039 đề thi hsg toán 9 tỉnh phú yên 2020 2021

BC CA AB Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên EF a Chứng minh rằng FKB EKC... Chứng minh đẳng thứcc Chứng minh rằng KD là phân giác của HKI ĐÁP ÁN Câu 1... Cho tam giác nhọn ABC

111Equation Chapter 1 Section 1SỞ

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH PHÚ YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020-2021

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30/03/2021 Câu 1 (5,00 điểm)

a) Chứng minh rằng 35 2 13  35 2 13 1 

b) Biết đa thức x4 4x3 6px24qx r chia hết cho đa thức x3 3x2 9x3 Tính giá trị biểu thức  p q r 

Câu 2 (3,50 điểm) Giải hệ phương trình :

5

5

2 2

10

xy

x y xy

x y xy

xy









Câu 3 (2,50 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2x2 5y2 13

Câu 4 (3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O Tiếp tuyến

tại B và C cắt nhau ở D Gọi , E F lần lượt là giao điểm của DAvới BC H là giao ,

điểm của OD với BC

a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA

b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) tại K (khác A Chứng minh  rằng , ,E H K thẳng hàng

Câu 5 (3,00 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 2

Câu 6 (3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm,  I là đường tròn

nội tiếp Gọi , ,D E F lần lượt là tiếp điểm của  I với , , BC CA AB Gọi K là hình

chiếu vuông góc của D trên EF

a) Chứng minh rằng FKB EKC

b) Gọi ,P Q lần lượt là giao điểm của , HB HC với EF Chứng minh đẳng thức

c) Chứng minh rằng KD là phân giác của HKI

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) Chứng minh rằng 35 2 13  35 2 13 1 

Ta thấy A3 10 9  3 5 2 13  3 5 2 13  10 9 A

2

1

A







Vậy A 1

b) Biết đa thức x4 4x3 6px2 4qx r chia hết cho đa thức

3 3 2 9 3

x  x  x Tính giá trị biểu thức  p q r 

Giả sử x44x3 6px24qx r x a x   33x2 9x3

Đồng nhất thức các hệ số cùng bậ hai vế, ta được :



Suy ra  p q r  15

Câu 2 Giải hệ phương trình :

5

5

2 2

10

xy

x y xy

x y xy

xy







 Điều kiện : xy0,2x y xy  0

Đặt u xy v , 2x y xy u v   , 0, hệ phương trình đã cho trở thành :

 

 

5

5 1

2

10

4 2

u

v

v

u



 





  



Từ (2)



Thay vào (1) ta được : 2

5

2 4 10

u

2

1 5

5

7 2

2 2

x y

y

 





















 



Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ;  1;5 , 5;2

2

x y    

 

Câu 3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2x2 5y2 13(*)

Ta có :  *  2x2 1 5 3  y2

Do 2,5  nên 1 x  2 1 5 và 3 y22

Đặt x2 1 5 ,3k  y2  , ta có: 2l 10k 10l k l k l  ,  

Do đó

2

2

1

3

3 2 0

2

k







   

  

 Phương trình có các nghiệm nguyên x y   ;    2; 1 ; 2;1 ; 2; 1 ; 2;1        

Câu 4 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O Tiếp tuyến tại Bvà

C cắt nhau ở D Gọi ,E F lần lượt là giao điểm của DAvới , BC H là giao điểm

của OD với BC

K

H F

E

D

O A

B

C

a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA

Theo tính chất tiếp tuyến thì BCOD

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD với CH là đường cao ta có :,

2 2 OA OD

b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) tại K (khác A Chứng 

minh rằng , ,E H K thẳng hàng

Từ câu a) ta có OAH ∽ ODA

 1

     là tứ giác nội tiếp

 2

Từ (1) và (2)  EHDOHA 3

Dễ thấy ABH KCH c g c( ) HA HK hay AKH cân tại H (4)

Vì OH BC AK, / /BC OH AK 5

Từ (4) và (5) suy ra OH là phân giác AHK  OHAOHK 6

Từ (3) và (6) OHK EHD

Suy ra EHO OHK EHO EHD180 , hay 3điểm , ,E H K thẳng hàng

Câu 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 2

Giả thiết

Do đó P x 3  y3 x y x   2  xy y 2 x y 2

Để ý rằng : x y x  2  xy y 2 x y 2  3xyvà

 2

4

x y

Suy ra  2 3 2     4 0

4

x y  x y  x y  x y  x y   

Hay 0 x y 4 0x y 2 16

Vậy Max P 16 x y 2

Câu 6 Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm,  I là đường tròn nội tiếp

Gọi , ,D E F lần lượt là tiếp điểm của  I với , , BC CA AB Gọi K là hình chiếu

vuông góc của D trên EF

N

Q

K F

E

D

I H A

a) Chứng minh rằng FKB EKC

Gọi M N theo thứ tự là hình chiếu của ,, B C lên EF Khi đó :

Mặt khác, BM / /DK / /CN , theo định lý Ta – let ta có :

( )

b) Gọi ,P Q lần lượt là giao điểm của , HB HC với EF Chứng minh đẳng

thức EK FP FK EQ.  .

Dễ chứng minh được BFPCEQ FBP, ECQ(cùng phụ BAC)

Do đó BFP CEQ g g( ) FB FP 1

Theo a) FKB EKC Kết hợp với BFK CEK  BFK∽ CEK g g( ) Suy ra FB FK  2

Từ (1) và (2)

EK FP FK EQ dfcm

c) Chứng minh rằng KD là phân giác của HKI

Theo b) FP FK FP FK KP EK FK EK FK EF 3

Hơn nữa, do IE/ /HP IF, / /HQ IE IF,   IEF HPQ IFEHQP

Do đó IEF∽ HQP g g( ).Ta có:  4

Từ (3) và (4) ta có :

( )

Suy ra IKD90  IKE90  HKQHKD

Hay KD là phân giác IKH