010 đề thi hsg toán 9 huyện diễn châu 2020 2021

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B đến , đường kính AC a Chứng minh rằng BH AC.. b Gọi giao điểm của MC và BH là E.. Tính BE theo R và MO d c Trên tia đối của tia DAlấy điểm F b

111Equation Chapter 1 Section 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: TOÁN – Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 (6,0 điểm)

a) Cho x  3 5  3 5 1. Tính giá trị biểu thức

3 2 3

2

P

x





b) Cho , ,a b c là các số nguyên thỏa mãn: a b c  3  2024c Chứng minh rằng

3 3 3 6

S a b c 

c) Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 xy 2019x 2020y 2021 0

Bài 2.(4,0 điểm) Giải các phương trình sau :

2

2

Bài 3 (3,0 điểm)

a) Cho ,x y là hai số dương thỏa mãn x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 6 thức

2

x y

b) Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a b c   Chứng minh rằng :3

a b c

Bài 4 (6,0 điểm) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến

,

MA MB A B là các tiếp điểm) Kẻ các đường kính AC và ,, BD đường thẳng MO

cắt AB CD lần lượt tại I và K Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B đến ,

đường kính AC

a) Chứng minh rằng BH AC. 2MB CH.

b) Gọi giao điểm của MC và BH là E Tính BE theo R và MO d

c) Trên tia đối của tia DAlấy điểm F bất kỳ Gọi giao điểm của AC và FK là

N Chứng minh NIK AFI

Bài 5 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng cho 2020 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh

là các điểm đã cho không lớn hơn 1 Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có

thể tìm được ít nhất 253 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn

1 2

ĐÁP ÁN Bài 1.

a) Ta có :

6 2 5 6 2 5

 5 12  5 12 5 1 5 1

Ta có : 3 x  2 3 2 1  2 1

2

Thay x2 2x vào ta được : 21 x 1 2x 2 1

Vậy

1

1 1

P  



b) Ta có a b c  3  2024c a b c  c3  c 2022c

 1   1 2022

Vì c 1 c c1là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6, 2022 6

 1  1 2022 6 1 

3 3 3

Từ (1) và (2) suy ra S a 3b3 c36

c) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 xy 2019x 2020y 2021 0

Ta có : x2 xy 2019x 2020y 2021 0

1 1 2021 1:

2 :

th

th





Vậy x y ;   2021; 2021 ; 2019; 2021     

Bài 2.

a) Giải phương trình :x2  6x26 6 2 x1

Điều kiện :

1 2

x 

2

2 2

Vì x  42  (với mọi x);0  2x  1 32 0,

với mọi

1 2

x 

4

x x





 



Vậy x 4

b) Giải phương trình: 2x2 5x 2 x 1 6x 10 1 

ĐK: x 1

2

2

2

x x

x



0( )

8( )

3( )

5

4

 

  





 

  

 

Bài 3.

a) Cho ,x y là hai số dương thỏa mãn x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của 6

biểu thức

2

x y

       

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

Mặt khác x  22  (với mọi x), 0

3

 

Do đó Q      0 3 6 4 4 9

Dấu " " xảy ra

2 0 6

2

4 2

8 2

x

x y

x

y x

y y























 Vậy Qmin  9 x2;y 4

c) Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a b c   Chứng minh rằng :3

2 2 2

a b c

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có :

2

1

1

a b



Tương tự :

Cộng theo vế các bất đẳng thức      1 , 2 , 3 ta được :

3

a b c

3 6

2

ab bc ca  

 

Mặt khác a b c  2 3ab bc ca    ab bc ca  3

6 3 3

a b c dfcm

Bài 4.

P N E

C B

A

O

M

F

a) Chứng minh được MAOMBO ch cgv(  ) MA MB

Kết hợp OA OB  MO là đường trung trực của AB Ilà trung điểm AB

Từ đó suy ra OI là đường trung bình của tam giác ABC IO/ /BC

Từ đó chứng minh được hai tam giác vuông MAO và BHC đồng dạng g g 

BH OA MA CH

AC

OA MA MB  BH AC MB CH

b) Vì BH / /MA nên áp dụng định lý Ta let vào tam giác CMAta có :

 2 2

MA CA  MA  OA

BH

Tam giác ABC có cạnh AC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nên là tam

giác vuông, theo hệ thức lượng ta có :

Thay (1) vào (3) và kết hợp BH 2EHta được :

2 2 2 2 2

2 2 2

2

BE

d







c) Qua O kẻ đường vuông góc với IK cắt IN tại P

Khi đó ta có OP/ /AI (cùng vuông góc ) OI nên

PI OA

Mặt khác OK / /AF (cùng vuông góc )

AB

Mặt khác tam giác PIK cân đỉnh H (OP là trung trực của IK nên),

 **

Từ (*) và (**) FIK NIK mà FIK AFI (so le trong)

NIK AFI dfcm

Bài 5

Gọi A A i, jlà hai điểm xa nhau nhất trong các điểm thuộc tập hợp 2020 điểm đã

cho

Giả sử A klà điểm cách xa đoạn thẳng A A i jnhất Khi đó tam giác A A A i j klà tam

giác có diện tích lớn nhất không lớn hơn 1

Vẽ các đường thẳng đi qua các điểm A A A i, ,j klần lượt song song với các cạnh của

A A A

 Ta được 4 tam giác nhỏ bằng nhau và một tam giác lớn chứa cả 4 tam giác nhỏ Tam giác lớn có diện tích không quá 4 đơn vị Do đó, tam giác lớn chứa tất cả 2020 điểm đã cho

Ta có 2020 chia cho 4 được 505 như vậy có ít nhất 1 trong 4 tam giác có 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 chứa ít nhất 505 điểm trong 2020 điểm đã cho

Chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau Ta có 505 chia cho 2 được 252 dư 1 nên theo nguyên tắc Dirichlet suy ra có 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn

1

2 chứa 253 điểm trong 2020 điểm đã cho