Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn I.. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC... Suy ra mâu thuẫn Vậy trong 2 số ,b c tồn tại ít nhất một số chẵn... Vậy ba đường
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐỒNG NAI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019
MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 29/03/2019 Câu 1.
1) Cho x y là nghiệm của hệ phương trình ;
1
x y m
x y m
(với m là tham số thực) Tìm m để biểu thức P x 2 8yđạt giá trị nhỏ nhất
2) Giải hệ phương trình
1 , 1
x y
x y
x y
Câu 2.
1) Giải phương trình x4 9x324x2 27x 9 0x
2) Cho ba số thực dương , , a b c Chứng minh:
3 4
Câu 3.
1) Cho , ,a b c là ba số nguyên khác 0 thỏa
1 1 1
a b c Chứng minh rằng abc4
2) Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
Câu 4.
Cho
2 3 4 100
B là tổng của 99 số hạng
Tính A B
Câu 5 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn I Gọi , D E lần lượt là hai tiếp điểm
của AB AC với đường tròn , I Biết ba góc BAC ABC BCA, , đều là góc nhọn Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC
1) Chứng minh 2AD AB AC BC
Trang 22) Chứng minh rằng ba đường thẳng BI DE MN đồng quy., ,
ĐÁP ÁN Câu 1.
1) Ta có:
m
Ta có:
2
m
Dấu " " xảy ra khi 2m 2 0 m1
Min P m
2)
2
1
x y xy
x y
Đặt
x y S
xy P
Ta có:
2
2 2
3
1
1
2
2
S
S P
2 2
2
2 3
2
1 1
2
0 1
1
S P
S
P
S
x y
x
Câu 2.
Trang 31) x4 9x324x2 27x 9 0 *
Với x phương trình vô nghiệm0,
Với x chia hai vế của phương trình (*) cho 0, x2:
2 2
2
2 2
3
6 0
x
x x x
x
2) Ta có:
3 4
0
0
b a b c b c a c a
Luôn đúng vì , ,a b c là các số dương Dấu bằng xảy ra a b c
Câu 3.
1) Ta có: 1 1 1 bc a b c 1
a b c Th1: Nếu a là số nguyên chẵn, suy ra a b c 2, 1 bc2
Vậy abc chia hết cho 4
Th2: Nếu a là số nguyên lẻ Với b và c là hai số cũng lẻ thì b c 2 a b c 2
Mà abc không chia hết cho 2 (vì , , a b c đều lẻ) Suy ra mâu thuẫn
Vậy trong 2 số ,b c tồn tại ít nhất một số chẵn.
Với b chẵn, mà a lẻ nên c chẵn (vì bc chẵn nên a b c chẵn suy ra c chẵn, vì a lẻ)
Trang 4Với c chẵn, tương tự abc4
2) Gọi A là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 Nên A 1000
B là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 mà không nguyên tố cùng nhau với 999
C là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
Ta có: 999 3 37 3
B (Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3) – (Số các số nguyên
dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3)
Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3 là:
999 3
1 333 3
Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 là:
999 37
1 27 37
Số các số nguyên dươn g không vượt quá 1000 và chia hết cho cả 37 và 3 (chia hết cho
111) là
999 111
1 9 111
Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3
là : 27 9 18
Suy ra B333 18 351 C A B 1000 351 649.
Câu 4.
Ta có:
1 2 3 4 99 99 100
Và B 2 3 4 100
100 100 1 999
A B
Trang 5Câu 5.
1
2 1
2
S
M
N
F
E D
I A
B
C
1) Gọi F là tiếp điểm của BC với đường tròn I theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ,
ta có: AD AE BD BF CE CF , ,
Suy ra :AB AC BC AD DB AE CE BF FC AD AE 2AD
2) Gọi S là giao điểm của BI và MN Ta cần chứng minh: , ,. D E S thẳng hàng.
Thật vậy
Do MN là đường trung bình của ABC nên MN / /AB
2
B BSM
(hai góc so le trong); B2 B1 BSM B1
Suy ra tam giác MBS cân tại M nên MB MS MC
Tam giác BSC có đường trung tuyến
1 2
SM BC
nên tam giác BSC vuông tại S
Ta có:
Tứ giác IECF và IESC là các tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IC
Nên 5 điểm , , , ,I E S C F cùng thuộc đường tròn đường kính IC
Ta có:
;
SEC SIC SIC B C (góc ngoài của tam giác) SEC B 1C1 1
Trang 6Nên
0
0
180
AED ADE B C
Từ (1) và (2) suy ra SEC AED mà , ,A E C thẳng hàng nên , , D E S thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng BI DE MN đồng quy., ,