7 điểm Cho đoạn thẳng AB8cm và một điểm M bất kỳ nằm trên đoạn thẳng AB, trên một nửa mặt phẳng bờ AB dựng hai hình vuông AMCD và , BMEF Gọi giao.. 1 điểm Một hình hộp chữ nhật có các k
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI 9 NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN Câu 1 (5 điểm)
1 Tìm tất cả các số tự nhiên n để
1 6
là số nguyên tố
2 Giải phương trình x 1 6 x x 1 6 x 1
Câu 2 (5 điểm)
1 Cho ba số thực khác 0 , ,a b c thỏa mãn điều kiện :
0
a b c a b c Tính giá trị của biểu thức :
2021 2021 2021
2 Tìm tất cả các bộ số nguyên x y z thỏa mãn ; ; x y x y 8z 10
Câu 3 (2 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn abc Tìm giá trị lớn 1 nhất của biểu thức: 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
A
Câu 4 (7 điểm)
Cho đoạn thẳng AB8cm và một điểm M bất kỳ nằm trên đoạn thẳng AB, trên một nửa mặt phẳng bờ AB dựng hai hình vuông AMCD và , BMEF Gọi giao
điểm của đường thẳng AE và BC là điểm , N giao điểm của đường thẳng AC và
BE là P
a) Chứng minh bốn điểm , , ,A N P B cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh rằng DN FN MN. 2và 3 điểm , ,N P F thẳng hàng
c) Tìm vị trí các điểm M trên đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá
trị lớn nhất
Câu 5 (1 điểm) Một hình hộp chữ nhật có các kích thước là các số nguyên dương
tính theo đơn vị cm, có thể tích a cm 3
Biết khi đặt hình hộp chữ nhật đó lên mặt
Trang 2bàn thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là Tìm giá trị nhỏ nhất
của a
Trang 3ĐÁP ÁN Câu 1.
1) Ta có :
1
Với n 0 P không phải số nguyên tố1
Với n 1 P là số nguyên tố2
Với n 2 P là số nguyên tố5
Với n 3 P là số nguyên tố11
Với n thì 4 n 3 và 6 n 2 2 17
n3 , n2 2
thì luôn tồn tại một số chẵn nên khi đó P là hợp số
Vậy P là số nguyên tố thì n1;2;3
2) Giải phương trình x 1 6 x x 1 6 x 1 *
Điều kiện xác định : 1 Đặt x 6 t x 1 6 x
2
2 2
5
2
t
Thay vào * ta được :
2
1( ) 5
2
5 2
t
x
Vậy S 2;5
Câu 2.
1 Ta có :
0
a b
Trang 4 0 0
0
2021
2021
2021
2021
1
a
a
2 Nếu z 0 8z 10không là số nguyên, x y x y z * không thể xảy ra
Nếu z 0 x y x y 11
Nếu z 1 8z 10là số chẵn và chia 4 dư 2 x y x y là số chẵn
Mà x y x y 2xlà số chẵnx y ; x y là số chẵn
x y x y 4
, mà 8 10z
không chia hết cho 4 Nên z không thể xảy ra1 Vậy bộ số nguyên x y z là , , 6;5;0 , 6; 5;0 , 12; 1;0 , 12;11;0
Câu 3.
A
1
;
b c c ac c a a ab
Trang 51 1 1 1 1 1
A
A
Dấu " " xảy ra khi a b c 1
Vậy
1
1 2
Câu 4.
P N
F D
E
C
a) Chứng minh bốn điểm , , ,A N P B cùng thuộc một đường tròn
Hình vuông AMCD có đường chéo AC, CAM 45 PAB 45
Hình vuông BMEF có đường chéo BE, EBM 45 PBA45
Suy ra tam giác PAB vuông cân ở P, suy ra APBE
Xét tam giác EAB có ,, AP EM là các đường cao cắt nhau tại C, suy ra C là trực
tâm tam giác EAB suy ra BC, AE hay BN AE
Tứ giác ANPB có ANBAPB90 nên là tứ giác nội tiếp
Suy ra 4 điểm , , ,A N P B cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh rằng DN FN MN. 2và 3 điểm , ,N P F thẳng hàng
Xét tứ giác ADNC có , ADC ANC 90 nên nội tiếp
Trang 6Tương tự
Từ (1) và (2) suy ra DNAENF 45 Vì , ,E N A thẳng hàng nên , , D N F
thẳng hàng Suy ra MNF MEF 90 MN DF
Xét tam giác DMF có DMF DMC EMF 90 , từ đó theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có DN FN MN. 2
Ta có tứ giác ENCP nội tiếp vì ENC EPC 180 CEN NPChay
Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy ra MFN NEM , suy ra
hay APD DFMmà AP MF suy ra , ,/ / , D P F thẳng hàng
Lại có , ,D P N thẳng hàng Do đó 4 điểm , , , D N P F thẳng hàng
c) Tìm vị trí các điểm M trên đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt
giá trị lớn nhất.
Ta có :
2
2
Câu 5
Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật đó là , ,x y z
Từ giả thiết, ta có a xyz 2z x y xy xy z 1 2z x y z Ta có 2
3 2
Xét hiệu
3 3
16
z
3 2
16
108
1
z xyz
z
Dấu " " xảy ra tại x3,y z 6 Vậy mina 108
