052 đề thi hsg toán 9 tỉnh tiền giang 2020 2021

Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho hai nghiệm này lần lượt là giá trị độ dài của hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có đội dài là đường cao ứng với cạnh

PHÒNG GDDT TIỀN GIANG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TRUNG HỌC CƠ SỞ

NĂM HỌC 2020-2021, MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1 (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức A 3 9 80 3 9 80 .Chứng minh A là số nguyên tố

2) Cho 31số nguyên a a1, , ,2 a31

a) Chứng minh a13 a1chia hết cho 6

b) Biết a1a2  a31chia hết cho 6 Chứng minh rằng a13 a23  a313 chia hết cho 6

3) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n4 n2  là số nguyên tố1

Câu 2 (6,0 điểm)

1) Cho ,a b là hai số thực dương ab  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức4

P

 2) Giải phương trình 2 5 x 33x  x 1

3) Cho phương trình x2 2m 3x 5 2m0(m là tham số thực) Tìm m để

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho hai nghiệm này lần lượt là giá trị độ dài của hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có đội dài là đường cao

ứng với cạnh huyền bằng

2 5

5 (đơn vị độ dài)

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ,  d :y x m   3m3 Gọi ,A B lần

lượt là giao điểm của đường thẳng  d với 2 trục tọa độ , Ox Oy Tìm m để diện tích

của hình tròn ngoại tiếp tam giác OAB bằng 8 (đơn vị diện tích)

2) Sau đợt tổng kết phát thưởng cho các vận động viên đạt giải trong Hội Khỏe Phù Đổng cấp Tỉnh của trường X, tổng số tiền phát thưởng là 23 triệu đồng, trong đó huy chương vàng (HCV) được 5 triệu đồng , huy chương bạc (HCB) được 2 triệu đồng và huy chương đồng (HCĐ) được 1 triệu đồng Tính số vận động viên đạt

HCV HCB HCD , biết rằng tổng số vận động viên đạt HCB và HCĐ không quá 2

người

Câu 4 (2,0 điểm) Cho hai số thực ,a b sao cho a b và ab  thỏa mãn :0





   Tính giá trị của biểu thức

2020 2021

M







Câu 5 (4,0 điểm)

Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ A vẽ hai tiếp tuyến

,

AB AC với đường tròn   O B C là tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AMN với đường tròn (O),

M nằm giữa A và N Gọi E là trung điểm của NM

a) Chứng minh năm điểm , , , ,A B E O C cùng thuộc một đường tròn

b) Tia CE cắt  O tại I Chứng minh tứ giác BINM là hình thang cân

c) Gọi H là giao điểm của AO và BC Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp .

ĐÁP ÁN Câu 1.

2

2

3

A

A

A







Vậy Alà số nguyên tố

2) a) Ta có: a13 a1a a1 12  1 a a1 1 1 a11

Có a1 1 ; ; a a1  11là ba số nguyên liên tiếp     3

1 1 1 1 1 6 1 1 6

b) Ta có :

1 2 31 1 2 31 1 1 2 2 31 31

chia hết cho

6, mà a1a2  a31chia hết cho 6

Vậy a13 a23  a313 chia hết cho 6

3) Ta có n4n2  1 n2  n 1 n2  n1

Để n4 n2  là số nguyên tố thì 1

2

2

1

1 1

0

1 1

1

n

n

n





  

4 2

4 2

4 2

Vậy n  hoặc 1 n  thì 1 n4 n2  là số nguyên tố1

Câu 2.

1) Ta có :

2 4

P

Dấu " " xảy ra khi

4

4

a b

a b





2) ĐK: x 5 2 5 x 33x  x 1

Do x  nên 5 3 3x 2, 5 x 0 3 3x  5 x  , dấu bằng khi 2 x 5

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;5

3) Ta có 1 2 m 3  5 2m suy ra phương trình luôn có nghiệm 0, x  và nghiệm1

5 2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 5 2 m 1 m2

Vì hai nghiệm trên là hai cạnh của tam giác vuông có đường cao có độ dài bằng

2 5

5 nên

( )

2 5

5

m

m







 



Vậy

3

2

m 

Câu 3.

1) Vì A là giao điểm của đường thẳng  d với Ox nên A3 m;0

Vì B là giao điểm của đường thẳng  d với Oy nên B0;m  3

Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

2 2

AB

Để diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác OAB bằng 8 thì R2 8

Vậy m  hoặc 7 m  thỏa mãn đề bài 1

2) Gọi số vận động viên đạt HCV là x

Gọi số vận động viên đạt HCB là y

Gọi số vận động viên đạt HCĐ là z x y z   , , *

Ta có :

23

4

5

x

x

x









Khi đó 2y z  3 y z 1

Vậy có 4 vận động viên đạt HCV, 1 vận động viên đạt HCB, 1 vận động viên đạt HCĐ

Câu 4.

Ta có:

 

2

Đặt x bx 1

a

, suy ra (*) trở thành

1( )

3









Suy ra

3 2020.3 2021 8081

M





Câu 5

I E M

C

B

O A

N

a) Chứng minh năm điểm , , , ,A B E O C cùng thuộc một đường tròn

Ta có : OBAOCA90AB AC, là tiếp tuyến của  O )

Mà OEA90Elà trung điểm của dây MN) B C E, , cùng nằm trên đường tròn đường kính OA A B C O E, , , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Tia CE cắt  O tại I Chứng minh tứ giác BINM là hình thang cân

, , , ,

A B C O E cùng nằm trên một đường tròn ABEC là tứ giác nội tiếp

   (2 góc nội tiếp cùng chắn dây AC)

Mà

(là góc tại bởi tiếp tuyến và dây BC)

1

2

(góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Vì ABCAEC sd MC sd MB sd IN sd MC        sd IN sd MB  

Ta có :



1 2

/ /

  tứ giác MBIN là hình thang mà NB MI

 tứ giác MBIN là hình thang cân

c) Gọi H là giao điểm của AO và BC Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp.

Xét hai tam giác ABM và ANB có: BAM chung, ABM ANB(cùng chắn cung

mà AB2 AH AO ABOvuông tại B có đường cao

Xét hai tam giác AMH và AON có :

MAH

 chung, AM AH cmt

( )

Xét tứ giác MHNO có AHM ANO

Vậy tứ giác MHNO là tứ giác nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)