Bài 1 nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức

NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày được quy tắc về các phép tính: Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.. + Làm được các bài toán về chứng minh đẳng

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 1 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

BÀI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC.

NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Trình bày được quy tắc về các phép tính: Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.

 Kĩ năng

+ Thực hiện thành thạo các phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức

+ Làm được các bài toán về chứng minh đẳng thức, các bài toán về số học

+ Tính nhanh giá trị biểu thức bằng cách thu gọn biểu thức

+ Làm được các bài toán tìm x dựa vào các phương pháp đã học.

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Quy tắc nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn

thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với

nhau

A B C A B A C

Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng

tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi

cộng các tích lại với nhau

A B   C D  A C A D B C B D   

Các phép toán về lũy thừa

a a a 



m;

a b  a b

a b  a b b

n

a a

x x x x x x  x

x1x x x 1.x x 2 x

Ví dụ:

x1 x2 x x. 21.x2

.2 1 1.2

Ví dụ:

2 5 2 5 7;

x x x  x

8 6 8 6 2

3 3 ;

x y  x y

x y  x y y

 x3 2 x3.2 x6

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Làm phép tính nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức

Phương pháp giải

Thực hiện theo 2 bước

Bước 1 Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức

và quy tắc nhân đa thức với đa thức

Bước 2 Cộng các tích với nhau.

Ví dụ: Thực hiện phép tính x3 x 2 

Hướng dẫn giải

x3 x 2x x  23x 2

.2 3 3.2

2 6

  

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức

a)  2 

2

x x  x 

Trang 3

c) x2 x3 3x1 ; d) x y xy2  23 2xy.

a) Ta có x x2 2 x1 x x.2 2 x x x  1 2 x3 x2x

x x  x  x x  x x x

2x 4x 3 x

c) Ta có x2 x3 3x1  x2.x3  x2 3x  x2 1

5 3 3 2

d) Ta có x y xy2  23 2xy x y2 2 xy xy2 2 xy3 2 xy

3 2 2 3

2x y 2x y 6 xy

Ví dụ 2 Thực hiện phép tính

a) x y x y    1 ; b) x y x   2xy y 2;

c) x1 x 2 x1 ; d) x1 3 x 4 3 x  x 4 3  x5 

a) x y x y    1 x x y  1 y x y  1

x x x y x y x y y y

b) x y x   2xy y 2 x x 2xy y 2 y x 2xy y 2

x x x xy x y y x y xy y y

x x y xy x y xy y

3 3

  c) Ta có x1 x 2 x1x x.  21.x 2  x1

x2 2x x 2 x 1

x2 3x 2 x 1

2 1 3 1 2 1

2 2.1 3 3 1 2 2.1

3 2 2 2

Trang 4

d) Ta có x1 3 x 4 3 x  x 4 3  x5

x x x.3  4 3x x 3 x 5 4 3 x 5

4x 3x 12x 9x 3x 7x 20

9x 18x 11x 20

Ví dụ 3 Cho hai đa thức A x 3 2x23x 1 và B x 32x2 1 Tính A B

Ta có A B x3 2x23x 1   x32x21

3 3 2x2 1 2 2 3 2x2 1 3x 3 2x2 1 1 3 2x2 1

3 1 1.x x 1.2x 1 1

6 2 5 3 2 5 4 4 2 2 3 4 6 3 3 3 2 2 1

Vậy A B x  6 x4 6x34x2 3x1

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Nhân đa thức x 1 với đa thức x 2 ta được tích là

A 2

2

3 2

x  x

Câu 2: Tích của đa thức 4x26xy9y2 và đa thức 2x 3y bằng

A x3y3 B 8x39 y3 C 8x3y3 D 8x3 27 y3

Câu 3: Nhân đơn thức x với đa thức 3 5 2x ta được tích là

A 3 4

5x  2 x B 3

5x  2x C 3

5 2

5x  2 x

Bài tập nâng cao

Câu 4: Thực hiện các phép tính

a) x2 x3  b)    2 

2x1 6x 3x 3 c) x1 x 4 3 x  x 4 3  x5  d) x y xy2  2 x y4 2 x y3 3x y2 4

Câu 5: Thực hiện phép nhân

a) 5x2 3x34x1 2x23  b) 2x2 3x 5 x2 4 

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Trang 5

Muốn tính giá trị biểu thức tại các giá trị của biến,

ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức

và quy tắc nhân đa thức với đa thức

Bước 2 Rút gọn các đơn thức đồng dạng.

Bước 3 Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút

gọn

Ví dụ: Tính giá trị biểu thức

M  x x  x tại x 10

M  x x  x

.1 1 1 1.1

3 1

x

  Thay x 10 vào biểu thức M x31,ta được

3

10 1 1000 1 999

Vậy M 999 khi x 10

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tính giá trị biểu thức

a) A2x x y  y2x y  tại x 2 và y 2

b) B2x1 x1  2x 1 x1 tại x 2

c) C4x2 2xy y 2 2x y  với 1; 1

x y

a) A2x x y  y2x y  tại x 2 và y 2

Ta có A2x x y  y2x y 

2 x x 2 x y y x y y.2

2x 2xy 2xy y

2 2

2x y

Thay x 2 và y  vào biểu thức 2 A2x2 y2

Ta được A 2 2 2  22  8 4 4.

Vậy A 4khi x 2 và y 2

b) B2x1 x1  2x 1 x1 tại x 2

Ta có B2x1 x1  2x1 x1

2x 2 x 1 2x 1 x 1

Trang 6

       

2x x 1 2 x 1 2x x 1 1 x 1

2 x 1 1 x 1 x 1 x 1

Thay x 2 vào biểu thức Bx1, ta được B   2 1 3

Vậy B 3 khi x 2

c) C4x2 2xy y 2 2x y  với 1; 1

x y

Ta có C4x2 2xy y 2 2x y 

4 2x x y 2 2xy x y y 2x y

4 2x x 4 x y 2 2xy x 2 xy y y 2x y y

8x 4x y 4x y 2xy 2xy y

3 3

8x y

Thay 1; 1

x y vào biểu thức 3 3

C x y ta được

C      

    Vậy 28

27

C  khi 1; 1

x y

Ví dụ 2 Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

a) D x y  2 xyy x y xy x 2   2 tại 1; 2

2

x y

b) E x y 2 2 xy21  x3x21 y2 tại 1; 1

2

x y

a) Ta có D x y  2 xyy x y xy x 2   2

x y x xy y x y y xy y x

xy x y x y xy x y x y

Thay 1; 2

2

x y vào biểu thức D x y 2 2, ta được  

2 2

2 4 1

D      

  Vậy D 1 khi 1; 2

2

x y

b) Ta có E x y 2 2 xy21  x3x21 y2

2 2 2 2 2.1 3 2 2 2 1 2

2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2

Thay 1; 1

2

x y vào biểu thức E x 2 y2, ta được

2

E      

 

Trang 7

Vậy 3

4

E  khi 1; 1

2

x y

Ví dụ 3 Tính giá trị biểu thức

8 100 7 100 6 100 5 100 4 100 3 100 2 100 1

tại x 101

Với x 101, ta thay 100 x 1 vào biểu thức M

Ta có

M x  x x  x x  x x  x x  x x  x x  x x

1

x

 

101 1 100

Vậy M 100khi x 101

Câu 1: Giá trị của biểu thức x21 x21 tại x 1 là

Câu 2: Giá trị của biểu thức x23 x2 3 tại x 2 là

Câu 3: Giá trị biểu thức x41001x31001x21001x1001 tại x 1000 bằng

Câu 4: Tính giá trị của biểu thức

a) A b 3c3ab2ac2 abc biết a b c  0

b) B x 5 5x4 5x3 5x25x với 1 x 4

c) C x 7  80x680x5 80x4 80 x15 với x 79

Dạng 3 Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bước 1 Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa

thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức

Ví dụ: Chứng minh rằng biểu thức

P x x  x x  x

Có giá trị không phụ thuộc vào x.

P x x  x  x x  x  x

2x 2x x 1 2x 3x 2x 3 2x 7

Trang 8

Bước 2 Áp dụng các quy tắc rút gọn đa thức

để thu được kết quả không còn chứa biến

2x2 2x2 x 3x 2x 1 3 7

9

 (điều phải chứng minh)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến x.

a) 3x7 2  x3  3x 5 2  x11 

b) 3x2 2x1 x22x3 4x x 21 3x x2 22 

a) Ta có 3x7 2  x3  3x 5 2  x11

3 2x x 3 7 2x 3 3 2x x 11 5 2x 11

6x 9x 14x 21 6x 33x 10x 55

6x2 6x2 14x 9x 33x 10x 21 55

76

b) Ta có 3x2 2x1 x22x3 4x x 21 3x x2 22

3 x x 2x 3 2 x x 2x 3 1 x 2x 3 4 .x x 4 1x

2 2 2

3 x x 3 2x

3 x x 3 2x x 3 3 2 x x x 2 2x x 2 3 1.x x 1.2x 1.3 4x

4x 3x 6x

3x 6x 9x 2x 4x 6x x 2x 3 4x 4x 3x 6x

3x4 3x4 6x3 2x3 4x3 9x2 4x2 x2 6x2

3

Ví dụ 2 Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến x y,

a) x1 x2y  x2 y x   2 x x 2y3y 5 

b) 6x y x3   3 6 2x xy 21 3x y2 2x 4 y

a) Ta có x1x2y  x2 y x  2 x x 2y3y 5

Trang 9

x3 x3 2x2 x2 x2 xy xy 2xy 3y y 2y 15

15

 (điều phải chứng minh)

6 x y x  3  6 2x xy 1  3x y 2x 4y

6.x y 6.x 6.3 6 2x xy 6 1 3x x y x.2 3x y 4y

6x y 6x 18 12x y 6x 6x y 12x y

6x y 6x y 12x y 12x y 6x 6x 18

18

 (điều phải chứng minh)

Câu 1 Giá trị của đa thức nào sau đây không phụ thuộc vào biến x?

A x7 x3  x 5 x11  B x7 x3  3x 5 2  x11 

C 2x7 2  x 3  2x 5 2  x11  D 3x7 x1  3x 2 x4 

Câu 2 Giá trị của đa thức nào sau đây không phụ thuộc vào biến x?

A 3x7 2  x3  3x 5 2  x11  B 3x7 2  x3  3x 5 2  x11 

C 3x7 2  x 3  3x 5 2  x11  D 3x7 2  x3  3x 5 2  x11 

Câu 3 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

a) 5 5x x  2  5x1 5  x1 10  x

b) x 8 x 4 x x 12 32

c) 2x3 3  x1 6x x  219x1 

Dạng 4 Tìm x từ điều kiện cho trước

Bước 1 Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa

thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức

Bước 2 Nhóm các đơn thức đồng dạng và rút gọn

biểu thức ở hai vế để tìm x

Ví dụ: Tìm x biết 5 2 x21 5x 4 2  x30

5 2x 1  5x 4 2x3 0

10x  5 10 x 15x8x12 0 10x210x28x15x12 5 0 

7x 7 0

  

7x 7

 

1

x 

Vậy x 1

Trang 10

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm x biết

a) 4x3 3  x 2 3x1 4  x1 27

b) x1 3  x2 x1x24 3 x2

c) x1 x2  x1 x 3 3x1

a) Ta có 4x12 3  x 2  3x 3 4  x1 27

4 3x x 2 12 3x 2 3 4x x 1 3 4x 1 27

4 3x x 4 2 12.3x x 12 2 3 4x x 3 1x 3.4x 3 1 27

12x 8x 36x 24 12x 3x 12x 3 27

12x 12x 8x 36x 3x 12x 24 3 27

43x 27 27

43x 0

0

x

Vậy x 0

b) Ta có x1 3  x2 x1x24 3 x2

3x x x 3x x 1 4x 3x 2

3x3 3x3 3x2 x2 4x2 x x 1 2

2

6x 1 2

2

6x 1

Vậy 1

6

x 

c) Ta có x1 x2  x1 x 3 3x 1

.2 1 1.2 3 1 1 3 3 1

Trang 11

x2 x2 2x x 3x x 3x 2 3 1

1 1

  (luôn đúng)

Vậy đẳng thức thỏa mãn với mọi x

Câu 1 Tìm x biết

a) x8 x6 x2 104

b) x1 x2  x 3 x46

c) 3 2 x1 x2 2 3 x2 x 419

Dạng 5 Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải

Bước 1 Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức

và nhân đa thức với đa thức biến đổi các vế của

đẳng thức

Bước 2 Thu gọn đa thức để đưa hai vế về cùng một

biểu thức

Bước 3 Kết luận.

Ví dụ: Chứng minh rằng

x2 x3  x1 2  x 33x23 

VT x x  x x x  x

2 3 2 6 2 2 3 2 3

x2 2x2 3x 2x 3x 2x 9

3x 9 3 x 3 VP

Vậy VT VP (điều phải chứng minh)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh rằng

a) 3x2y 5x y  y2 15x27xy 3 y2

b) x y x y     9y2 x 2y x  5y 3 xy

a) Ta có VT 3x3y 5x y  y2

3 5x x y 2 5y x y y

3 5x x 3 .x y 2 5y x 2 y y y

15x 3xy 10xy 2y y

15x 7xy 3y VP

 điều phải chứng minh

b) Ta có VT x y x y     9y2

Trang 12

    2

2

x x x y y x y y y

10

 

Ta có VPx 2y x  5y 3xy

.5 2 2 5 3

x x x y y x y y xy

2 5 2 10 2 3

2 10 2

 

VT VP

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2 Chứng minh rằng

a) x a   x b x2a b x a b  

b) x a x b x c        x3a b c x   2ab bc ca x abc   

a) VT x x b.  a x b.   x2b x a x ab x    2a b x ab VP   

b) x a x b x c        x3a b c x   2ab bc ca x abc   

VT x x b a x b  x c

x x xb a x a b x c   

2

x a b x a b x c

x a b x a bx x a b c x a b c

x a b c x ab bc ca x abc

VP



Ví dụ 3.

a) Xác định ,a b biết x1 x1x2ax b

b) Xác định , , ,a b c d biết x x2 1  2x1 x a  bx3cx2dx1

a) Ta có x1 x1x2ax b

Trang 13

    2

x x  x x ax b

x  x ax b Suy ra a0;b1

b) Ta có 2      3 2

x x  x x a bx cx dx

x  x  x  ax x a bx   cx dx

x x  a x a bx  cx dx

Do đó b1;c1;a1 và 2a1d Suy ra b1;c1;a1 và d 3

Câu 1 Xác định ,a b biết x a x   5 x23xb với mọi giá trị của x.

Dạng 6 Giải bài toán bằng cách đặt ẩn, bài toán số học

Phương pháp giải

Bước 1 Gọi số phải tìm và đặt điều kiện.

Bước 2 Biểu diễn các dữ kiện của đề bài theo số

phải tìm

Bước 3 Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức

và quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm ra đáp

án của bài toán

Bước 4 Kiểm tra điều kiện và kết luận

Ví dụ: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai

số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 100

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là

n n n n  Tích của hai số đầu là n n  1 

Tích của hai số sau là n1 n2 

Vì tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là

100 nên n1 n2 n n 1100

n  n n   n  n

2n  2 100

2n 98 49

n 

Kết hợp điều kiện n 49 thỏa mãn Vậy ba số cần tìm là 49;50 và 51

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52.

Gọi ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là n 2;n và n 2 với n   và n là số lẻ

Tích của hai số sau là: n n 2 n22 n

Tích của hai số đầu là: n n.  2 n2 2 n

Trang 14

Tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52 nên

n22n  n2 2n52

4n 52 13

n 

Kết hợp điều kiện có n 13 (thỏa mãn)

Vậy ba số cần tìm là 11;13 và 15

Từ các ví dụ trên ta có bài toán tổng quát:

Với ba số tự nhiên cách đều

nhau k đơn vị thì: Hiệu giữa

tích hai số cuối và hai số

đầu bằng 2k lần số giữa.

Ví dụ 2 Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số trước là 624.

Vì ba số tự nhiên chẵn cách nhau hai đơn vị nên số đứng giữa bằng 642 : 4 156.

Vậy ba số cần tìm là 154;156 và 158

Bài tập tự luyện bằng 6

Câu 1.

a) Cho A x x 2  3 2x x 1  Chứng minh rằng A chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.

b) ChoB3x 4 4  y 3  4x 3 3  y 4.Chứng minh rằng Bchia hết cho 7 với mọi số nguyên x y,

Câu 2.

a) Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp Biết rằng tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số cuối là 38

b) Cho ,a b là hai số tự nhiên Biết rằng a chia cho 3 dư 1, b chia cho 3 dư 2 Chứng minh rằng a b.

chia cho 3 dư 2

Đáp án và lời giải Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1 Chọn C.

Ta có x1 x2 x x. 21.x2 x x x  2 1. x1.2x23x2

Câu 2 Chọn D.

Ta có 4x26xy9y2 2x 3y 4 2x2  x 3y6 2xy x 3y9 2y2  x 3y

4 2x x 4 3x y 6 2xy x 6 3xy y 9 2y x 9 3y y

8x 12x y 12x y 18xy 18xy 27y

8x 27 y

Câu 3 Chọn A.

Ta có x35 2 x x3.5x3 2 x5x3 2 x4

Trang 15

Câu 4.

x x x  x x x  x

b) 2x1 6  x23x 3 12x36x2 6x 6x2 3x 3 12x3 9x3

c) x1 x 4 3 x  x 4 3  x5

x x2 4 3x x 4 3  x 5

4x 3x 4x 3x 3x 12x 5x 20

3x 10x 11x 20

d) x y xy2  2 x y4 2x y3 3x y2 4

2 4 2 3 3 2 4 2 4 2 3 3 2 4

x y x y x y x y xy x y x y x y

6 3 5 4 4 5 5 4 4 5 3 6

x y x y x y x y x y x y

6 3 3 6 5 4 5 4 4 5 4 5

6 3 3 6

x y x y

Câu 5

a) 5x2 3x34x1 2x23

10x 15x 6x 9x 8x 12x 2x 3

6x 10x 17x 17x 12x 3

b) 2x2 3x 5 x2 4

2x 8x 3x 12x 5x 20

2x 3x 13x 12x 20

Câu 1 Chọn B.

Ta có  2   2  4 2 2 4

x  x  x  x x  x 

Thay x 1vào biểu thức, ta được 141 1 1 0.  

Câu 2 Chọn C.

Ta có  2   2  4 2 2 4

x  x  x  x  x  x 

Thay x 2vào biểu thức, ta được24 9 16 9 7.  

Câu 3 Chọn D.

Ta có x41001x31001x21001x1001x41000x3  x31000x2  x21000x x10001

Câu 4.

a) Ta có A b 3c3ab2ac2 abcb3ab2  c3ac2 abc

Tiêu đề	Bài 1: Nhân Đơn Thức Với Đa Thức, Nhân Đa Thức Với Đa Thức
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	bài tập

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,33 MB