Bài 5 chia đơn thức cho đơn thức chia đa thức cho đơn thức

 Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.. Quy tắc chia đa thức cho đơn thức Muốn chia đa thức A cho đơn thứ

BÀI 5: CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC.

CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Vận dụng được quy tắc chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức

 Kĩ năng

+ Thực hiện được phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức

+ Biết cách tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm điều kiện để phép chia hết.

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Các khái niệm cơ bản

Cho A và B là hai đơn thức, B 0

 Ta nói đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu tìm được một đơn thức Q sao cho AB Q

Trong đó: A được gọi là đơn thức bị chia;

B được gọi là đơn thức chia;

Q được gọi là thương.

 Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn

số mũ của nó trong A

Kí hiệu: QA B: hoặc Q A

B



Các quy tắc lũy thừa

Với mọi ,x y 0; m n  , thì



m n m n

x x x ;

 x m :x n x m n mn;

 x m.y m  xy m;



m m

m

y

y

 

 

 

;

  m n m n.

x x

x





Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trong trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau

Bước 1 Chia hệ số của A cho hệ số của B.

Bước 2 Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B.

Bước 3 Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trong trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B) ta làm như sau

Bước 1 Ta chia mỗi hạng tử của A cho B.

Bước 2 Cộng các kết quả với nhau.

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Thực hiện phép chia

Phương pháp giải

Chia một đơn thức cho đơn thức

Bước 1 Xác định phần hệ số, phần biến của

đơn thức A và đơn thức B.

Bước 2 Thực hiện phép tính:

- Chia hệ số của A cho hệ số của B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho

lũy thừa cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả tìm được với nhau

Ví dụ:

Để chia đơn thức 5 2

15

A x y cho 3

3

B x y ta làm như sau:

5 2 15

A x y có hệ số là 15 và phần biến là 5 2

x y 3

3

B  x y có hệ số 3 và phần biến 3

x y

15x y : 3x y 15 : 3 x :x y :y 5x y

Chia một đa thức cho đơn thức

Bước 1 Thực hiện phép chia lần lượt từng

hạng tử của đa thức A cho đơn thức B.

Bước 2 Cộng các kết quả tìm được lại với

nhau

Ví dụ:

Đẻ chia đa thức 4 5 3

2

A x y x y cho đơn thức 2

B x y ta làm như sau:

2x y :x y2x y

: x

x y yx

 4 5 3  2 2 4

2x y x y :x y2x y x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Thực hiện phép chia

a) 4 2

27x y : 3x y

c) 12 8 7 3

125x y : 25x y d) 3 15 4 10 5 12 4 6

:

4x y z 4x y z Hướng dẫn giải

a) Ta có 4 2 2

2x y x: 2x y

b) Ta có 4 5  2 4    4 2  5 4 2

27x y : 3x y 27 : 3  x :x y :y 9x y

c) Ta có 12 8 7 3    12 7  8 3 5 5

125x y : 25x y  125 : 25 x :x y :y 5x y

d) Ta có 3 15 4 10 5 12 4 6 3 5  15 12  4 4  10 6 3 3 4

Chú ý: Khi thực hiện phép chia đơn thức, nếu đơn thức B không có đủ các biến như đơn thức

A thì ta giữ nguyên biến

đó của đơn thứ A.

Ví dụ 2 Thực hiện phép chia

a)  5 4 

2x 3x 4x :x

b)  3 3 4 2 5 4 3 2

10x y 4x y  6x y : 2x y

Hướng dẫn giải

a) Ta có  5 4  4 3

2x 3x 4x :x 2x 3x 4

10x y 4x y  6x y : 2x y 5y2x 3x y

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Thực hiện phép chia

a) 3  2

20 : 8

e)

:

   

   

:



   

   

:

   

   

:

   

   

   

Câu 2: Thực hiện phép chia

a) x 5 : x3 b)  y 7 : y3 c) 12  10

:

2x : 2x

e) 3x 5 : 3x2 f)  2 4 22

:

xy xy g)  2 2 2 2 2

4x y : 2x y h)  2 5 22

6xy : 6xy

Câu 3: Thực hiện phép chia

a)  5 3 2 4 2 2

24x y  12xy : 12xy

c)  2 5 3 7 2 4

45x y 27x y : 9x y

21x y z 6x y z 3x y z : 3x y z

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải

Tính giá trị của A B: khi xm và yn

Bước 1 Thực hiện phép chia A B:

Bước 2 Thay các giá trị của x y, vào kết quả của

phép chia trên bước 1 rồi tính giá trị của biểu

thức

Bước 3 Kết luận.

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức

8 : 4

A x y x y tại x 2 và y 3

Hướng dẫn giải

Thay x 2 và y 3 vào biểu thức A, ta được

3

Vậy A 48 tại x 2 và y 3

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức

24 : 3

A x y x y tại x 2 và y 2

b) 4 6  2 5

B  x y  x y tại x 1 và y 4

c)  3 5 2 2 2 3 3

:

C  x y z x y z tại x 1, y 1 và z 100

3

2

1

: 3 3

D x y z   x y z

  tại x 1, y 2 và z 3

Hướng dẫn giải

24 : 3

A x y x y tại x 2 và y 2

Ta có 5 3 2 2    5 2  3 2 3

Thay x 2 và y 2 vào biểu thức A ta được  3

8 2 2 128

Vậy A 128 tại x 2 và y 2

b) 4 6  2 5

B x y  x y tại x 1 và y 4

Ta có 4 6  2 5    4 2  6 5 2

B x y  x y     x x y y  x y

Thay x 1 và y 4 vào biểu thức B ta được 2

Vậy B 8 tại x 1 và y 4

c)  3 5 2 2 2 3 3

:

C x y z x y z tại x 1, y 1 và z 100

Ta có  3 5 2 2 2 3 3

:

C  x y z x y z

     3 2 5 2 2 2  3    2 3 3 3 3

 6 10 4  6 9 3

:

x y z x y z

1 x :y y :y z :z

yz



Thay x 1, y 1 và z 100 vào biểu thức C ta được C   1 100100

Vậy C 100 tại x 1, y 1 và z 100

3

2

1

: 3 3

D x y z   x y z

  tại x 1, y 2 và z 3

3

2

1

: 3 3

D x y z   x y z

           

3

1

 

1

: 9

27x y z x y z

 6 6  9 4  9 2

1

5 7

1

243y z



Thay x 1, y 2 và z 3 vào biểu thức D ta được 1 5 7

.2 3 288 243

Vậy D 288 tại x 1, y 2 và z 3

Chú ý: Khi thay các giá trị của biến vào biểu thức, với những giá trị

âm ta phải đóng mở ngoặc giá trị đó rồi mới ghi lũy thừa,

Ví dụ 2 Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức

A x y  x y  x y x y tại x 1 và y 2

` b)  4 6 3 3 2 2 2 1 2

2

B  x y z  x yzx y z  x yz

  tại x 1, y 1 và z 2

Hướng dẫn giải

A x y  x y  x y x y x y  xy y

Thay x 1 và y 2 vào biểu thức A ta được

5 1 2 3 1 2 4.2 18

Vậy A 18 tại x 1 và y 2

b)  4 6 3 3 2 2 2 1 2 2 5 2

2

B x y z  x yzx y z  x yz x y z  x yz

Thay x 1; y 1 và z 2 vào biểu thức B ta được

2.1 1 2 4.1 2 1 2 16

Vậy B 16 tại x 1; y 1 và z 2

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

a)  12 5  10 3

A x y  x y tại x 2 và y 4

b)  5 10 3 3 7

2

B  x y  x y 

  tại x 1 và y 2 c)  13 8 5  10 5 2

C   x y z  x y z tại 1

2

x  ; 1

2

y  và z 1

d)  5 9 2  3 4 2

D  x y z x y z tại x 3; y 1 và z 2020

e)  5 4 3 3  3 2

E  x y  x y x y tại x 1; y 1

f)  2 3 2 4 5 2 2  2

F  xy z x y z  x yz xyz tại x 7; y 1 và z 1

Dạng 3 Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B

Phương pháp giải

Thực hiện phép chia hết A B:

Bước 1 Xác định phần biến của đơn thức A

tương ứng với phần biến của đơn thức B có

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để đơn thức

8

12 n

A x y chia hết cho 5 2

B x y 

Hướng dẫn giải

8

12 n

A x y có chứa n

x và 8

y

5 2

B  x y  có chưa 5

x và 2 n

y 

chứa tham số n.

Bước 2, Sử dụng điều kiện về số mũ của các

biến để đơn thức A chia hết cho đơn thức B.

:

m

m n

n

x

x  (điều kiện mn)

Bước 3 Kết luận.

Để A B thì 5

n n

n

x y 









Vì n   nên n 5;6

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho 8

34 n

A x y và 2 5

17

B x y Tìm tất cả các số nguyên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B.

Hướng dẫn giải

Để A B thì 5

5

n

y y  n

Vì n   nên n 5;6;7 

Ví dụ 2 Cho 2 7

5 n

A x  y và 5 3

3 n

B x y  Tìm tất cả các số nguyên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B.

Hướng dẫn giải

Để A B thì n 2 5

x  x và 7 n 3

y y  suy ra n 25 và 7 n 3, do đó n 3 và n 4 hay 3 n 4

Vì n   nên n 3;4

Ví dụ 3 Cho 2 9 9 21 3

2

Ax y  x y  và 6 3

B x y Tìm tất cả các số nguyên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B.

Hướng dẫn giải

Để A B thì 2n 6

x x và 21 3n 3

y  y suy ra 2n 6 và 21 3 n3, do đó n 3 và

6

n  hay 3 n 6

Vì n   nên n 3;4;5;6

Chú ý: Các giá trị của lũy thừa đều phải là

số nguyên dương.

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

Câu 1: Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B.

12 n

A x y và 6 4 5

5

45 n

A x y  và 6 7

5

B x y

Bài tập nâng cao

Câu 2: Tìm các giá trị nguyên của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B biết:

A x y  z  x y  z và 1 2

22 n

B x  y

A x y  x y  và 2 4

2

B  x y

c) 2 3 2 6 6 8 10 2 5

A x  y  z x y  z và 1 2

22 n

B x  y

LỜI GIẢI

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1.

a) 3  2

5 : 5 5

b) 6 3  2 6 3 9

c) 7  7 7

12 : 4 3 2187

d) 5 2  2   5 3 2 4 5

20 : 8  2 5 : 2 2 5 50000

e)

:

     



     

     

f)



   



   

   

g)

         

         

         

h)

Câu 2.

a)   5 3 2

:

:

c) 12  10 2

:

2 : 2

4

e)   5 2  3 3

3x : 3x 3x 27x

:

xy xy  xy x y

g)  2 2 2 2 2 2 2

4x y : 2x y 8x y h)  2 5 22  23 3 6

6xy : 6xy  6xy 216x y

Câu 3.

a)  5 3 2 4 2 2 3 2

6x y 3x y :x y 6x y3y

24x y 12xy : 12xy 2xy  y

45x y 27x y : 9x y 5y 3xy

d)  4 9 9 5 10 6 3 7 5  3 6 4 3 5 2 4 2

21x y z 6x y z 3x y z : 3x y z 7xy z 2x y z yz

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1.

a)  12 5  10 3

A x y  x y tại x 2 và y 4

Ta có  12 5  10 3 2 2

A x y  x y  x y

Thay x 2 và y 4 vào biểu thức A, ta được 2  2

4.2 4 256

Vậy A 256 tại x 2 và y 4

b)  5 10 3 3 7

2

B x y  x y 

  tại x 1 và y 2

Ta có  5 10 3 3 7 2 3

2

B x y  x y  x y

Thay x 1 và y 2 vào biểu thức B, ta được  2 3

18 1 2 144

Vậy B 144 tại x 1 và y 2

c)  13 8 5  10 5 2

C  x y z  x y z tại 1

2

x  ; 1

2

y  và z 1

Ta có  13 8 5  10 5 2 3 3 3

C   x y z  x y z  x y z

2

x  ; 1

2

y  và z 1 vào biểu thức C, ta được  

3

C       

   

16

C  tại 1

2

x  ; 1

2

y  và z 1

d)  5 9 2  3 4 2

D  x y z x y z tại x 3; y 1 và z 2020

Ta có  5 9 2  3 4 2 3 2 5

5

D  x y z x y z  x y

Thay x 3; y 1 và z 2020 vào biểu thức D, ta được 3 2  5 27

.3 1

Vậy 27

5

D  tại x 3; y 1 và z 2020

e)  5 4 3 3  3 2

E x y  x y x y tại x 1; y 1

Ta có  5 4 3 3  3 2 2 2

E  x y  x y x y x y  y

Thay x 1; y 1 vào biểu thức E, ta được 2 2  

Vậy E 3 tại x 1; y 1

f)  2 3 2 4 5 2 2  2

F xy z x y z  x yz xyz tại x 7; y 1 và z 1

Ta có  2 3 2 4 5 2 2  2 3 3

F  xy z x y z  x yz xyz  yzxy z  x

Thay x 7; y 1 và z 1 vào biểu thức F, ta được     3  3  

Vậy F 11 tại x 7; y 1 và z 1

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

Câu 1.

12 n

A x y và 6 4 5

5

B  x y

Để A B thì 4

4

n

x x  n

45 n

A x y  và 6 7

5

B  x y

Để A B thì 4 7

n

y  y  n   n

Bài tập nâng cao

Câu 2.

A x y  z  x y  z và 1 2

22 n

B  x  y

Để A B thì

2 4 2

1

5

n n n n n

n

n

n n

x x













 

 











Vì n   nên n 3;4;5

A x y  x y  và 2 4

2

B  x y

Để A B thì

3 4

3 4

1

3

n n n

n

n n



















Vì n   nên n 1;2;3

c) 2 3 2 6 6 8 10 2 5

A x  y  z x y  z và 1 2

22 n

B  x  y

Để A B thì

2 6 2

10 2 2

4

n n n

n

x x















 Vậy n 4