019 đề thi hsg toán 9 huyện qùy hợp 2020 2021

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC AD là đường phân giác.. , Gọi HM HN là đường phân giác của tam giác , HAB HAC, a Chứng minh DM / /AC và AD MB b Gọi AP AQ là đường phân

111Equation Chapter 1 Section 1PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN QUỲ HỢP

KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 1 NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN 9 Câu 1 (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức

2 Cho biểu thức

P

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Câu 2 Giải các phương trình sau :

1

2

Câu 3 (6,0 điêm)

a) Xác định đa thức bậc bốn f x biết   f  0  và 1 f x   f x  1 x x 1 2  x1

với x  

b) Tìm ,x y nguyên dương x y thỏa mãn x3 7y y 3 7x

c) Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn abc  Chứng minh rằng :1

2

a b c b c a c a b 

Câu 4.

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC AD là đường phân giác , Gọi HM HN là đường phân giác của tam giác , HAB HAC,

a) Chứng minh DM / /AC và AD MB

b) Gọi AP AQ là đường phân giác của tam giác , AHB AHC Chứng minh rằng,

PQ  PB CQ

2 Cho tam giác đều ABC đường cao , AH Lấy điểm M nằm giữa B và C, vẽ MD

vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E Tìm vị trí của điểm M trên

BC để diện tích MDE lớn nhất

Câu 5 (1,0 điểm)

Bảy người câu được 100 con cá Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá

ĐÁP ÁN Câu 1

1 A  4 10 2 5  4 10 2 5

Ta có : A 0

2

2

A

A

2 Cho biểu thức

P

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P

Để biểu thức P có nghĩa

9

2 0

4

x

x x

x







Vậy

16

9

x x x 

thì P có nghĩa Rút gọn :

2

P

x





b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Để P nguyên

3



 nguyên 3 2  x x,  2 x U (3)   1; 3

 

2 x 1; 1; 3

     vì 2 x  2 x1;3;5  x1;9;25 thỏa mãn

Vậy x 1;9;25 thì P nguyên

Câu 2 Giải các phương trình sau :

1

2

a) ĐKXĐ: x5;y2019,z2021

Phương trình  a  2 x 5 2 y 2019 2 z2021 x y z

2020

2021 1 0

z z



Vậy x6,y2020,z 2020

b) Ta có: 3x2  12x21 3 x 22   và 9 0 5x2  20x24 5 x 22 4 0 Đặt a 3x2  12x21;b 5x2  20x24, DK a: 0,b0

Phương trình (2) có dạng a b a  2  b2

a b a b  1 0 a b 1 0 do a b 0

Với a b  1 0  a b  mà 1 a2  b2 2x2 8x 3 a b 2x2 8x 3

Ta có phương trình 3x2  12x21 x2 4x 1

Xét vế trái : 3x2  12x21 3x 22 9 9 3

Và vế phải :  x24x 1 x 22  3 3

Dấu " " xảy ra khi x 2 0  x2

Vậy phương trình (2) có nghiệm x 2

Câu 3.

a) Xác định đa thức bậc bốn f x biết   f  0  và 1 f x   f x  1 x x 1 2  x1

với x  

Gọi đa thức bậc bốn f x có dạng :  f x  ax4bx3 cx2 dx e a b c d e  , , , , ,a0

Ta có : f  0  1 e1

 

f x ax bx cx dx e

f x f x ax x a b x a b c a b c d

Mà f x   f x  1 x x 1 2  x1 2x33x2x

1

2 0

1

a a

a b c

c

a b c d

d















 

b) Tìm ,x y nguyên dương x y thỏa mãn x37y y 3 7x

( )

7 0

x y ktm

x y x xy y

x xy y







Do x y, ,x2 xy y 2  7 x y, 2

Nếu

y tm

y ktm







Tương tự nếu x  1 y 2

Vậy có các cặp nghiệm thỏa mãn x y ;   2;1 ; 1;2   

c) Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn abc  Chứng minh rằng :1

2

a b c b c a c a b 

Đặt

Ta có :

3

3

a b c y z b c a z x c a b x y

a b c b c a c a b y z z x x y

x y z x y z x y z

x y z

1

3

2

z x x y

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho cặp số x y  , y z  , z x 

1

3 9 3

y z z x x y

x y y z z x

x y y z z x

y z z x x y

Suy ra điều phải chứng minh

Câu 4.

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC AD là đường phân giác ,

Gọi HM HN là đường phân giác của tam giác , HAB HAC,

N

H B

a) Chứng minh DM / /AC và AD MB

Áp dụng tính chất tia phân giác AD HM tương ứng của tam giác , ABC AHB ta có :,

 

DB AB MB HB

DC AC MC HA

Xét ABC HBA, có :

 90 

BAC BHA ABH ABC





 

( ) DB MB 2

ABC HBA g g

DC MC

Từ (1) và (2) suy ra

DB MB

DC MC Theo định lý Ta – let đảo ta có MD/ /AC

*Chứng minh AD MN

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : DN / /AB

Tứ giác AMDN có :

/ / / /

MD AC

AMDN

DN AB







Lại có AD là phân giác MAN nên AMDN là hình thoi Hơn nữa, MAN 90 , khi đó

AMDN là hình vuông Vậy AD MN dfcm ( )

b) Gọi AP AQ là đường phân giác của tam giác , AHB AHC Chứng minh rằng,

PQ  PB CQ

N

M

H D B

P

Q

Ta có: CAP PAH  HAC và CPA PAB PBA(góc ngoài)

Mà PAH PAB HAC, PBA , do đó CAP CPA

CAP

  cân ở C CA CP .Tương tự BA BQ

Khi đó PQ AB AC BC BP BC AC CQ BC AB   ;   ;   Suy ra :

   

2

2 2

2

BP CQ BC AC BC AB

BC BC AB AC AB AC

BC AB AC BC AB AC AB AC

BC BC AB AC AB AC

AB AC BC PQ

Vậy PQ2 2PB CQ.

2 Cho tam giác đều ABC đường cao , AH Lấy điểm M nằm giữa B và C, vẽ MD

vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E Tìm vị trí của điểm M trên BC để diện tích MDE lớn nhất

D

K

E

H

A

Đặt AB AC BC a AH h   ,  Nhận xét , a h là các đại lượng không đổi Ta có :

1

ABC

a

Hơn nữa . 2  2

ABC ABC

a

Từ (1) và (2) suy ra MD ME h 

Hạ EK DM,ta có

1

2

MDE

S  DM EK

Mà EK ME .sinEMKvà

Do đó

MDE

S  DM ME   DM ME

Áp dụng bất đẳng thức

Khi đó

2

MDE

S  DM ME  h

(không đổi) Dấu " " xảy ra  MD ME  M là trung điểm của BC

Vậy giá trị lớn nhất của S MDElà  

8

h

dvdt khi M là trung điểm của BC

Câu 5 Bảy người câu được 100 con cá Biết rằng không có hai người nào câu được số

cá như nhau Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con

cá

Gọi a i*,i1, 7là số con cá mỗi người câu được

Giả sử a1 a2 a3 a7

*Trường hợp 1: a 4 14

Khi đó a1a2 a3 a4 14 13 12 11 50     a5 a6 a7 50

* Trường hợp 2: a 4 14, khi đó a5 a6 a7 16 17 18 51  

Vậy a5 a6 a7 50