050 đề thi hsg toán 9 tỉnh hải phòng 2018 2019

Cho AB cắt  O tại điểm thứ hai là E, AC cắt 1 O tại điểm thứ hai là D2 a Chứng minh rằng tứ giác BCDE nội tiếp b Chứng minh rằng OA vuông góc với DE c Vẽ đường kính MN của  O vuôn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1.

a) Cho biểu thức

 x y3 2x x y y 3 xy 3y A

x y

x x y y



Chứng minh rằng giá trị của biểu thức A không phu thuộc vào giá trị của biến

b) Chứng minh rằng x 0 3 9 4 5  3 9 4 5 là một nghiệm của phương trình sau

x3 3x 172019  1 0

Bài 2 a) Gọi x x1, 2là nghiệm của phương trình x2  2mx2m 3 0 (1) với m là tham

số Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  

1 2

2 2

x x B





b) Giải hệ phương trình:

1 19 6





 



Bài 3 a) Cho biểu thức P a 1a2 a3 a2019,với a a1; ; ,2 a2019là các số nguyên dương và P30.Chứng minh rằng Q a 15a25a35  a20195 chia hết cho 30

b) Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 abc  Chứng minh rằng:8

1

1a  1b  1c 

Bài 4 Cho hai đường tròn  O và 1 O tiếp xúc ngoài nhau tại điểm I Vẽ đường tròn 2

(O) tiếp xúc trong với  O và 1 O lần lượt tại B và C Từ điểm I vẽ đường thẳng d2

vuông góc với O O1 2, d cắt cung lớn và cung nhỉ BC của (O) lần lượt tại điểm A, Q Cho

AB cắt  O tại điểm thứ hai là E, AC cắt 1 O tại điểm thứ hai là D2

a) Chứng minh rằng tứ giác BCDE nội tiếp

b) Chứng minh rằng OA vuông góc với DE

c) Vẽ đường kính MN của  O vuông góc với AI (điểm M nằm trên ABkhông chứa

điểm C) Chứng minh rằng ba đường thẳng AQ BM CN đồng quy., ,

Bài 5 Bên trong đường tròn có đường kính AB  cho 38 đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng 19

có độ dài bằng 1 Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng vuông góc hoặc song song với

AB và giao ít nhất 2 đoạn trong 38 đoạn đã cho.

ĐÁP ÁN Bài 1.

3

3

3 3

3

3

x y

x x y y

x x x y y x y y x x y y

y x











Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào gía trị của biến với ,x y  và 0 xy

3

9 4 5 9 4 5 3 9 4 5 9 4 5

3 18

Vậy x0là một nghiệm của phương trình x3  3x 172019  1 0

Bài 2.

a) Xét phương trình x2  2mx2m 3 0 (1)

Ta thấy  ' m2  2m 3 m 12   2 0 m

Áp dụng hệ thức Viet ta có:

1 2

1 2

2

x x m







Khi đó

1 2

1 2 1 2

m

B

 

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức

1 1

2

B  m

b) Xét hệ phương trình

 

1 19 6

I





 



Ta thấy x  không thỏa mãn hệ phương trình nên 0 x 0

 

3 3

3

2 2

1

19

1

y

y

x

I

y



Đặt

1

, y ,

x   x  ta có:

6

u

v





Suy ra

2

1

6

x x x

x





 



1

2

3

1

3

2

x

y

x

y

 











 

 

 



 

 

  



Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm

;3 ; ; 2

Bài 3.

a) Xét x là số nguyên dương, ta thấy:

x  x x x  x x  

5 5 5







Suy ra x5  x5 2 mà 5,6 1  3

Từ      1 , 2 , 3  x5 x30

Vì x5  x30 Q P  mà theo đề bài 30 P30 Q30

b) Ta có:

2

1a  1a 1 a a  a   a a  a Tương tự ta có:

;

1b  b 1c  c

Bài toán trở về:

2 2 2

12

2a  2b  2c  2 a b c 

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a b c có:2, ,2 2

2 2 2 33 2 2 2 12

a b c  a b c 

Dấu " " xảy ra  a b c 

Bài 4.

a) Chứng minh ABI AIE g g  AI AB AI2 AE AB

AE AI

      Tương tự AI2 AD AC.

Suy ra AE AB AD AC.  .  AEDACB c g c( )

AED ACB BCDE

   là tứ giác nội tiếp

b) Vì tứ giác BCDE nội tiếp suy ra ADE ABC

Mà

ABC  AOC  ADE  AOC

Vì AOC cân tại O

 1800 

2

AOC

c) Gọi P là giao điểm của BM và CN

Vì O O1 2 / /MN  BO I BON 1  (hai góc đồng vị)

Do O BI1 cân tại O1suy ra 

 0

1 1

180 2

BO I

O BI  

Tương tự:

1

180 2

BON OBN    O BI OBN

Suy ra ba điểm , ,B I N thẳng hàng BN BM 

Chứng minh tương tự ba điểm , ,C I M thẳng hàng CN CM 

Do đó I là trực tâm của PMN  PI MN

Mà AI MNnên ba điểm , ,A I P thẳng hàng

Vậy ba đường thẳng AQ BM CN đồng quy., ,

Bài 5

A

C

D

E F

Gọi độ dài hình chiếu của EF trên AB CD là , x y1, 1ta có x1 y11

Gọi độ dài hình chiếu của 37 đoạn thẳng còn lại trên AB là x2, ,x38trên CD là

2, , 38

Khi đó ta có x1x2  x38  y1y2   y3838

Do vậy tồn tại một trong hai tổng lớn hơn hoặc bằng 19, giả sử x1x2  x38 19

Do đó trên AB tồn tại một điểm M thuộc ít nhất hai trong các hình chiếu trên AB Đường. thẳng đi qua M vuông góc với AB là đường thẳng cần tìm.