052 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh long an

Tìm các cặp số x y nguyên dương thỏa mãn.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH LONG AN

NĂM HỌC 2019-2020 Bài 1.

1) Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính

23 3 5

A    



2) Cho biểu thức

B

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn B

b) Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng

Bài 2.

1) Tìm hệ số a  sao cho các đường thẳng 0 y ax  1;y 1;y  và trục tung 5 tạo thành hình thang có diện tích bằng 8(dvdt)

2) Cho các số , ,x y z  thỏa mãn đồng thời 0

1 1 1

2

x  y  z  và 2

2 1

4

xy  z  Tính

giá trị của biểu thức Px2y z 2012

Bài 3

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O các đường cao ,, AD BE ,

CF D BC E AC F AB   cắt nhau tại H và cắt đường tròn  O theo thứ tự ở

, ,

M N K Chứng minh rằng:

2

a BH BE CH CF BC 

2

) AM BN CK 4

c

AD  BE CF 

Bài 4.

Cho đoạn thẳng CD 6cm I, là một điểm nằm giữa C D IC ID,    Trên tia

Ix vuông góc với CD lấy hai điểm , M N sao cho IC IM ID IN CN ,  , cắt MD tại

K K MD DN , cắt MC tại L L MC  .Tìm vị trí của điểm I trên CD sao cho

CN NK có giá trị lớn nhất

Bài 5

Tìm các cặp số x y nguyên dương thỏa mãn

ĐÁP ÁN Bài 1.

2

1)

4 2 3 8 2 15 2 5

3 1 5 3 2 5 3 5 1

1

2) )a DKXD x: 0,x 1

2

3 6

2

B

x x

x





2

1

2 2

x

x





Dấu " " xảy ra khi x  0 x 0(tmdk)

Vậy

3

0 2

MaxB  x

Bài 2.

a)

Tính được

;5 , ;1 5

a

,

BC AD

Tính được

6 2

.4 : 2 8 2( 0)

ABCD

a a

Vậy phương trình đường thẳng là y 2x 1

b) Ta có:

2

        

Do đó:

2

2

x y z xy z

2 2 2 2

2 2

2

2

0

0

0

0

1 1

0

x y z xy yz zx xy z

x xz z y yz z

x z y z

x y z

y z

y z

       

       





Thay vào

1 1 1

2

x  y  z  ta được

,

x y  z

2012

2012

Bài 3.

H

E

D

F

K

M

N

O A

a) Tứ giác DCEH có HDC HEC90 90 180 nên tứ giác DCEH nội tiếp do đó HED HCD(cùng chắn cung HD)

,

BDE BHC

  có HEDHCD EBC, chung  BDE∽BHC g g( )

 

BD BE

BH BE BC BD

BH BC

Chứng minh tương tự đẳng thức (*) ta được :

Cộng   * , ** theo vế ta được:

BH BE CH CF BC BD CD CB  BC CD BC BC 

b) Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được:

BH BE AH AD AB  AH AD CH CF AC

Cộng      1 , 2 , 3 theo vế ta được:

2 AH AD BH BE CH CF   AB AC BC

2

c) Ta có: MBC MAC(cùng chắn cung MC)

MAC CBE

  (cùng phụ BCA)

Nên MBC CBE BC là phân giác của MBE

MBH

 có BC là đường cao đồng thời là đường phân giác nên là tam giác cân tại B BC

 đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh MH

Nên D là trung điểm của MH  DM DH

Ta có: AM AD DM 1 DM  *



BHC

 và ABC có chung đáy BC nên ta có: BHC  **

ABC

S AD  AD

Từ (*) và (**) suy ra : 1 BHC  1

ABC

AD   S

Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được:

1 AHC 2 , 1 AHB 3

ABC ABC

BE   S CF   S

Cộng      1 , 2 , 3 theo vế ta được:

1 BHC 1 AHC 1 AHB 3 ABC 3 1 4

ABC ABC ABC ABC

AD  BE CK   S   S   S   S   

Bài 4.

K L

I

M

IND

 vuông tại I có IN ID gt ( ) INDvuông cân tại I  INDIDN 45

*Chứng minh tương tự ta được IMC vuông cân tại I  ICM IMC 450

LCD

 có LCDLDC 450  LCD vuông cân tại L DL MC

Mà MI  CD DL MI, là hai đường cao của CDM cắt nhau tại N

N

 là trực tâm CDM  CN D CK MD

CNI

 và MNK có: CIN MNK 90 ,0 INCKNM (đối đỉnh)

CNI MNK g g CN NK MN NI

MN NK

Ta có: MN NI MI NI NI  CD ID ID ID  

Đặt ID x x ,  ta được:0

2

MN NI   x x x x  x   

Dấu " " xảy ra khi

3

2

x tmdk x

Vậy CN NK có giá trị lớn nhất là .

9

2 khi

3 2

ID cm

Bài 5.

Ta có:xy2x 27 3 y

 3  2 33



Vậy x y ;  8;1