điểm A của tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC cố định là đường tròn tâm I, bán

kính

2

BC

, với I là trung điểm của BC

f) Tập hợp giao điểm O của hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD với cạnh CD cố định là đường trung trực của đoạn CD

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Chọn đáp án sai “Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là…”

A Khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đường thẳng này tới một điểm bất kỳ trên đường thẳng kia.

B Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm lần lượt nằm trên hai dường thẳng song song đó.

C Khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng này tới đường thẳng kia.

D Khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng này tới hình chiếu vuông góc của điểm đó trên

đường thẳng kia

Câu 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC5cm cố định và diện tích không đổi là S 20cm2 Quỹ tích điểm A là đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng

Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh DA cố định Quỹ tích giao điểm I của hai đường chéo hình chữ

nhật là

A đường trung trực của đoạn AD B đường trung trực của đoạn AB.

C đường tròn đường kính AD D đường thẳng song song với AD.

Câu 4: Biết trọng tâm G của MNP nằm trên đường thẳng song song với MN, cách MN một khoảng 6cm Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng MN là

Câu 5: Điền cụm từ còn thiếu vào các khẳng định sau:

a) Tập hợp các điểm M thỏa mãn … là đường trung trực của đoạn thẳng AB

b) Quỹ tích các điểm M luôn cách điểm A cố định một khoảng 5cm là…

c) Quỹ tích các điểm M … là hai đường thẳng song song với PQ, cách PQ một khoảng 3cm

a) Tập hợp các điểm M thỏa mãn luôn cách đều hai đầu mút A và B là đường trung trực của đoạn thẳng AB

b) Quỹ tích các điểm M luôn cách điểm A cố định một khoảng 5cm là đường tròn tâm A, bán kính 5cm c) Quỹ tích các điểm M luôn cách PQ một khoảng 3cm là hai đường thẳng song song với PQ, cách PQ

một khoảng 3cm

Dạng 2: Tìm quỹ tích (tập hợp các điểm)

Phương pháp giải

Các quỹ tích điểm quen thuộc

1 Đường tròn

2 Đường trung trực

3 Tia phân giác (có thể mở rộng thành đường

phân giác)

4 Các đường thẳng cách đều

Bước 1 Xác định yếu tố cố định/ di động trong bài

toán và các giá trị không thay đổi

Bước 2 Chỉ ra quan hệ không thay đổi của điểm

cần tìm quỹ tích với các đối tượng cố định trong bài

toán

Bước 3 Xác định giới hạn của quỹ tích và kết luận

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông có cạnh huyền

BC cố định Tìm quỹ tích các điểm A của tam giác đó

Bài toán có:

+ Điểm cố định B, C, đoạn thẳng cố định BC + Điểm di động A

+ Giá trị không đổi: độ dài đoạn BC, góc

 90o

BAC  Gọi I là trung điểm của đoạn BC Khi đó AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của ABC vuông tại A

Suy ra

2

BC

AI BI CI  không đổi

Do B, C cố định nên trung điểm I cố định Vậy, điểm A luôn cách điểm cố định I một khoảng

không đổi

2

BC

Vậy quỹ tích điểm A là đường tròn tâm I bán kính

2

BC

(trừ hai điểm B, C)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC cố định và điểm M di động trên đoạn BC Tìm quỹ tích trung điểm I của

đoạn AM

Hướng dẫn giải

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, I lên cạnh

BC

Ta có AH BC IK, BC AH IK

Dựng IEAH E AH  

Khi đó, tứ giác EIKH có

IEH EHK HKI  nên EIKH là hình chữ nhật

Xét AEI và IKM có:

;

AI IM

AEI IKM 

IAE MIK (đồng vị)

AEI IKM

   (cạnh huyền-góc nhọn)

IK AE

Từ (1) và (2) suy ra EH EA nên E là trung điểm của đoạn AH

AH

Suy ra

2

AH

IK  không đổi nên điểm I luôn cách đường thẳng BC một khoảng không đổi

2

AH

Khi M B thì I P M; C thì I Q với P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC

Do đó quỹ tích điểm I là đoạn thẳng PQ

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có diện tích S không đổi và BC cố định Tìm quỹ tích trọng tâm G của

ABC



Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của BC; H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc

của A, G trên BC

Do G là trọng tâm ABC nên G AI và 1

3

GI  AI

Ta thấy ABI và GBI có chung đường cao hạ từ B, mà

1

3

IG IA nên 1

3

S  S

Mà ABI và GBI có chung cạnh đáy BI nên suy ra 1 1 .

GBI ABI

S GK

GK AH

AH S





Theo giả thiết ABC có diện tích không đổi và BC cố định, suy ra 2S ABC

AH

BC



 không đổi

3

GK  AH không đổi Vậy điểm G luôn cách đường thẳng BC cố định một khoảng không đổi là

GK

Do đó khi điểm A di động thì quỹ tích điểm G là đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng

không đổi là

3

AH

và cùng phía với A

Ví dụ 3 Cho đoạn thẳng cố định AB và điểm M di động nằm trên cạnh AB Dựng về cùng một phía của

đường thẳng AB các tam giác đều AMD và BME Gọi I là trung điểm của đoạn DE Tìm quỹ tích điểm I khi M di động trên AB

Hướng dẫn giải

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AM, BM

Tam giác ADM đều nên DA DM AM

Có DP là trung tuyến, đồng thời là đường cao, suy ra

DPAM

Áp dụng định lý Py-ta-go trong ADP, ta có

2

DP DA  AP AM   AM  AM

Suy ra 3.

2

AM

DP 

Tương tự, ta có được: 3

2

BM

EQ  Xét tứ giác DEQP có DP EQ (cùng vuông góc với AB)

Gọi K là trung điểm của PQ, khi đó IK là đường trung bình của hình thang DEQP

Do đó IK DP và

2

DP EQ

IK  

Từ chứng minh trên, ta có IK AB

IK     AM BM  AB

Vậy, điểm I luôn cách đường thẳng AB một khoảng không đổi là 3

4 AB Khi điểm M A, ta thấy MBEABC và I là trung điểm G của CA

Khi điểm M B, ta thấy MADABC và I là trung điểm H của CB

Do đó khi điểm M di động trên AB thì quỹ tích điểm I là đoạn thẳng GH song song với AB, cách AB một

khoảng 3

4 AB

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho ABC nhọn có AB cố định, các đường cao AM, BN Gọi I là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng AB2IM 2IN

b) Tìm quỹ tích các điểm M, N

Câu 2: Cho đoạn thẳng AB cố định và điểm M nằm trên AB Dựng về cùng một phía của đường thẳng

AB các tam giác vuông cân AMC, BMD Gọi I là trung điểm của CD Tìm quỹ tích điểm I khi điểm M di động trên đoạn AB

Câu 3: Cho ABC có đoạn thẳng BC cố định, điểm A nằm trên đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng 12cm Chứng minh rằng trọng tâm G của ABC cũng nằm trên đường thẳng song song với BC Tìm khoảng cách giữa đường thẳng BC và đường thẳng quỹ tích điểm G

Câu 4: Cho góc xOy và một điểm A cố định trên tia Ox M là một điểm di động trên tia Oy Dựng hình

bình hành AOMB Khi M di động trên tia Oy, tìm quỹ tích điểm B

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a) Từ giả thiết, ta có: AM BC BN, CA

Xét tam giác AMB AM BM có MI là trung tuyến ứng với cạnh

Tương tự, ta có

2

AB

IN IB IA 

Do đó,

2

AB

IM IN  hay AB2IM 2IN

b) Do AB cố định nên trung điểm I cố định và độ dài AB không đổi

Từ chứng minh trên, ta có

2

AB

IM IN  không đổi

Vậy khi C di động thì các điểm M, N cùng nằm trên đường tròn tâm I, bán kính

2

AB

Câu 2.

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AM, BM

AMC

 vuông cân tại C có CH là trung tuyến nên

2

AM

CH  và CH AM

Tương tự,

2

BM

DK  và DK BM

Mặt khác CH DK ( cùng vuông góc với AB) nên tứ giác

CDKH là hình thang

Gọi F là trung điểm của HK Ta có FI là đường trung bình của hình thang CDKH nên FI CH DK  suy ra

1

AM BM





Do AB cố định nên độ dài AB không đổi, suy ra FI không đổi

Vậy điểm I luôn cách đường thẳng AB một khoảng không đổi bằng

4

AB

Gọi ACBD E , suy ra ABE vuông cân đỉnh E nên E cố định

Khi M A, ta có CA D E;  suy ra I P với P là trung điểm EA

Khi M B, ta có D B C E ;  suy ra I Q với Q là trung điểm của EB

Do đó, khi M di động trên đoạn AB thì quỹ tích điểm I là đoạn thẳng PQ

Câu 3.

Gọi M là trung điểm của BC thì BM CM

G là trọng tâm của ABC nên G AM và 1

3

GM  AM

Dựng AH BC GK, BC H K BC ,  

Từ giả thiết ta có AH 12cm

Ta thấy CMA và CMG có chung đường cao từ C nên

1 3

CMG

CMA





Đồng thời, CMA và CMG có chung đáy CM nên ta có:

.12 4

CMG

CMA

S

GK

AH S





Vậy G luôn cách BC một khoảng không đổi là 4cm

Do đó, quỹ tích điểm G là đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng 4cm nằm cùng phía đối với điểm A

Câu 4.

Gọi CDBM  I Do BCMD là hình bình hành

nên I là trung điểm của CD và BM

Dựng CK AB DH, AB H K , AB

Xét IDH và ICK có

DIH CIK (đối đỉnh);

ID IC (tính chất trung điểm);

  90 ;o

IHD IKC 

IDH ICK

   (cạnh huyền-góc nhọn)

DH CK

Do ABC cố định nên đường cao CK cố định, suy ra DH CK không đổi

Vậy điểm D luôn cách đường thẳng AB một khoảng cách không đổi là CK

Khi M A thì D Q với tứ giác BCAQ là hình bình hành

Khi M B thì D P với B là trung điểm của CP

Do đó, khi M di động trên đoạn AB thì quỹ tích điểm D là đoạn thẳng PQ