CƠ SỞ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ LOGIC TOÁN

1.1. Khái niệm tập hợp. Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học, khái niệm tập hợp không được định nghĩa mà chỉ được mô tả qua các ví dụ. Ví dụ:+ Tập hợp sinh viên Trường CĐSP Bình Phước. + Tập hợp các sinh viên lớp Giáo dục Tiểu Học. + Tập hợp các số tự nhiện. Lí thuyết về các tính chất chung của tập hợp không phụ thuộc vào tính chất của các đối tượng cấu thành cho nên tập hợp được xem là cơ sở của Toán học hiện đại, và được gọi là lí thuyết tập hợp. Các phần tử của tập hợp được kí hiệu: a, b, x, y……. Cách xác định một tâp hợp:

Học phần: Cơ sở Lí thuyết Tập hợp và Lôgic Toán

[1] Số đơn vị học trình: 2 [2] Số tiết: 30

Chương 1: Cơ sở Lí thuyết Tập hợp

Chương 2: Cơ sở Lôgic Toán.

Bài 1 Mệnh đề và các phép toán logic.

Bài 2 Các bài toán về suy luận đơn giản.

Bài 3 Công thức và quy tắc suy luận.

Bài 4 Hàm mệnh đề, mệnh đề tổng quát, tồn tại.

Bài 5 Suy luận và chứng minh.

Bài 6 Suy luận và chứng minh trong dạy học toán tiểu học.

TÀI LIỆU: Cơ sở Lý thuyết Tập hợp và Logic Toán

Tác giả: + Trần Diệu Hiển.

+ Nguyễn Xuân Liêm.

Nhà xuất bản: NXBGD – NXB ĐHSP – 2008.

Sách dự án phát triển giáo viên tiểu học của Bộ giáo Dục và Đào tạo

Chương 1: Cơ sở Lí thuyết Tập hợp

Bài 1: Tập hợp

1.1 Khái niệm tập hợp.

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học, khái niệm tập hợp không đượcđịnh nghĩa mà chỉ được mô tả qua các ví dụ

Ví dụ:+ Tập hợp sinh viên Trường CĐSP Bình Phước

+ Tập hợp các sinh viên lớp Giáo dục Tiểu Học

+ Tập hợp các số tự nhiện

Lí thuyết về các tính chất chung của tập hợp không phụ thuộc vào tính chất củacác đối tượng cấu thành cho nên tập hợp được xem là cơ sở của Toán học hiện đại, vàđược gọi là lí thuyết tập hợp

Các phần tử của tập hợp được kí hiệu: a, b, x, y……

Ví dụ: Tập hợp A ={a, b, c, d} là tập hợp con của tập hợp X={a, b, c, d, e, f}

Khi đó ta viết: A Ì X đọc là X chứa A

Tập hợp B vừa nêu là một tập hợp những tập hợp vì các phần tử của B là những tậphợp.

Tóm lại: Có một tập hợp lớn bào hàm nào đólà tập hợp lại tất cả các tập hợp béhơn, hẹp hơn của tập hợp mẹ

1.4 Số tập con của một tập hợp hữu hạn

Nếu A là một tập hợp với n phần tử thì A có bao nhiêu tập con

Câu 3: Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:

a A là tập hợp các bội tự nhiên của 3 lớn hơn 20 và nhỏ hơn 40

b B là tập hợp các số nguyên tố lớn hơn 30 và nhỏ hơn 50

c C là tập hợp các ước tự nhiên của 36

Câu 4: Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:

2.1.1 Giao của hai tập hợp.

Giao của hai tập hợp là một tập hợp được tạo nên bởi các phần tử chung củahai tập hợp đó

Kí hiệu: AB { |x xA v à x  B}

2.1.2 Giao của nhiều tập hợp.

Giao của nhiều tập hợp là một tập hợp được tạo nên bởi các phần tử chung củanhiều tập hợp đó

CM: (=>) Giả sử A Ì B, theo định nghĩa của tập con (A con B thì mọi phần của

A đều thuộc vào B) thì A B È = B

(<=) Giả sử A B È = B khi đó theo 1) ta có A Ì A B È = B

Xem chứng minh SGK trang 27.

2.4 Không gian, phần bù của một tập hợp.

Ta luôn xét trong một tập hợp X cho trước khi đó ta gọi X là một không gian.Giả sử X là một không gian, A X Ì , tập X\A được gọi là phần bù của A trongX

Kí hiệu: CA X là không gian, A X Ì thì mọi x  X, x  CA <=> x  A

Định lí: Với mọi A, B bất kỳ của không gian X:

a) Tìm: A∩B; B∩C ; A B ; B C ; A\B; B\A; B\C; C\B

b) Tìm: (A∩B)\ C, (A∩C) \ (A∩B ); A\( B C )

c) Lập biểu đồ ven của hai tập hợp A, B

Câu 4: Cho A = { n | n N và n  2 } ; B = { n| n  3 , n N }

a) Tìm: A ∩ B; A  B ; A\B; B\A

b) Lập biểu đồ ven của hai tập hợp A, B

Câu 5: Cho A = { n | n các ước tự nhiên của 36 }; B = { x N| 2x 2 - 15x 13 0 + < }

Thì khi đó cặp: {a, b} {¹ b,a }

Nếu: a ¹ b thì cặp: {a, b} và {b, a} là hai cặp khác nhau

Nếu: a = c và b = d thì: hai cặp này bằng nhau

Ví dụ 1: Diện tích các nước được viết như sau:

+ Tây Ban Nha : 500 km vuông

+ Việt Nam : 330 km vuông

+ Iatalia: 300 km vuông

Ví dụ 2: Trong không gian hai chiều Oxy thì điểm A (2; 3) và điểm B(3; 2) sẽ là haiđiểm khác nhau.

Ví dụ 3: Trong không gian 3 chiều OxyZ thì điểm A (1; 2; 3), điểm B(1; 3; 2), điểmC(3; 1; 2), điểm D(3; 2; 1), … sẽ là những điểm phân biệt khác nhau

3.1.2 Tích đêcac của hai tập hợp:

Cho hai tập hợp X, Y là tập hợp tất cả các cặp (x, y); x X; y Y Î Î được gọi làtích dêcac của cặp X, Y

Kí hiệu: X.Y { x, y | x X; y Y} = ( ) Î Î

Ví dụ: Cho X = {a, b}

Ta có: X.X = {(a, a); (a, b); (b, a); (b, b)}

Ví dụ : Cho X={1; 2} và Y ={a; b; c}

Khi đó tích đêcác của X.Y={(1, a);(1, b);(1 ,c);(2, a);(2, b);(2, c)}

3.2 Định nghĩa quan hệ hai ngôi.

Cho X, Y ; R Ì XY được gọi là quan hệ hai ngôi trên XY

+Nếu: R Ì XX ta nói R là một quan hệ hai ngôi trên X

+ Nếu: R là một quan hệ hai ngôi trên XY và (x, y) Ì R ta viết xRy

+ Nếu (x, y) R Ï thì xRy

Ví dụ: Cho X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 2} ; B={1, 4} ; Y={A, B}

Ta gọi R là quan hệ hai ngôi trên XY:

=> R = {(1, A); (1, B); (2, A); (4, B)} ở đây R có quan hệ là chia hết

3.3.4 Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là đối xứng

Nếu: x y X,  thì xRy => yRx

Ví dụ: Quan hệ hai ngôi bé hơn hoặc bằng trên tập hợp R là phản đối xứng vìvới hai số thực bất kỳ x, y Hai điều kiện x £ y và y £ x kéo theo x = y

Ví dụ: quan hệ hai ngôi “<” trên tập hợp các số thực R là phi đối xứng, vì vớihai số thực bất kỳ x, y các điều kiện x < y và y < x là loại trừ nhau

3.3.5 Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là bắc cầu Nếu: x y z X, ,  thìxRy và yRz => xRz

Ví dụ: Quan hệ hai ngôi chia hết trên tập hợp các số tự nhiên là bắc cầu vì với

x, y, z

" Î ¥, nếu x là ước số của y và y là một ước của z thì x là một ước của z

Ví dụ 2: Quan hệ hai ngôi “<” trên tập hợp R có tính chất bắc cầu

3.4 Quan hệ ngược và hợp của hai quan hệ.

3.4.1 Quan hệ ngược của một quan hệ cho trước.

Cho hai tập hợp X, Y có quan hệ hai ngôi trên X.Y, quan hệ ngược của quan hệ

R Ký hiệu là: R 1 là quan hệ hai ngôi trên Y.X xác định như sau:

+ R 1 = {(0, 0); (1, 1); (2, 4); (3, 9)}

3.4.2 Hợp của hai quan hệ.

Cho ba tập hợp X, Y, Z quan hệ R 1 trên X.Y và quan hệ R 2 trên Y.Z XR1Y

và YR2Z quan hệ XRZ gồm các cặp thứ tự (x, z)  XZ Thỏa mãn các điều kiện: 

yY: xR1y và yR2z được gọi là hợp của hai quan hệ R1 và R2 ký hiệu: R 2 o R 1

a) Tìm quan hệ chia hết R trên A.B

b) Biễu diễn bằng lược đồ tên

Câu 2: Cho X = {1, 2, 7, 8}

a) Tìm quan hệ “Chia hết” R trên X

b) Biễu diễn bằng lược đồ tên

Câu 3: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên Z.Z* xác định bởi:

"x, y Î Z.Z*: (a,b)R(c,d) => ad = cbChứng minh: R là một quan hệ hai ngôi trên Z.Z*

Câu 4: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên ¥ * xác định bởi:

"x, y Î ¥ *: xRy => x= 3yChứng minh: R là một quan hệ hai ngôi trên ¥ *

Câu 5: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên £ * xác định bởi:

" (a + bi)R(c + di) Î £ *: (a + bi)R(c + di) => a.c > 0Chứng minh: R là một quan hệ hai ngôi trên £ *

Câu 6: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên Z xác định bởi:

" a, b Î Z : aRb => a – d M5Chứng minh: R là một quan hệ hai ngôi trên Z.Z*

Câu 7: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên ¥ * xác định bởi:

"x, y Î ¥ *: xRy => y = x + 5Chứng minh: R là một quan hệ hai ngôi trên ¥ *

b) x,y X : xRy => yRx

c) x,y,z  X : xRy , yRz => xRz

Quan hệ tương đương được kí hiệu là ~ khi đó xRy được kí hiệu là x~y đọc là

x tương đương với y

Ví dụ: Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên R xác định bởi: x~y <=> x-y  Z (Z làtập các số nguyên) CMR: ~ là một quan hệ tương đương trên R

=> Quan hệ hai ngôi ~ là một quan hệ tương đương trên R.

Định lý : (Nguyên lý đồng nhất các phần tử tương đương): Quan hệ tươngđương trên X ≠ ϕ chia X thành các tập con khác rỗng, đôi một rời nhau sao cho haiphần tử x, y của X thuộc cùng một tâp hợp con khi và chỉ khi chúng tương đươngnhau

CM: SGK trang 53

4.2 Các lớp tương đương và tập thương.

Giả sử X là tập hợp khác rỗng và ~ là một quan hệ tương đương trên X vớimỗi phần tử x X Î , ta kí hiệu: x% là tập hợp các phần tử y X Î sao cho x~y:

x {y X : x ~ y} = Î

%

Tập hợp x% gọi là lớp tương đương của quan hệ ~ trên X có đại diện là phần tử

x Tập hợp các lớp tương đương của quan hệ ~ trên X được gọi là tập thương, kí hiệu

Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên N.N xác định bởi: (m , n ) ~ (m , n ) 1 1 2 2 khi và chỉ khi

Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên tập hợp Z.Z* xác định như sau:

CM: A là một quan hệ tương đương trên R2

Câu 4: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên Z.Z* xác định bởi:

"x, y Î Z.Z*: (a,b)R(c,d) => ad = cb

Chứng minh: R là một quan hệ tương đương trên Z.Z*

Câu 5: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên ¥ * xác định bởi:

"x, y Î ¥ *: xRy => x= 3yChứng minh: R là một quan hệ tương đương trên ¥ *

Câu 6: Cho R là quan hệ là tương đương trên £ * xác định bởi:

" (a + bi)R(c + di) Î £ *: (a + bi)R(c + di) => a.c > 0Chứng minh: R là một quan hệ tương đương trên £ *

Câu 7: Cho R là quan hệ là hai ngôi trên Z.Z* xác định bởi:

" a, b Î Z : aRb => a – d M5Chứng minh: R là một quan hệ tương đương trên Z.Z*

Bài 5: Quan hệ thứ tự

5.1 Định nghĩa.

Quan hệ hai ngôi R trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có tính chất:

a) x X : xRx (phản xạ)

b) x,y X : xRy => yRx (đối xứng)

c) x,y,z  X : xRy , yRz => xRz (bắc cầu)

Ví dụ: Quan hệ hai ngôi chia hết trên N* là quan hệ thứ tự N* vì:

Định lý: Nếu “” là một quan hệ thứ tự trên X thì quan hệ hai ngôi “<” trên

X xác định bởi x < y <=> x  y và x ≠ y là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trênX

Định lý: Nếu “<” là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên X thì quan hệ haingôi “” trên X xác định bởi x  y <=> x < y hoặc x = y là một quan hệ thứ tự trênX

5.3 Quan hệ toàn phần, QHTT toàn bộ.

QHTT () trên X gọi là quan hệ toàn phần nếu với hai phần tử x, y bất kỳ củaX

Ta có: x  y hoặc y  x

Nếu x,y  X sao cho cả hai điều kiện x  y hoặc y  x đều không xảy ra thì

“” là quan hệ bộ phận

Ví dụ: + QHTT trên R “” là toàn phần

+ Quan hệ chia hết trên N* là QHTT bộ phận

+ Vì 3 và 7 không so sánh được 3 không chia hết cho 7 và 7 không chia hếtcho 3

5.4 Phần tử tối đại, phần tử tối tiểu.

Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, x0  X được gọi là tối đại nếu nó khôngđứng trước bất kỳ một phần tử nào của X

Không tồn tại x  X sao cho x0  X Với x X <=> x0 < x thì x = x0

Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, x0  X được gọi là tối tiểu nếu không cómột phần tử nào của X đứng trước nó

Không tồn tại x  X sao cho x0 ≠ x <=> x  x0

5.5 Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất.

Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, x0  X được gọi là lớn nhất: Nếu x  x0,

x  X

Định lý: Tập sắp thứ tự (X, ) có nhiều nhất một phần tử lớn nhất, phần tử lớnnhất là phần tử tối đại của X

Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, x0  X được gọi là nhỏ nhất:

Nếu x0  x, x  X.

Định lý: Tập sắp thứ tự (X, ) có nhiều nhất một phần tử nhỏ nhất, phần tửnhỏ nhất là phần tử tối tiểu của X

5.6 Các tâp con của một tập sắp thứ tự, Bổ đề Doocner.

Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, A X gọi Alà quan hệ hai ngôi : x,y

A, x Ay và x  y.Tập (A, A) gọi là tập con của tập (X, )

Kí hiệu: (X, )

Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, A  X gọi là dây xích:

x,y X, x  y hoặc y  x

Giả sử: +x0  X gọi là phần tử chặn trên của A nếu x x0,x A

+ x0  X gọi là phần tử chặn dưới của A nếu x0  x,  xA

Bổ đề Doocno: Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự, nếu trong X mỗi dây xích đều có

1 phần tử chặn trên thì trong X có phần tử tối đại

a) A, B có là dây xích trong N* không ?

b) A, B có là quan hệ “chia hết” không?

Câu 3: Cho (X, ) ; X = {2, 5, 8, 10, 20, 40} ; (  ) là quan hệ chia hết trên X

a) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu

b) Tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 6: Ánh xạ

6.1 Định nghĩa.

6.1.1 Một số ví dụ:

Ví dụ : Cho tập hợp: X={Cường Luân, Thái, Mai, Hạnh, Nguyệt, Việt} trongđó: Cường Luân, Thái, Mai, Hạnh là học sinh khối 10 Nguyệt, Việt là hoc sinh khối11

(c,A) thuộc R hay cRA hiểu là :Cường là học sinh lớp 10A”

Ta thấy 5 phần tử c,l,t,m,h của tập X có quan hệ R với các phần tử tập Y có 2phần tử n, v không có quan hệ gì với Y như vậy D(R) khác X (D(R) là tập xác địnhcủa quan hệ R: D(R)={ c,l,t,m,h})

Ví dụ: Giả sử X là tập hợp gồm 6 học sinh: Dũng, Mai, Hạnh, Tuấn, Cường, Quỳnh:

(d,N) thuộc R hay dRN hiểu là: “Dũng có họ là Nguyễn”

Mỗi phần tử của tập hợp X đều có quan hệ với một phần tử nào đó của tập hợp

Y, tức là D(R) = X

6.1.2 Định nghĩa:

Cho X, Y là hai tập hợp, quan hệ hai ngôi f trên X.Y là một ánh xa từ X → Y

là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x  X với một phần tử duy nhất y  Y

Hay là có một x  X thì luôn luôn tồn tại phần tử y  Y Tức có tạo ảnh thì cóảnh

Giả sử X, Y là hai tập hợp, A  X và f : X Y ® ; g: X → Y là những ánh xạ.Nếu F|A = f tức là F(x) = f(x) , x A ta gọi ánh xạ F là ánh xạ mở rộng củaánh xạ f.

Ví dụ : f :  → [0, 1]

x  f(x) = 1 , x 

g :  → [0, 1]

1 x g(x)

0 x /

ïï

=íï Îïî

f : R R

®a

Ví dụ 1: Cho hai tập hợp X={a, b, c, d, e}, Y={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và haiánh xạ: f : X ® Y;g : X ® Y Xác định bởi các bảng sau đây:

7.1.2 Định nghĩa:

Cho ánh xạ f : X Y ® được gọi là một đơn ánh, nếu có hai phần tử bất kỳ của X

có ảnh qua f là hai phần tử khác nhau của Y

x,y X, x ≠ y => f(x) ≠ f(y)

7.2 Toàn ánh.

7.2.1 Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hai tập hợp X={a, b, c, d, e, f} và Y={M, N, P, Q}

Xét ánh xạ f cho bởi f : X ® Y cho bởi bảng sau:

f : R*®R *

Ánh xạ f được biễu diễn bởi lược đồ hình tên như sau:

Khác với các ví dụ trên ở đây ảnh của f(x) = {M, N,P, Q}=Y như vậy mỗiphần tử của Y đều là ảnh của một phần tử nào đó của X qua ánh xạ f thì ta gọi đây làánh xạ f một toàn ánh

Khi đó: (1) Nếu f và g là một đơn ánh thì g.f là một đơn ánh.

(2) Nếu f và g là một đơn ánh thì g.f là một đơn ánh

(3) Nếu f và g là một đơn ánh thì g.f là một đơn ánh

x  1

1

x x





Làm các bài tập 1, 2, 3, 4, 5 [trang 92 và 93 SGK]

Bài 8: Ảnh và tạo ảnh qua một ánh xạ

8.1 Ảnh của một tập hơp qua một ánh xạ.

8.1.1 Định nghĩa:

Giả sử f : X Y ® là một ánh xạ, A  X Tập hợp các ảnh của tất cả các phần tửcủa A qua f được gọi là ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f

Ánh xạ f được biễu diễn bởi lược đồ hình tên sau:

Cho hai tập A và B của X: A={a, c, e} ; B={a, d} ảnh của A và B qua ánh xạ flà:

f(A) ={1, 2} và f(B) = {1, 5}

8.1.2 Một số tính chất của ảnh:

Định lý: Cho f : X Y ® , A  X ; B  X

(1) A  B thì f(A )  f(B)

Giả sử Cho f : X Y ® là một ánh xạ, C  Y, tập tất cả các phần tử x X sao

cho f(x)  C được gọi là tạo ảnh của tập C qua ánh xạ f

i) Biễu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên

ii) Tìm tạo ảnh của các tập hợp C = {M, N, P} và D = {P, Q, R} qua ánh xạ f

Giải:

i) Ánh xạ f được biễu diễn bởi lược đồ hình tên sau:

ii) Tạo ảnh của các tập hợp C và D qua ánh xạ f là:

1

f (C) - ={a, b, c, d, f} và f (D) - 1 ={d, e ,g}

8.2.2 Định lí: Giả sử f : X Y ® là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y, khi đó:

i)Với mọi tập con C của Y, ta có:

Tức là: x f (f (A)) Î - 1 , vậy A Ì f (f (A)) - 1

Ví dụ: Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d} và Y = {M, N , P, Q, R},

với tập con C = {M, N, P, R} của tập hợp Y

Trong Tiếng Việt ở trường Phổ thông chúng ta đã làm quen với rất nhiều loạicâu Các câu thường gặp thường là các câu phản ánh hay nói đúng về thực tế hoặc saithực tế do nguyên nhân khách quan nào đó Cứ mỗi câu nói như thế được hiểu là mộtmệnh đề.

Để ký hiệu một mệnh đề chúng ta dung các chữ cái thường: a, b, c, …

Trong logic mệnh đề chúng ta quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp của các mệnh

đề mà chỉ quan tâm đến tính “đúng” hoặc “sai” của chúng

Nếu a là mệnh đề đúng thì ta gán cho nó với giá trị chân lý bằng 1, KH: G(a) = 1.Nếu a là mệnh đề sai thì ta gán cho nó với giá trị chân lý bằng 0, KH: G(a) = 0

Ví dụ : + a = “Bình Phước là một tỉnh của nước Việt Nam” Khi đó: G(a) = 1

+ b = “Bình Phước là một tỉnh của nước Lào” Khi đó: G(b) = 0

+ “Anh tốt nghiệp phổ thông năm nào?”

+ “Bộ phim này hay quá!”

+ “Tất cả chúng ta đi học đúng giờ”

Đều không phải là mệnh đề

Nói chung những câu nghi vấn, câu mệnh lệnh, câu cảm thán đều không phải làmệnh đề

1.1.1 Luật bài trung: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào

không đúng cũng không sai

1.1.2 Luật mâu thuẩn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai.