050 đề thi hsg toán 9 tỉnh hà nam 2020 2021

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn  O Các đường cao ,.. Chứng minh rằng:... Cho biểu thức.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN 9

Câu 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức

Q

a) Rút gọn Q

b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 2 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho parabol ,   2

1 : 2

và đường thẳng

 d :y mx  (với m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m để 2  d cắt  P tại hai

điểm phân biệt ,A B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 5 (đơn vị diện tích)

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 2x2 5x11x7 2x2 1

b) Giải hệ phương trình :

2

2





Câu 4 (2,0 điểm) Tìm các số tự nhiên , ,a b c thỏa mãn

2021 2021

a b

b c



 là số hữu tỷ và

2 2 2

a b c là số nguyên tố

Câu 5 (7,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn  O Các đường cao , AD

,

BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại , H EF cắt  O tại P Q P cung AB,   

a) Chứng minh tam giác APQ cân

b) Chứng minh DH DA DE DF.  .

c) Lấy điểm M đối xứng với điểm P qua AB điểm N đối xứng với điểm Q qua,

AC Chứng minh MN / /BC

2 Cho đường tròn  I nội tiếp tam giác ABC I tiếp xúc với ba cạnh , ,,  BC CA AB

lần lượt tại các điểm , , D E F Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh các

đường thẳng AM EF DI đồng quy., ,

Câu 6.(2,0 điểm) Cho , ,a b c là ba số thực dương, tùy ý Chứng minh rằng:

2 2 2

3 2 2

ĐÁP ÁN

Câu 1 Cho biểu thức

Q

a) Rút gọn Q

ĐKXĐ: x4;x1;x , ta có :0

1

39

5

Q

x

x

x









b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ nhất

Với x4;x1;x , ta có:0

2

Áp dụng BĐT Co-si cho hai số dương

64 5;

5

x

x



 ta được :

64

5

x

 Vậy minQ 6 x9

Câu 2.

+)Xét phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d :

 

1

2 x mx  x  mx 

 P cắt  d tại hai điểm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ' 0

   mà  ' m2   đúng với mọi m 4 0

Gọi x x1, 2là nghiệm của phương trình (1)

 P

 cắt  d tại

A x x  B x x 

Áp dụng định lý Vi-et, ta có :

 

1 2

1 2

4

* 2

x x







 Gọi M N lần lượt là hình chiếu của ,, A B trên trục Ox

Vì x x 1 2 0, không mất tính tỏng quát, ta giả sử x1 0 x2 x2  x1 0

1 2 1 2 1 2

OAB ABNM OAM OBN

ABNC

Từ (*) và (**)

1

1 2 2

1

1 2 2

3

2

1 0( )





 







 

 

 



Vậy

3

2

m 

Câu 3.

a) Giải phương trình 2x2 5x11x7 2x2 1

Đặt 2x2  1 t t 0 , phương trình có dạng

 

t  x t x  có  x72  4 5 x10  x 32  với mọi x0, Phương trình có hai nghiệm

2 5

t x t

 



 



2





Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm 2 7; 2 3 

b) Giải hệ phương trình

 

2 2

2

2



 ĐKXĐ: x1;y Ta có :1

 2  2x y 1 2 y x 1x24y 4 x24y 4  y24x 4 x24y 4

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm, ta được :

2 2 2

2

Mặt khác :

 

4 0 **

x x y

x y x y



Từ

   

0

4 0

x y

x y

  

   













 Th1: x y ,thay vào phương trình    3 , 4  x y  2 1( )tm

Th2: x 4 y, thay vào phương trình (3), (4)

2

2

4 3



3

2

10

2

6

y

y

y

y

y









 







 

 





Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y ;  2;2

Câu 4 Tìm các số tự nhiên , ,a b c thỏa mãn

2021 2021

a b

b c



 là số hữu tỷ và a2 b2 c2là

số nguyên tố.

Ta có :

2021

2021 2021

a b

b c







là số hữu tỉ

Mà a b 2021b c 2021 ab 2021bcac b 2 2021, ; ;a b c 

2 0 2

     Ta lại có :

2 2

Mặt khác, a2 b2 c2là số nguyên tố với mọi , ,a b c  

Nên ta có :

1 1

a c b

a b c





 

2 2 2

2

Th





Có a2 b2 c2    a b c a a  1b b  1c c  1 0

Mà a b c, ,  a a  1 0;b b  1 0;c c  10

      

   kết hợp với  *  a b c  1

Thử lại ta có :  a2 b2 c2  3 a b c  1( )tm

Vậy a b c  1

Câu 5.

1)

x

N M

Q

P

H F

E

D

O A

B

C

a) Có BEAC CF, AB AEH AFH 90

AEHF

 nội tiếp AEF AHF(cùng chắn cung AF)

Mà CHD AHF(đối đỉnh) AEF CHD

Mà CHD FBC(cùng phụ với HCD) AEF FBC AEP ABC Lại có

1 2

(góc trong)

(nội tiếp)

b) Chứng minh tương tự phần a, ta được BFHD CEHD là tứ giác nội tiếp ,

   (cùng chắn cung FH),EDH ECH (cùng chắn EH )

  (cùng phụ với BAC) FDH EDH  FDAEDH 1

Lại có FAD HCD(cùng phụ với ABC);HCD HED(cùng chắn HD )

 2

c) M đối xứng với P qua AB N đối xứng với Q qua , AC AP AM AN , AQ

Mà AP AQ (vì APQ cân tại A) AP AM AN AQ

PMNQ

 là tứ giác nội tiếp  PQN PMx

Có : BE AC BE QN/ / PQN FEB PMx FEB 1

QN AC











Có BFC BEC 90  BFEClà tứ giác nội tiếp  FEBFCB(cùng chắn cung FB)  2

Từ (1) và (2)  FCBPMx

Lại có FC AB PM, AB FC/ /PM  BC / /Mx BC/ /MN

2)

D

J

F

M I

A

Gọi EF cắt DI tại K, vẽ đường thẳng qua K và song song với BC cắt AB AC tại H và J,

Ta có : DI BC HJ. / /BC IK HJ

Từ đó IKHF là tứ giác nội tiếp (vì IKH  IFH 180 )

   (cùng chắn cung KI Tương tự thì KJI).  KEI

Mà KFI KEIEIFcân tại I) KHI KJI  HIJ cân tại I

Mà IK HJtại K K là trung điểm của HJ

Ta giả sử AM cắt HJ tại ' K thì theo Ta let ta có:

)

AM

 cắt HJ tại trung điểm của HJ  AMđi qua K

, ,

AM EF DI

Câu 6

+)Áp dụng BĐT Cosi với mọi số ,a b dương, tùy ý, ta có :

 

2

2

3 2

b a b

ab b







Áp dụng tương tự ta cũng có :

;

 

Áp dụng bđt Cosi dạng phân thức (Svac-xơ), ta có :

2

2

2

2 2

2 2

2 2

a b c

a b c

 

 

Áp dụng BĐT Cô si cho các cặp số thực dương , ; , ; ,a b b c a c ta được :

2 2

2

2

3 4

2 2

a b c

a b c

 

 



2

***

3

a b c

 

2

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c 