051 đề thi hsg toán 9 tỉnh trà vinh 2020 2021

Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN 2ON.. Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M.. Tính tỉ số AM AO.

SỞ GD VÀ ĐT TỈNH TRÀ VINH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN 9 Câu 1 (4 điểm)

Cho biểu thức

: 1 9

M

x



1) Rút gọn M

2) Tìm x để

1 2

M 

Câu 2 (2 điểm)

Cho a b c   Tính giá trị của biểu thức 0. N a 3b3 c a 2 b2 abc

Câu 3 (3 điểm) Giải hệ phương trình

x y

x y x y







Câu 4 (3 điểm) Giải phương trình x4 x1  3 x2 5x2 6

Câu 5 (2 điểm) Cho ba số dương , ,x y z thỏa mãn

2

1x 1 y 1z  Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức P xyz

Câu 6 (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi ,. I K theo thứ

tự là hình chiếu của H trên AB AC Đặt , AB c AC b , 

1) Tính AH AI AK theo ,, , b c

2) Chứng minh

3 3

BI c

CK b

Câu 7 (2 điểm) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến

,

AB AC với , B C là các tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN 2ON

Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M Tính tỉ số

AM AO

ĐÁP ÁN Câu 1.

1) Điều kiện x0,x9

:

:

M

2) Để

1 2

M 

thì

0

x    x   

x

x



Vậy x  thì 9

1 2

M 

Câu 2.

Vì a b c   0 ca b Ta có :

.0 0

N a b c a b abc

a b a b a b abc

a b a ab a b b abc

ab a b c ab

Câu 3.Giải hệ phương trình :

 

 

4 5 1

x y

x y x y







Từ (1): x4y , thế vào (2):5

2 4y 5 2y  4y 5 y 1 7  2 2y5  3y4 7

2

y    y  y   y  x

Với 5 4 2 2 5 3 4 7 1 9

3

y    y  y   y   x

Vậy x y   ;    7; 3 ; 9;1 ; 1; 1      

Câu 4.Giải phương trình : x4 x1  3 x25x2 6

Điều kiện : x2 5x 2 0

 

Đặt x2 5x2 t t 0thì phương trình (1) trở thành :

2

4( )

1( ) 2

7

t tm

t ktm x

x











 Vậy nghiệm của phương trình là x  hoặc 2 x 7

Câu 5.

Ta có :

1x 1 y 1z   1x   1 y   1z

2

    (bất đẳng thức Cô si cho , ,x y z là số dương)

1

2

yz

Nhân vế với vế ta được :

xyz

Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là

8 x y z  2

Câu 6.

b'

c'

K

B

1) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH:

AH

AH AB AC

b c



Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB vuông tại H, đường cao HI:

2

c

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHC vuông tại H, đường cao HK:

2

c b

2) Xét tam giác BAC có / /

BI IH BI AB c

HI AC

AB AC IH AC b

Xét tam giác BAC có / /

CK HK HK AB c

HK AB

AC AB CK AC b

Xét HIK và ABC có : IHK BAC90 ; HIK ABCHAK

HIK ABC g g

HK AC b

Do đó :

3

c c c c BI HK HI BI

b b b b IH CK HK CK

Vậy

3 3

BI c

CK b

Câu 7.

K

M N

C

B

Gọi K là trung điểm BN Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CN.

MN MC

Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (Do AB AC là hai tiếp tuyến tại, ,

A B của (O) cắt nhau tại A) MB MC 

Xét tam giác MBN có MB MN MC  MBN cân tại M

MK

 vừa là trung tuyến vừa là đường cao của MBN  MK OB

Mà

1 / /

3

AM BK

AB OB AB MK

OA OB

Vậy

1 3

AM

AO 