088 đề hsg toán 8 đông hưng 22 23

5,5 điểm Cho hình chữ nhật ABCD.. Gọi M là trung điểm của BC, E là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng CD, F là điểm đối xứng của B qua C a Chứng minh rằng : Tứ giác ABEC là hình

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÔNG HƯNG

ĐỀ THI HSG TOÁN 8 NĂM HỌC 2022-2023

2

x x

a) Rút gọn A

b) Với giá trị nào của x thì

1

2

x



Bài 2 (3,5 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để biểu thức Alà số chính phương: A n 22n12

b) Tìm đa thức dư khi chia đa thức f x   x1 x3 x5 x72036cho đa thức g x  x28x10

Bài 3 (3,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2

3 8 13

5

N

x

 



 b) Cho các số a b c , , 0thỏa mãn a b c abc   và

1 1 1

2

a b c   Tính giá trị của biểu thức

2 2 2 2 2 2

2 2 2

a b b c c a M

a b c



Bài 4 (2 điểm) Tìm x biết :  2 3  3  2 3

x   x  x  x

Bài 5 (5,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm của BC, E là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng CD, F là điểm đối xứng của B qua C

a) Chứng minh rằng : Tứ giác ABEC là hình bình hành

b) Chứng minh rằng : Tứ giác BEFD là hình thoi

c) Chứng minh rằng : C là trọng tâm của AEF

d) Cho AB2 3BC2 Gọi H là trung điểm của DF, giao điểm của đường thẳng AH với đường thẳng EF là K Chứng minh AE 2MK

Bài 6 (2 điểm) Cho tam giác ABC,điểm O nằm trong tam giác Các tia AO BO CO, , cắt

BC, AC, AB thứ tự tại P Q R, , Chứng minh 2

OA OB OC

AP BQ CR  

ĐÁP ÁN

2

x x

c) Rút gọn A

   

2

2

x x

d) Với giá trị nào của x thì

1

2

x



x A



   

1

( )

2

1( )

x ktm

             















Vậy với

1 2

x 

thì

1

2

x



Bài 2 (3,5 điểm)

c) Tìm số tự nhiên n để biểu thức Alà số chính phương: A n 22n12

Để biểu thức A là số chính phương thì A n 22n12m m N2  

   

1

11

m k

m k

 



 



        

Vậy n=4 thì A là số chính phương

d) Tìm đa thức dư khi chia đa thức f x   x1 x3 x5 x72036cho đa thức g x  x28x10

         

2 2

3 5 2036 2 15 2036 2 2021

f x chia cho x x du

                   

Bài 3 (3,5 điểm)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2

3 8 13

5

x x N

x

 





Ta có :

 

2

  Dấu bằng xảy ra x 2 0  x2 Vậy Min N=1 x2

d) Cho các số a b c , , 0thỏa mãn a b c abc   và

1 1 1

2

biểu thức

2 2 2 2 2 2

2 2 2

a b b c c a M

a b c



Ta có :

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

`

2

2

ab bc ca abc ab bc ca a b c

a b c

a b b c c a abc a b c a b c

ma a b c abc

a b b c c a a b c abc a b c a b c

a b b c c a a b c

M

a b c a b c

  

Bài 4 (2 điểm) Tìm x biết : x2135x73 x25x63

Đặt a x 21, b5x 7 a b x  25x6 Khi đó ta có phương trình :

   

2

2

1

7

5

x













      

 Vậy phương trình có tập nghiệm S     1; 1; 2; 3; 7 / 5

Bài 5 (5,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm của BC, E là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng CD, F là điểm đối xứng của B qua C

K

H

E

F

M C

A

D

B

e) Chứng minh rằng : Tứ giác ABEC là hình bình hành

Xét ABM & ECM có :

90

   (tứ giác ABCD là hình chữ nhật), MB = MC (gt),

AMB EMC

  (đối đỉnh) suy ra ABM ECM g c g( ) AB EC (hai cạnh tương ứng) Xét tứ giác ABECcó :

AB // CE (vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật), AB = CE (chứng minh trên)

Nên tứ giác ABEClà hình bình hành

f) Chứng minh rằng : Tứ giác BEFD là hình thoi

Ta có AB=EC mà AB CD (tứ giác ABCD là hình chữ nhật)  CD CE

Xét tứ giác BEFD có hai đường chéo BF và ED cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

 tứ giác BEFD là hình bình hành mà BF ED BEFDlà hình thoi

g) Chứng minh rằng : C là trọng tâm của AEF

Xét AEFcó ME MA ABM  ECM FM là đường trung tuyến của AEF

Mặt khác ,

Xét AEFcó FM là đường trung tuyến , C thuộc FM và

2 3

nên C là trọng tâm tam giác AEF

h) Cho AB2 3BC2 Gọi H là trung điểm của DF, giao điểm của đường thẳng AH với đường thẳng EF là K Chứng minh AE 2MK

Xét ABCvuông tại B có :

Gọi O là giao điểm của AC và BD nên OA OB OC OD   (vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật)  DBCOADvà DBC OAD, đều

60

CFH

   và CH là đường trung bình của BDF CH / /BD EK/ /  3

Mà CH là đường trung tuyến của CDFvuông tại C nên AHFcân tại H và CFH 60

AHF

  đều suy ra CHF 60 1 

Lại có AD=BC=CF=FH=HD DAH cân tại D và

 

2

Từ (1) và (2) suy ra CHA180  FHC DHA180  60  30 90

CH AK

  tại H, kết hợp với (3) ta có EK AK KEAvuông tại K

Xét KEAvuông tại K có KM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AE

2 2

Bài 6 (2 điểm) Cho tam giác ABC,điểm O nằm trong tam giác Các tia AO BO CO, , cắt BC, AC, AB thứ tự tại P Q R, , Chứng minh 2

OA OB OC

AP BQ CR  

P

Q R

A

O

Ta có :

BOC OAC AOB ABC ABC ABC

APS BQ S CR S

1 1

AOB AOC BOC ABC

OP OQ OR

AP AO BQ BO CR CO