Biết rằng khi đi, robot chuyển độn với vận tốc 2,5 /m giây.. Cho ba điểm cố định , ,A B C thẳng hàng theo thứ tự đó.. Vẽ các tiếp tuyến AD và AE với đường tròn O, D và E là các tiếp điể
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HƯNG YÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019
MÔN THI TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề
Câu 1 Tính giá trị của biểu thức A 3 5 3 5
Câu 2 a) Giải phương trình: x2 1 2x1
b) Giải hệ phương trình: 2 2
2
4
1 4
x y
x
x
Câu 3.a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng 2
(m
là tham số) và đường thẳng d2 :y6x m 3.Tìm m để hai đường thẳng đó song
song với nhau
b) Một robot chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 5m thì dừng 1 giây, rồi đi tiếp 10m dừng lại 2 giây, rồi đi tiếp 15m thì dừng lại 3 giây, Cứ như vậy, robot đi từ
A đến B kể cả nghỉ hết 551 giây Tính quãng đường robot chuyển động từ A đến B Biết rằng khi đi, robot chuyển độn với vận tốc 2,5 /m giây.
Câu 4 Cho ba điểm cố định , ,A B C thẳng hàng theo thứ tự đó Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B và C Vẽ các tiếp tuyến AD và AE với đường tròn (O), D và E
là các tiếp điểm
a) Chứng minh rằng AD AB AC , từ đó suy ra D thuộc một đường tròn cố định b) Gọi MN là đường kính của đường tròn (O) vuông góc với BC Gọi K là giao . điểm của AM với đường tròn (O) Chứng minh rằng ba đường thẳng
, ,
AB DE NK đồng quy.
Câu 5 a) Cho tam giác ABC có Alà góc tù Chứng minh rằng:
sin B C sin cosB C cos sinB C
b) Trên mặt phẳng có 25 điểm phân biệt, biết rằng trong 3 điểm bất kỳ đã cho bao giờ cũng tìm được 2 điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1.Chứng ming rằng tồn tại một hình tròn có bán kính 1 không chứa ít hơn 13 điểm trong 25 điểm nói trên
Câu 6 Cho , ,a b c thỏa mãn 0
2
2 2 2
2019 2018
a b c
Tim giá trị lớn nhất của 2 2 2
P
a bc b ca c ab
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1 Ta có:
2 5 1 5 1 2 5
10
A
A
A
Câu 2.
a) ĐKXĐ: x Ta có:2
Vì x (vô lý) nên1 6 0
2 6
4 2 2 1 2 2 6 2
16 28 0
x
Vậy x 2
b) Điều kiện xác định x 0
2
2
2
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y ; 2;1
Câu 3.
a) Để d1 / / d thì 2
2
m
b) Gọi số lần đi của robot từ A đến B là ,x đk: x *
Thời gian robot đi là: 5 10 15 5 2 4 6 2 1
2,5 2,5 2,5 2,5
x
x x x
(giây)
Trang 3Thời gian robot nghỉ là: 1 2 3 1 1
2
(giây)
Theo đề bài ta có:
58 ( ) 1
Vậy quãng đường robot chuyển động từ A đến B là : 95 m
Câu 4.
H I
D K
N
M
E
O
a) Xét ADC và ABD có: Achung; ADB DCB (cùng chắn cung DB)
Nên
2
AB AD
Do , ,A B C cố định nên D cố định
b) Gọi J là giao điểm của MN và AC Dây DE cắt AO tại H và cắt AC tại I.
Ta có: AD AE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA OE R
AO
là đường trung trực của DE AODEtại H
Trang 4 900 AH AI
AJ AO
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADO có: AD2 AH AO.
AD AH AJ
Ta lại có
AJ AM
AKI AJM hay MKI
Mặt khác MKN 900 K I N, , thẳng hàng hay AB DE NK đồng quy, ,
Câu 5.
H
A
B
a) Kẻ BK AC K AC Ke AH , BC H BC
Ta có:
sin cosB C cos sinB C sinABCcosC cosABCsinC AH CH BH AH
AB AC AB AC
sin cos cos sin
Mặt khác :sinB C sinKAB BK
AB
Từ đó, ta có sinB C sin cosB Ccos sinB C
Trang 5b) Gọi 25 điểm trên mặt phẳng lần lượt là A A A1; ; , ,2 3 A25phân biệt
Giả sử A A1 2là độ dài lớn nhất trong các độ dài nối 2 điểm bất kỳ trong 25 điểm đã cho,
cách giữa chúng nhỏ hơn 1 nên với mọi điểm A k k 3,4, ,25ta luôn có A A 1 2 1 Xét đường tròn A1;1sẽ chứa toàn bộ 25 điểm đã cho, ta có điều phải chứng minh. Nếu A A 1 2 1 Xét điểm tùy ý trong A kđiểm còn lại, giả sử A3 Vì trong 3 điểm bất kỳ
đã cho bao giờ cũng tìm được 2 điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1 nên
hoặc ít nhất 12 đoạn thẳng xuất phát từ A2có độ dài nhỏ hơn 1 Do đó, tồn tại đường
tròn A1;1hoặc A2;1sẽ chứa ít nhất 13 điểm trong 25 điểm đã cho Vậy tồn tại một hình tròn có bán kính 1 chứa không ít hơn 13 điểm trong 25 điểm nói trên
Câu 6.
Áp dụng bđt Cô si cho hai số dương a và bc a b c , , 0 , ta có:
2
2
2
a bc a bc
;
1 1 1 1
P
Mà,
2
2 2 2
2019 2018
a b c
abc
abc
Do đó P 1009 2019suy ra giá trị lớn nhất của P 1009 2019đạt được
3
2018 2019
a b c