020 đề thi hsg toán 9 huyện chư sê 2020 2021

3,0 điểm Cho tam giác ABC đường cao CK H là trực tâm của tam giác.. 4,0 điểm Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy một điểm M bất kỳ M không trùng với B và C.. Từ M kẻ ME v

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯ SE

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi :12/11/2020 Câu 1 (5,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức a3 15a 252020

với a 313 7 6 313 7 6 b) Tìm các cặp số nguyên x y thỏa mãn ;  x2 2 2x y15y2 2y 0

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Chứng minh rằng 3 2 không thể biểu diễn dưới dạng p q r với , ,p q r là các số hữu tỉ và r dương

b) Xét các số dương , ,a b c thỏa mãn

1 1 1

a b c

a b c

Chứng minh rằng

8ab 1 8bc 1 8ac 1 3 a b c 

Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC đường cao CK H là trực tâm của tam giác ,

Gọi M là một điểm trên CK sao cho AMB90 ; , , S S S1 2theo thứ tự là diện tích các tam giác AMB ABC ABH, ,

a) Chứng minh HK CK. AK BK.

b) Chứng minh S  S S1 2

Câu 4 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy một điểm

M bất kỳ (M không trùng với B và C) Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AC tại F

a) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh BC thì đường thẳng qua M và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định D

b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để diện tích tam giác EDF có giá

trị nhỏ nhất

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100 Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) Tính giá trị biểu thức a3 15a 252020

với a 313 7 6  313 7 6 b) Tìm các cặp số nguyên x y thỏa mãn ;  x2  2 2x y1 5y2 2y0

Lời giải : a) Ta có : x y 3 x3  y33xy x y  

Áp dụng hằng đẳng thức trên ta có :

     

   

3

3

2 2

3

13 7 6 13 7 6

13 7 6 13 7 6 3 13 7 6 13 7 6 13 7 6 13 7 6

a

Khi đó ta có, a315a 252020 12020 1

b) Ta có :

Do ,x y là các số nguyên nên ta có các trường hợp sau :

Vậy các cặp số nguyên x y cần tìm là ;  6;2 , 2;0 , 4;2 , 0;0      

Câu 2.

a) Chứng minh rằng 3 2 không thể biểu diễn dưới dạng p q r với , ,p q r

là các số hữu tỉ và r dương

Giả sử 3 2  p q r  2 p q r 3

3

p p q r pq r q r

p pq r

p pq r r p q q r r

p q q r



+)Nếu r là số chính phương hoặc là số hữu tỉ có dạng

2

m n

 

 

 

p q r

   với mọi số p q  ,  3 2là số hữu tỉ

Điều này vô lý vì 3 2 là số vô tỉ

+)Nếu r không là số chính phương hoặc không là số hữu tỉ có dạng

2

m n

 

 

 

r

 là số vô tỉ  vô lý vì

3

p q q r

 là số hữu tỉ với mọi số , ,p q r 

Vậy 3 2 không thể biểu diễn dưới dạng p q r với , ,p q r là các số hữu tỉ và r

dương

b) Xét các số dương , ,a b c thỏa mãn

1 1 1

a b c

a b c

Chứng minh rằng

8ab 1 8bc 1 8ca 1 3 a b c  Với ba số dương , ,a b c xét biểu thức :

2

8ab 1 8bc 1 8ca 1 a 8b b 8c c 8a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sch arz w cho hai bộ ba số  a b c; ; 

và

8b ; 8c ; 8a

2

2

2

2

1 1 1

a b c

Câu 3.

D M H

K

A

a) Chứng minh HK CK. AK BK.

Xét HKB và AKC có : KBH KCA(cùng phụ với BAC)

 

HK BK

HK CK AK BK

AK CK

 

2

(*)

b) Chứng minh S  S S1 2

lại có : AMB vuông ở M có đường cao MK

2

AK BK MK

  (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2)  CH CK MK  2  KH CK MK 3

Thay (3) vào (*) ta được : 1 2

AB MK

S S  S S

Câu 4.

K

D

E

C A

B

M

a) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh BC thì đường thẳng qua

M và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định D

Kẻ MH EF

Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.

MD cắt EF tại H MF cắt BD tại K

Xét BME vuông tại E có EBM 45  EMB45

BME

  vuông cân tại E BE ME

Tứ giác BEMK có   B E K 90 và BE ME  BEMKlà hình vuông

BE ME MK BK AE KD

Xét AME và DMK có : AEM MKD90 ;

AE KD cmt ME MK cmt   AME DMK c g c( )

   (hai góc tương ứng)

Mà EAM MFE MFE KDM

Lại có : FDC MFD(hai góc so le trong) nên ta có:

90

EFD MDF FDH vuong tai H DH EF

Mà MH EF  M D H, , thẳng hàng

Vậy MH luôn đi qua một điểm D cố định

b) Đặt AB a AE x ,   BE a x a   0,0 x a

Ta có : S DFE S ABCD  S BDE  S DFC  S AFE

DEF

S

 đạt giá trị nhỏ nhất khi

2a 2ax 2x

Ta có :

2

2a 2ax 2x 2 x 2a 4a 2 4a

Vậy

2a 2ax 2x

  đạt giá trị nhỏ nhất là

2

1 3

2 4a

Khi đó M là trung điểm cạnh BC

Câu 5 Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100 Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác

Ta xếp các đoạn thẳng có độ dài tăng dần a1a2  a7 Nếu tồn tại 3 đoạn thẳng a a k; k1;a k2thỏa mãn a k a k1a k2thì 3 đoạn thẳng này có thể lập thành một tam giác

Giả sử ngược lại :

1 2 3; 2 3 4; 3 4 5; 4 5 6; 5 6 7

a a a a a a a a a a a a a a a

Khi đó theo giả thiết :

 Mâu thuẫn với giả thiết cho độ dài mỗi đoạn thẳng nhỏ hơn 100

Vậy tồn tại 3 đoạn thẳng a a k; k1;a k2mà a k a k1 a k2 Do đó tồn tại 3 đoạn thẳng để có thể ghép thành tam giác